本书是作者在多年从事算法设计与分析课程教学和研究的基础上编写而成，系统地介绍了算法设计与分析的理论、方法和技术。内容围绕两条主线来组织。一条主线是介绍典范性的算法问题，如排序、选择、图遍历等。 另一条主线是介绍典范性的算法设计分析策略，如分治、贪心、动态规划等算法设计策略和对手分析、平摊分析等算法分析策略。本书中两条主线交替进行，每条主线又各自分为基本和进阶两部分。
前言
教学建议
第一部分计算模型
第1 章抽象的算法设计与分析........... 2
1.1 RAM 模型的引入................... 2
1.1.1 计算的基本概念................... 2
1.1.2计算模型的基本概念. . . . . . . .. .. . . . . 3
1.1.3RAM 模型........................ 3
1.1.4计算模型的选择：易用性与精确性........................... 5
1.2 抽象算法设计...................... 6
1.2.1 算法问题规约..................... 6
1.2.2 算法正确性证明：数学归纳法....... 7
1.3 抽象算法分析...................... 8
1.3.1 抽象算法的性能指标. . . . . . . .. .. . . . . 8
1.3.2 最坏情况时间复杂度分析.......... 9
1.3.3 平均情况时间复杂度分析......... 10
1.4 习题. .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. 11
第2 章从算法的视角重新审视数学的概念. . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . 14
2.1 数学运算背后的算法操作......... 14
2.1.1 取整. x . 和. x . . . . . . . . . . .. .. .. .. . 14
2.1.2 对数log n . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .. . 14
2.1.3 阶乘n!. . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. . 15
2.1.4 常用级数求和.f (i). . . . . . .. .. .. .. 16
2.1.5 期望E[X] ....................... 18
2.2 函数的渐近增长率................ 19
2.3 “分治递归”求解................. 21
2.3.1 替换法. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . 21
2.3.2 分治递归与递归树.. . . . . . . . . . .. .. .21
2.3.3 Master 定理. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. 22
2.4 习题. . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .. 23
第二部分从蛮力到分治
第3 章蛮力算法设计................... 31
3.1 蛮力选择与查找. . . . . . .. .. .. . . . . . . . 31
3.2 蛮力排序.. . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. 32
3.2.1选择排序. . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. 32
3.2.2插入排序. . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. 33
3.3 习题. . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .. 35
第4 章分治排序.. .. .. .. . . . . . .. .. .. .. . . . 37
4.1 快速排序. . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. 37
4.1.1插入排序的不足. .. .. . . . . . . . . . .. .. 37
4.1.2快速排序的改进. .. .. . . . . . . . . . .. .. 38
4.1.3最坏情况时间复杂度分析......... 39
4.1.4基于递归方程的平均情况时间复杂度分析. . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . 40
4.1.5基于指标随机变量的平均情况时间复杂度分析. . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . 41
4.2 合并排序.. . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. 43
4.3 基于比较的排序的下界. .. .. .. . . . . . 44
4.3.1决策树的引入. . . . . . .. .. .. . . . . . . . . 45
4.3.2比较排序的最坏情况时间复杂度的下界. . . . . .. .. .. .. . . . . . . . .. .. .. 45
4.3.3比较排序的平均情况时间复杂度的下界. . . . . .. .. .. .. . . . . . . . .. .. .. 46
4.4 习题. . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .. 48
第5 章线性时间选择................... 50
5.1 期望线性时间选择................ 50
5.1.1选择算法设计. . . . . . .. .. .. . . . . . . . . 50
5.1.2选择算法分析. . . . . . .. .. .. . . . . . . . . 51
5.2 最坏情况线性时间选择. .. .. .. . . . . . 52
5.2.1选择算法设计. . . . . . .. .. .. . . . . . . . . 52
5.2.2选择算法分析. .. . . . . . . . . . .. .. . . . . 53
5.3 习题. .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. 54
第6 章对数时间查找................... 57
6.1 折半查找.. .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . 57
6.1.1经典折半查找. .. . . . . . . . .. .. .. . . . . 57
6.1.2查找峰值. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. 58
6.1.3计算√N ........................ 59
6.2 平衡二叉搜索树. . . . . . . . .. .. .. . . . . . 59
6.2.1二叉搜索树及其平衡性........... 59
6.2.2红黑树的定义. .. . . . . . . . . . .. .. . . . . 60
6.2.3红黑树的平衡性. .. .. .. .. . . . . . . . . . 62
6.3 习题. .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. 62
第7 章分治算法设计要素. . . . . . . . . . .. .. .65
7.1 分治算法的关键特征. . . . . . . .. .. .. . 65
7.2 计算逆序对的个数................ 66
7.2.1依托于合并排序的逆序对计数.. .. . 66
7.2.2原地的逆序对计数.. .. . . . . . . . . . .. .67
7.3 整数乘法.. .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . 68
7.3.1简单分治. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. 69
7.3.2更精细的分治. .. . . . . . .. .. .. .. . . . . 69
7.4 芯片检测.. .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . 70
7.5 习题. .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. 71
第三部分从图遍历到图优化
第8 章图的深度优先遍历. . . . . . . . . . .. .. .76
8.1 图和图遍历. . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . 76
8.2 有向图上的深度优先遍历......... 77
8.2.1遍历框架. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. 77
8.2.2深度优先遍历树. .. .. .. .. . . . . . . . . . 79
8.2.3活动区间. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. 79
8.3 有向图上深度优先遍历的应用.. .. .82
8.3.1拓扑排序. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. 82
8.3.2关键路径. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. 85
8.3.3有向图中的强连通片............. 87
8.4 无向图上的深度优先遍历......... 91
8.4.1无向图的深度优先遍历树......... 91
8.4.2无向图的深度优先遍历框架....... 92
8.5 无向图上深度优先遍历的应用.. .. .93
8.5.1容错连通. . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. 93
8.5.2寻找割点. . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. 94
8.5.3寻找桥. . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . 96
8.6 习题. . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . .. .. .. .. 97
第9 章图的广度优先遍历............. 102
9.1 广度优先遍历. . . . . . . .. .. .. .. . . . . . 102
9.1.1广度优先遍历框架.............. 103
9.1.2有向图的广度优先遍历树. . . . . . . . 105
9.1.3无向图的广度优先遍历树. . . . . . . . 106
9.2 广度优先遍历的应用. . . . .. .. .. . . . 107
9.2.1判断二分图. .. . . . . . . . . . .. .. .. .. . 107
9.2.2寻找k 度子图.. .. .. . . . . . . . .. .. .. 108
9.3 习题. . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. 109
第10 章图优化问题的贪心求解. . . . . . ..111
10.1最小生成树问题与给定源点最短路径问题. . . . .. .. .. . . . . . . . . . 111
10.2Prim 算法. .. . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . .112
10.2.1Prim 算法的正确性. .. . . . . . . . . . . 113
10.2.2Prim 算法的实现. . . . . . .. .. .. . . . 116
10.2.3Prim 算法的分析. . . . . . .. .. .. . . . 117
10.3Kruskal 算法. . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . 118
10.3.1Kruskal 算法的正确性. . . . . . . . . . .119
10.3.2Kruskal 算法的实现与分析...... 120
10.4最小生成树贪心构建框架MCE. . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. ..120
10.4.1从MCE 框架的角度分析Prim 算法..................... 121
10.4.2从MCE 框架的角度分析Kruskal 算法. .. . . . . . . . . . .. .. .. . 122
10.5Dijkstra 算法. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. . 123
10.5.1Dijkstra 算法的设计.. . . . . . . . . . ..123
10.5.2Dijkstra 算法的正确性证明与性能分析. .. . . . . . . . . . .. .. .. .. . . 125
10.6贪心遍历框架BestFS. .. .. .. . . . . . 126
10.7 习题. . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .128
第11 章贪心算法设计要素............ 134
11.1贪心算法的基本结构. . .. .. .. .. . . 134
11.2相容任务调度问题.............. 134
11.2.1直觉的尝试. . . .. .. .. . . . . . . . . . .. 135
11.2.2基于任务结束时间的贪心算法. . . 135
11.3Hu.man 编码.. .. .. . . . . . . . .. .. .. . 136
11.3.1可变长度编码.. . . . . . . . . . .. .. .. .136
11.3.2最优编码方案的性质........... 137
11.3.3贪心的Hu.man 编码........... 139
11.4 习题.. .. . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .139
第12 章图优化问题的动态规划求解. . . 142
12.1有向无环图上的给定源点最短路径问题. . . . . . . . .. .. . . . . . . . 142
12.2所有点对最短路径问题......... 143
12.2.1传递闭包问题和Shortcut 算法... 143
12.2.2所有点对最短路径：基于路径长度的递归........... 145
12.2.3Floyd-Warshall 算法：基于中继节点范围的递归. . . . . . . 146
12.3 习题.. .. . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. .147
第13 章动态规划算法设计要素. . . . . . . .150
13.1动态规划的动机. . . . . . . .. .. .. . . . . 150
13.2动态规划的引入. . . . . . . .. .. .. . . . . 151
13.2.1基于朴素遍历的递归........... 152
13.2.2未做规划的递归............... 152
13.2.3采用动态规划的递归........... 153
13.3动态规划的关键特征. . . . . . .. .. .. 155
13.4动态规划应用举例.............. 156
13.4.1编辑距离问题.. . . . . . . . . . .. .. .. .156
13.4.2硬币兑换问题.. . . . . . . . . . .. .. .. .158
13.4.3最大和连续子序列问题......... 159
13.4.4相容任务调度问题............. 160
13.5习题.. .. . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . .. .161
第四部分围绕数据结构的算法设计
第14 章堆与偏序关系.. .. .. .. . . . . . . . . . 168
14.1堆的定义. .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . 168
14.2堆的抽象维护.. . . . . . . . . . .. .. .. . . 168
14.2.1堆的修复. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . 169
14.2.2堆的构建. . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . 169
14.3堆的具体实现. . . . . . . . . .. .. .. . . . . 171
14.4堆的应用. . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . 172
14.4.1堆排序.. .. .. . . . . . . . . . .. .. . . . . . 172
14.4.2基于堆实现优先队列........... 173
14.5 习题. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .174
第15 章并查集与动态等价关系. . . . . . ..176
15.1动态等价关系. . . . . . . . . .. .. . . . . . . 176
15.2基于根树的基础实现：普通“并”+普通“查”. .. .. .. . . .177
15.3保证合并的平衡性：加权“并”+普通“查”. .. .. .. . . .178
15.4降低查找的代价：加权“并”+路径压缩“查”.. .. . 179
15.5 习题. . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .180
第16 章哈希表与查找.. .. . . . . . . . . . .. .. 182
16.1直接寻址表：查找表的蛮力实现. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. ..182
16.2哈希表的基本原理.............. 183
16.3封闭寻址冲突消解.............. 183
16.4开放寻址冲突消解.............. 185
16.5 习题. . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .188
第17 章有限自动机与串匹配. .. . . . . . . . 189
17.1蛮力串匹配..................... 189
17.2基于有限自动机的串匹配. . . . . .. 190
17.3从有限自动机的角度理解KMP 算法....................... 191
17.3.1对传统匹配自动机的改进.. . . . . . 191
17.3.2自动机构建的原理............. 192
17.3.3KMP 算法的实现.. .. . . . . . .. .. .. 193
17.4习题. . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .194
第五部分算法分析进阶
第18 章平摊分析. .. . . . . . . . . . .. .. .. .. . . 198
18.1平摊分析的动机. . . .. .. .. .. . . . . . . 198
18.2平摊分析的基本过程. . .. .. .. .. . . 199
18.3MultiPop 栈. . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . 200
18.4 数组扩充. . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . 201
18.5 二进制计数器.. . . . . . . . . . .. .. .. . . 202
18.6 基于栈实现队列. . . . . . . .. .. .. . . . . 203
18.7 习题.. .. . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. .204
第19 章对手论证. .. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. 207
19.1 对手论证的基本形式. . . . . . . . .. .. 207
19.2 选择最大或最小元素. . . . . . .. .. .. 207
19.3 同时选择最大和最小元素. . . . . . . 208
19.4 选择次大元素.. . . . . . . . . . .. .. .. . . 209
19.5 选择中位数..................... 211
19.6 习题.. .. . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .212
第六部分计算复杂性初步
第20 章问题与归约................... 216
20.1 NP 问题. . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . 216
20.1.1 优化问题和判定问题........... 216
20.1.2 P 问题的定义. . . . . . . . . .. .. .. .. . 216
20.1.3 NP 问题的定义. .. .. .. .. . . . . . . . .217
20.2 问题间的归约. . . . . . . .. .. .. . . . . . . 218
20.2.1 归约的定义. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. 218
20.2.2 归约的代价与问题难度的比较. .. 219
20.3 习题. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .219
第21 章NP 完全性理论初步.. .. .. .. . . . 221
21.1 NP 完全问题的定义. . . . .. .. .. . . . 221
21.2 NP 完全性证明的初步知识. . . .. . 222
21.2.1 一般问题和特例问题........... 222
21.2.2 等价问题. . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . 223
21.3 习题. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. .224
附录A 数学归纳法. .. .. . . . . . . . . . .. .. .. . 226
附录B 二叉树. . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . .. .227
参考文献................................ 228
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