本教材是基于作者所创立的计算教学论编写的，是为实现教学效率显著提升而对计算教学论提出的思想、 方法和工具的深广应用。 本教材共 12 章。第 1 章由 Euclid GCD 算法引出算法的定义，并介绍基于可视化的算法学习方法，第 2～5 章分别介绍算法的穷举设计方法、算法复杂度分析、算法的递归设计方法和基于比较的排序算法，第 6～10 章 分别介绍分治、动态规划、贪心、回溯和分支限界等经典的算法设计方法，第 11 章介绍 RSA 算法，第 12 章介 绍 NP 理论。 本教材可作为高等学校计算机科学与技术专业算法设计与分析课程的教材，也可作为计算机及相关专业研 究生和科研、工程或技术人员自学算法设计与分析的参考书。

段会川 教授，长期致力于以计算改进教和学的效率，并创立了计算教学论学说。该学说以计算的本质能力即算法化的知识表达和解析改进教与学的效率，在《算法设计与分析》和《计算机网络原理》课程中取得了很好的效果。

目 录
第 1 章 算法及其可视化教学支持系统 ............ 1
初识算法：Euclid GCD 算法 .............. 1
1.1.1 GCD 及因子分解方法 .............. 1
1.1.2 Euclid GCD 算法 ....................... 3
算法的定义 .......................................... 3
1.2.1 算法是一种求解问题的
科学方法 ................................... 4
1.2.2 算法的克努特定义.................... 5
1.2.3 算法的图灵机定义.................... 6
算法的描述方法 .................................. 8
1.3.1 算法的自然语言描述方法 ........ 8
1.3.2 算法的流程图描述方法 ............ 8
1.3.3 算法的伪代码描述方法 ............ 9
1.3.4 算法的现代版 C++描述方法 ... 10
1.3.5 设计算法求解问题的
基本过程 ................................. 10
可视化算法学习的支持工具............. 12
1.4.1 CAAIS 的基本界面及其
功能 ......................................... 12
1.4.2 算法 CD-AV 演示的基本
操作 ......................................... 13
使用现代版 C++进行算法实验 ........ 15
1.5.1 现代版 C++的算法实验
环境建议 ................................. 15
1.5.2 算法的现代版 C++实现
方式——以 Euclid GCD
算法为例 ................................. 16
算法国粹——《九章算术》中的
二进制 GCD 算法 .............................. 17
1.6.1 《九章算术》中的更相减
损术——最早的二进制
GCD 算法 ................................ 17
1.6.2 现代版的二进制 GCD 算法 .... 18
习题 ............................................................ 19
参考文献 ..................................................... 20
第 2 章 算法的穷举设计方法 .......................... 22
穷举算法设计基础 ............................ 22
穷举算法设计示例 ............................ 23
2.2.1 百钱买百鸡问题算法设计 ..... 23
2.2.2 素性测试的试除算法设计 ..... 26
2.2.3 顺序搜索算法设计及 CD-AV
演示 ......................................... 28
2.2.4 洗牌算法设计及 CD-AV 演示 29
伪随机数发生器及其在算法实验
中的应用 ............................................ 31
2.3.1 生成伪随机数的线性同余法 ... 31
2.3.2 传统 C 语言标准库中的
伪随机函数及其应用 ............. 32
2.3.3 现代版 C++标准库中的
伪随机函数及其应用 ............. 33
2.4 算法国粹——图灵奖获得者姚期智
院士的伪随机数理论 ........................ 34
2.4.1 姚期智院士密码学安全的
伪随机数理论 ......................... 35
2.4.2 LCG 不是密码学安全的 ........ 35
2.4.3 Java JDK 提供的密码学
安全的伪随机数发生器 ......... 37
习题 ........................................................... 39
参考文献 ..................................................... 40
第 3 章 算法复杂度分析 .................................. 42
算法复杂度分析基础 ........................ 42
3.1.1 算法的输入规模及复杂度
计量 ......................................... 42
3.1.2 算法的最好、最坏和平均
情况复杂度 ............................. 43
算法复杂度的渐近分析方法 ............ 45
3.2.1 算法的渐近复杂度及其记法 . 46
3.2.2 常见的算法复杂度阶及其
关系 ......................................... 51
算法设计与分析——基于计算教学论的解析
- VIII -
3.2.3 算法复杂度渐近分析的
基本范型 ................................. 53
大整数算术运算的复杂度 ................ 55
3.3.1 二进制数的竖式算术运算的
复杂度 ..................................... 55
3.3.2 大整数的多精度表示 .............. 57
3.3.3 多精度整数算术运算的
复杂度 ..................................... 57
Euclid GCD 算法的复杂度分析 ........ 59
3.4.1 Fibonacci 数列及其通项的
闭式解 ..................................... 59
3.4.2 Euclid GCD 算法复杂度的
详细分析 ................................. 62
算法复杂度的平摊分析方法............. 64
3.5.1 平摊分析方法概述.................. 64
3.5.2 Fibonacci 堆的基本操作及其
复杂度的平摊分析.................. 66
算法复杂度的实验分析法 ................ 70
3.6.1 算法复杂度实验分析的
必要性和基本过程.................. 70
3.6.2 算法复杂度的实验分析法
示例 ......................................... 72
问题的复杂度 .................................... 73
3.7.1 问题的复杂度概述.................. 73
3.7.2 基于比较的排序问题的
复杂度 ..................................... 74
算法国粹——姚期智院士的通信
复杂性理论 ........................................ 76
3.8.1 通信复杂性的问题定义 .......... 76
3.8.2 通信复杂性理论的基本成果.... 77
习题 ............................................................ 80
参考文献 ..................................................... 81
第 4 章 算法的递归设计方法 .......................... 84
递归算法的普适性及其理论内涵 ..... 84
4.1.1 递归算法的基本特性及实例 .... 84
4.1.2 递归是一种普适的算法表达
方法 ......................................... 86
子集遍历问题的递归穷举算法 ......... 88
4.2.1 子集遍历问题及其递归穷举
算法设计 ................................. 88
4.2.2 现代版 C++实现与 CD-AV
演示设计 ................................. 90
全排列遍历问题的递归穷举算法 .... 93
4.3.1 全排列遍历问题及其递归
穷举算法设计 ......................... 93
4.3.2 现代版 C++实现与 CD-AV
演示设计 ................................. 96
0-1 背包问题及其递归穷举算法 ...... 98
4.4.1 0-1 背包问题的定义及
解空间分析 ............................. 99
4.4.2 0-1 背包问题的递归穷举
算法 ....................................... 100
TSP 问题及其递归穷举算法 .......... 101
4.5.1 TSP 问题的定义及解空间
分析 ....................................... 101
4.5.2 TSP 问题的递归穷举算法 ... 103
栈框架及将递归算法转换为迭代
算法的方法 ...................................... 105
4.6.1 函数调用的栈框架 ............... 105
4.6.2 将递归算法转换为迭代
算法的方法 ........................... 107
算法国粹——管梅谷教授的
中国邮递员问题 ............................... 111
4.7.1 CPP 与欧拉回路 .................... 111
4.7.2 CPP 的求解思路与算法 ........ 112
习题 .......................................................... 114
参考文献 .................................................... 116
第 5 章 基于比较的排序算法 ......................... 118
冒泡排序算法 ................................... 118
5.1.1 基本思想、伪代码与复杂度
分析 ........................................ 118
5.1.2 现代版 C++实现 ................... 120
5.1.3 CD-AV 演示设计 .................. 121
插入排序算法 .................................. 122
5.2.1 基本思想、伪代码与复杂度
分析 ....................................... 123
5.2.2 现代版 C++实现 ................... 125
5.2.3 CD-AV 演示设计 .................. 125
堆排序算法 ...................................... 126
5.3.1 二叉堆的理论及相关算法 ... 127
目录
- IX -
5.3.2 基本思想、伪代码与复杂度
分析 ....................................... 131
5.3.3 现代版 C++实现 ................... 133
5.3.4 CD-AV 演示设计 .................. 133
5.3.5 优先队列简介 ....................... 136
算法国粹——π 值计算方法 ............ 137
5.4.1 刘徽关于 π 值的“割圆术”
计算方法 ............................... 137
5.4.2 祖冲之的 π 值计算成果 ........ 138
5.4.3 π 值的近现代计算方法和
计算成果 ............................... 138
习题 .......................................................... 139
参考文献 ................................................... 140
第 6 章 算法的分治设计方法 ........................ 141
分治法基础 ...................................... 141
6.1.1 分治法概述 ........................... 141
6.1.2 二分搜索算法 ....................... 142
Karatsuba 乘法算法 ......................... 144
6.2.1 大整数乘法的朴素分治
算法 ....................................... 144
6.2.2 大整数乘法的 Karatsuba
算法 ....................................... 145
归并排序算法 .................................. 147
6.3.1 基本思想、伪代码与复杂度
分析 ....................................... 147
6.3.2 现代版 C++实现与 CD-AV
演示设计 ............................... 150
快速排序算法 .................................. 152
6.4.1 基本思想、伪代码与复杂度
分析 ....................................... 152
6.4.2 现代版 C++实现与 CD-AV
演示设计 ............................... 155
大师定理及其应用 .......................... 156
6.5.1 大师定理简介 ....................... 157
6.5.2 大师定理的应用 ................... 157
算法国粹——贾宪的增乘开平
方法 .................................................. 158
6.6.1 增乘开平方法详解................ 158
6.6.2 近代开平方法——牛顿
迭代法 ................................... 160
习题 ......................................................... 161
参考文献 ................................................... 163
第 7 章 算法的动态规划设计方法 ................ 164
DP 方法概述 .................................... 164
7.1.1 Fibonacci 数的 DP 计算 ....... 164
7.1.2 DP 方法的基本思想及其所
求解问题的两个重要特征 ... 166
7.1.3 DP 算法设计的基本步骤 ..... 167
两个字符串间的编辑距离问题的
DP 算法 ........................................... 168
7.2.1 DP 方程及算法设计 ............. 168
7.2.2 现代版 C++实现与复杂度
分析 ....................................... 172
7.2.3 CD-AV 演示设计 .................. 174
矩阵链相乘问题的 DP 算法 ........... 176
7.3.1 DP 方程及算法设计 ............. 176
7.3.2 现代版 C++实现与复杂度
分析 ....................................... 179
7.3.3 CD-AV 演示设计 .................. 181
0-1 背包问题的 DP 算法 ................. 184
7.4.1 DP 方程及算法设计 ............. 184
7.4.2 现代版 C++实现与复杂度
分析 ....................................... 187
7.4.3 CD-AV 演示设计 .................. 189
TSP 问题的 DP 算法 ....................... 191
7.5.1 DP 方程及算法设计 ............. 191
7.5.2 现代版 C++实现与复杂度
分析 ....................................... 196
7.5.3 CD-AV 演示设计 .................. 200
算法国粹——秦九韶的正负开方术
与最优多项式计算算法 .................. 202
7.6.1 秦九韶的正负开方术 ........... 202
7.6.2 秦九韶的最优多项式计算
算法 ....................................... 205
习题 ......................................................... 206
参考文献 ................................................... 207
第 8 章 算法的贪心设计方法 ........................ 209
贪心法概述 ...................................... 209
算法设计与分析——基于计算教学论的解析
- X -
8.1.1 找零钱问题、局部最优与
全局最优 ............................... 209
8.1.2 贪心法的基本特征................ 211
图中单源最短路径的 Dijkstra
算法 .................................................. 213
8.2.1 最短路径的最优子结构
性质 ....................................... 213
8.2.2 Dijkstra 算法的基本思想与
贪心选择策略 ....................... 214
8.2.3 现代版 C++实现与复杂度
分析 ....................................... 215
8.2.4 CD-AV 演示设计 .................. 219
图的最小生成树的 Prim 算法 ......... 222
8.3.1 最小生成树的最优子
结构性质 ............................... 222
8.3.2 Prim 算法的基本思想与
贪心选择策略 ....................... 223
8.3.3 现代版 C++实现与 CD-AV
演示设计 ............................... 224
图的最小生成树的 Kruskal 算法 .... 225
8.4.1 Kruskal 算法的基本思想与
贪心选择策略 ....................... 225
8.4.2 不相交集合及其 Union 与
Find 操作 ............................... 227
8.4.3 现代版 C++实现与复杂度
分析 ....................................... 228
8.4.4 CD-AV 演示设计 .................. 231
Huffman 编码算法 ........................... 233
8.5.1 变长编码、前缀编码及其
满二叉树表示 ....................... 233
8.5.2 Huffman 编码算法的基本
思想与复杂度分析................ 235
8.5.3 最优前缀编码的最优子结构
性质与 Huffman 编码算法的
贪心选择策略 ....................... 236
8.5.4 现代版 C++实现 ................... 238
8.5.5 CD-AV 演示设计 .................. 240
算法国粹——姚期智院士的
最小生成树算法 .............................. 242
8.6.1 算法描述 ............................... 242
8.6.2 复杂度分析 ........................... 244
习题 ......................................................... 244
参考文献 ................................................... 245
第 9 章 算法的回溯设计方法 ........................ 247
图的 DFS 算法 ................................. 247
9.1.1 图及其表示 ........................... 247
9.1.2 图的 DFS 算法、DFS 树及
拓扑排序 ............................... 248
9.1.3 现代版 C++实现 ................... 251
9.1.4 CD-AV 演示设计 .................. 252
回溯法概述 ...................................... 254
9.2.1 回溯法基础 ........................... 254
9.2.2 问题解的形态与回溯
算法的基本流程及相
关的节点状态 ....................... 257
0-1 背包问题的回溯算法 ................ 258
9.3.1 约束条件和限界条件设计 ... 259
9.3.2 0-1 背包问题回溯算法的
伪代码及运行实例 ............... 260
N-皇后问题的回溯算法 .................. 263
9.4.1 N-皇后问题的定义、解空间
分析及约束条件设计 ........... 263
9.4.2 现代版 C++实现 ................... 265
9.4.3 CD-AV 演示设计 .................. 266
K-着色问题的回溯算法 .................. 268
9.5.1 图着色问题的定义与分析 ... 268
9.5.2 K-着色问题的回溯算法
设计 ....................................... 270
9.5.3 现代版 C++实现 ................... 270
9.5.4 CD-AV 演示设计 .................. 272
算法国粹——线性方程组的
消元求解法 ...................................... 274
9.6.1 中国古代数学家对线性
方程组消元求解法的探索 ... 274
9.6.2 线性方程组求解的高斯
消元法 ................................... 276
习题 ......................................................... 277
参考文献 ................................................... 278
第 10 章 算法的分支限界设计方法 .............. 280
目录
- XI -
图的广度优先搜索 ........................ 280
10.1.1 图的 BFS 算法 .................... 280
10.1.2 现代版 C++实现 ................. 282
10.1.3 CD-AV 演示设计 ................ 282
分支限界法概述 ............................ 283
10.2.1 分支限界算法设计的
基本要领 ............................. 283
10.2.2 两类分支限界法 ................. 284
0-1 背包问题的分支限界算法 ...... 286
10.3.1 约束条件和限界函数设计.... 286
10.3.2 现代版 C++实现 ................. 287
10.3.3 CD-AV 演示设计 ................ 289
TSP 问题的分支限界算法 ............. 292
10.4.1 TSP 问题与哈密尔顿回路 ... 292
10.4.2 费用矩阵及其归约矩阵上的
哈密尔顿回路 ..................... 293
10.4.3 基于费用矩阵归约的 TSP
问题的分支限界条件设计... 295
10.4.4 现代版 C++实现 ................. 299
10.4.5 CD-AV 演示设计 ................ 303
算法国粹——内插法与招差术 ..... 306
10.5.1 中国古代数学家对内插法与
招差术的探索 ..................... 306
10.5.2 现代插值法 ......................... 309
习题 .......................................................... 311
参考文献 ................................................... 312
第 11 章 RSA 算法 ......................................... 313
公钥密码学基础 ............................ 313
11.1.1 凯撒加密 .............................. 313
11.1.2 对称密钥体制 ...................... 314
11.1.3 公钥密码学简介 .................. 315
模幂运算的反复平方算法 ............. 317
11.2.1 模运算基础 .......................... 317
11.2.2 模幂运算的反复平方表示与
算法 ..................................... 318
模同余、模的乘法逆元及扩展
Euclid GCD 算法 ........................... 320
11.3.1 模同余的定义及其
运算性质 ............................. 320
11.3.2 模的乘法逆元及
扩展 Euclid GCD 算法 ....... 322
Miller-Rabin 素性测试算法 .......... 324
11.4.1 关于素数的定理 ................. 324
11.4.2 费马小定理及相关的素性
测试算法 ............................. 326
11.4.3 Miller-Rabin 素性测试算法
详解 ..................................... 328
RSA 算法的基本原理与实现 ........ 331
11.5.1 RSA 算法的基本原理 ......... 331
11.5.2 现代版 C++实现 ................. 333
11.5.3 CD-AV 演示设计 ................ 335
算法国粹——中国余数算法 ......... 339
11.6.1 《孙子算经》中的中国
余数算法 ............................. 339
11.6.2 秦九韶关于中国余数算法的
普适设计 ............................. 340
11.6.3 中国余数算法的现代版 C++
实现及 CD-AV 演示设计 ... 341
11.6.4 中国余数算法在加快 RSA
解密运算中的应用 ............. 343
习题 ......................................................... 345
参考文献 ................................................... 346
第 12 章 NP 理论............................................ 348
算法不可解的问题 ........................ 348
12.1.1 停机问题的不可计算性 ..... 348
12.1.2 希尔伯特第十问题的
不可计算性 ......................... 349
易解问题与难解问题、NP 理论
基础 ................................................ 350
12.2.1 易解问题与难解问题 ......... 350
12.2.2 NP 理论基础 ....................... 351
NP 完全性理论 .............................. 356
12.3.1 判定性问题的多项式
时间归约 ............................. 356
12.3.2 通过定义证明的 NP
完全问题 ............................. 357
12.3.3 通过多项式归约证明的
NP 完全问题 ....................... 360
算法设计与分析——基于计算教学论的解析
- XII -
12.3.4 问题复杂性类间的关系 ...... 365
算法国粹——姚期智院士的百万富翁
问题 ................................................ 366
12.4.1 多方安全计算简介 .............. 367
12.4.2 百万富翁问题及其
求解协议 ............................. 368
习题 .......................................................... 369
参考文献 ................................................... 370
附录：教材算法的现代版 C++实现及
计算教学论简介 .................................... 372
附录 1-1 Euclid GCD 算法 .................... 372
附录 2-1 洗牌算法 ................................. 373
附录 2-2 顺序搜索算法 ......................... 374
附录 4-1 子集遍历问题的递归穷举
算法 ......................................... 374
附录 4-2 全排列遍历问题的递归穷举
算法 ......................................... 376
附录 5-1 冒泡排序算法 ......................... 376
附录 5-2 插入排序算法 ......................... 377
附录 5-3 堆排序算法 ............................. 378
附录 6-1 归并排序算法 ......................... 379
附录 6-2 快速排序算法 ......................... 380
附录 7-1 Levenshtein 编辑距离问题的
DP 算法 .................................. 381
附录 7-2 矩阵链相乘问题的 DP 算法 .... 384
附录 7-3 0-1 背包问题的 DP 算法 ....... 387
附录 7-4 TSP 问题的 DP 算法 .............. 389
附录 8-1 Dijkstra 最短路径算法 ........... 392
附录 8-2 Prim 算法 ................................ 396
附录 8-3 Kruskal 算法 ........................... 399
附录 8-4 Huffman 编码算法 ................. 404
附录 9-1 图遍历的 DFS 算法 ............... 408
附录 9-2 N-皇后问题的回溯算法 ......... 410
附录 9-3 K-着色问题的回溯算法 .......... 411
附录 10-1 图的 BFS 算法 ...................... 414
附录 10-2 0-1 背包问题的分支限界
算法 ....................................... 415
附录 10-3 TSP 问题的分支限界算法 .... 420
附录 11-1 RSA 算法 .............................. 426
附录 11-2 中国余数算法 ....................... 429
附录 12 计算教学论简介 ...................... 431