离散数学(微课版)
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丛 书 名:全国高等学校计算机教育研究会“十四五”系列教材
本书是全国高等学校计算机教育研究会十四五规划教材,较全面地介绍了离散数学的基本理论及基本方法。本书以离散数学课程的重要知识点为纽带,夯实程序设计思路,拓展数据和关系的表示方法,强化从实例计算到模型计算和问题形式化自动化(计算机化)等方法,为后续的科学研究打下良好的基础。全书由命题演算基础、命题演算的推理理论、谓词演算基础、谓词演算的推理理论、递归函数论、集合、关系、函数与集合的势、图论、树和有序树、群和环、格与布尔代数共12章组成。本书知识结构完整,内容丰富,不仅配备了符合教学目标的课后习题,还配备了重点章节的微课视频,既方便教学,又方便自学。本书可作为高等院校计算机科学与技术及相关专业离散数学课程的教材,也可作为教师、研究生或软件技术人员的参考书。
(1)本课程根据课程建设目标和思路重点修订教学大纲和教学资源,编写纸质教材和数学资源相结合的微课版离散数学教材。 (2)根据数字资源的实时性,不断汲取学科的新知识和新方法,随时更新数字教材,真正实现教材的与时俱进。 (3)针对现有《离散数学》教材与新技术和新方法结合不够、学生解决复杂问题的综合能力和高级思维锻炼不足问题,本课程结合大数据分析、人工智能等前沿科学,给出详尽的案例分析,提高学生汲取新知识和新方法的兴趣。 (4)根据本课程的建设内容使学生系统地掌握离散数学的基本理论和基本方法,重点以离散数学课程重要知识点为纽带,夯实程序设计思路,拓展数据结构中数据和关系的表示方法,提高了学生从实例计算到抽象类计算的应用能力。 (5)结合大数据分析、人工智能等前沿科学,给出详尽的案例分析,提高了学生汲取新知识和新方法的兴趣,较好地培养了学生构建复杂问题解决方案的能力。
离散数学是计算机科学与技术重要的理论基础课程,它不仅是计算机科学的核心课程,而且已成为电子信息类专业的热门选修课。离散数学与计算机科学有着十分密切的关系。无论是数字计算机雏形的图灵机,还是数字电路的布尔代数,以及程序设计工具的语言、关系数据库、知识表示、人工智能等领域均离不开离散数学;同时两者的相互渗透推动了离散数学的发展。因此,学好离散数学对计算机科学与理论的研究有着重要的作用。离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,旨在介绍离散数学各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。本书以离散数学课程重要知识点为纽带,夯实程序设计思路,拓展数据和关系的表示方法,强化从实例计算到模型计算的应用能力,使读者充分掌握问题-形式化-自动化(计算机化)方法,为后续的学习和科学研究打下良好的基础。本书基于全国高等学校计算机教育研究会的教材规范对离散数学教学内容进行编著,强化了离散数学的相关概念及其应用,注重相关课程内容的相互渗透。本书共12章,主要内容包括命题演算基础、命题演算的推理理论、谓词演算基础、谓词演算的推理理论、递归函数论、集合、关系、函数与集合的势、图论、树和有序树、群和环、格与布尔代数。本书第1、2、3、4、5、7、9、10、11章由朱保平编写,第6、8、12章由金忠编写,第6~12章由叶有培教授统一策划。第1~11章微课视频由朱保平录制,第12章微课视频由金忠录制。由于作者水平有限,书中难免存在疏漏和不足之处,恳请读者批评指正。
作者2023年8月于南京理工大学
第1章命题演算基础11.1命题和联结词11.1.1命题11.1.2联结词21.1.3合式公式51.1.4命题逻辑的应用61.2真假性91.2.1解释91.2.2等价公式101.2.3联结词的完备集111.2.4对偶式和内否式121.3范式及其应用141.3.1范式141.3.2主范式161.3.3范式的应用191.4典型例题20习题21第2章命题演算的推理理论252.1命题演算的公理系统252.1.1公理系统的组成部分262.1.2公理系统的推理过程272.2若干重要的导出规则292.2.1分离规则的讨论292.2.2公理和定理的导出规则292.3命题演算的假设推理系统312.3.1假设推理系统的组成312.3.2假设推理系统的推理过程322.3.3额外假设推理法342.4命题演算的归结推理法362.4.1归结证明过程362.4.2归结证明示例372.5典型例题38习题41〖3〗离散数学(微课版)目录〖3〗第3章谓词演算基础433.1个体和谓词433.1.1个体433.1.2谓词433.2函数项和量词463.2.1函数项463.2.2量词463.3自由变元和约束变元483.3.1自由出现和约束出现483.3.2改名和代入493.4永真性和可满足性503.4.1真假性503.4.2同真假性、永真性和可满足性523.4.3范式553.5唯一性量词和摹状词563.5.1唯一性量词563.5.2摹状词573.6典型例题58习题59第4章谓词演算的推理理论624.1谓词演算的永真推理系统624.1.1公理系统的组成部分624.1.2公理系统的推理过程644.2谓词演算的假设推理系统654.2.1假设推理系统的组成及证明方法654.2.2定理的假设推导过程664.3谓词演算的归结推理系统674.3.1置换684.3.2归结反演系统694.4霍恩子句逻辑程序724.5Prolog简介744.6典型例题76习题78第5章递归函数论815.1数论函数和数论谓词815.1.1数论函数815.1.2数论谓词和特征函数825.2函数的构造845.2.1迭置法845.2.2算子法855.2.3原始递归函数865.3典型例题87习题88第6章集合896.1集合的基本概念896.1.1集合的定义896.1.2集合的表示906.1.3集合的包含关系916.1.4集合的特点916.1.5多重集926.2集合的基本运算926.2.1集合的并、交、差926.2.2集合的对称差946.2.3文氏图946.2.4集合的幂集合956.2.5多个集合的并与交966.3全集和补集976.3.1全集和补集的定义976.3.2基本运算定理976.3.3集合的计算机表示986.4自然数与自然数集996.4.1后继996.4.2自然数和自然数集的定义996.4.3皮亚诺公理假设1006.4.4自然数集的性质1016.4.5集合的递归定义与递归子程序1026.5包含与排斥原理1046.6典型例题106习题107第7章关系1117.1集合的笛卡儿积集1117.1.1有序二元组1117.1.2笛卡儿积集1117.1.3有序n元组、n个集合的笛卡儿积集1127.2二元关系的基本概念1137.2.1二元关系1137.2.2二元关系的表示1137.2.3二元关系与数据结构1147.2.4二元关系的运算1157.3n元关系及其运算1177.3.1n元关系1177.3.2n元关系的运算1187.4二元关系的性质1207.4.1自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性和反传递性1207.4.2二元关系性质的判定定理1227.5二元关系的闭包运算1247.5.1自反闭包、对称闭包和传递闭包1247.5.2闭包的判定定理1247.6等价关系和集合的划分1287.6.1等价关系和等价类1287.6.2商集合1297.6.3集合的划分1307.7偏序关系和格1327.7.1偏序关系和偏序集1327.7.2哈斯图1337.7.3链、反链、全序集1337.7.4极大元、极小元、最大元和最小元1347.7.5上界、下界、最小上界和最大下界1357.7.6格1357.7.7拓扑排序1367.8粗糙集概论1387.8.1知识与知识分类1387.8.2集合近似与粗糙集概念1407.9典型例题141习题142第8章函数与集合的势1488.1函数的基本概念1488.1.1函数(映射)的定义1488.1.2函数的性质1508.2函数的复合和逆函数1518.2.1函数的复合1518.2.2左可逆函数、右可逆函数和逆函数1528.3无限集1558.3.1势1558.3.2有限集和无限集1568.3.3可数无限集和不可数无限集1578.4集合势大小的比较1598.4.1集合势的大小1598.4.2伯恩斯坦定理1598.5鸽巢原理1608.6典型例题161习题162第9章图论1659.1图的基本概念1659.1.1有向图和无向图1669.1.2图的同构、子图和补图1679.1.3顶点的度1689.2图中的通路、图的连通性和图的矩阵表示1699.2.1通路、回路和连通性1699.2.2图的矩阵表示1719.3带权图与带权图中的最短通路1749.4欧拉图1769.5哈密顿图1809.6二部图1839.7平面图与平面图的着色1869.7.1平面图1869.7.2平面图的着色1899.8典型例题191习题192第10章树和有序树19710.1树的基本概念19710.2连通图的生成树和带权连通图的最小生成树19910.3有序树20210.3.1根树20210.3.2根树的应用20310.4前缀码和最优2分树20610.4.1前缀码20610.4.2最优2分树20710.4.3赫夫曼编码21010.5典型例题211习题213第11章群和环21611.1代数运算的基本概念21611.1.1代数运算21611.1.2交换律、结合律21711.1.3n元运算21811.2代数系统和半群21911.2.1代数系统21911.2.2同态映射和同构映射21911.2.3半群与含幺半群22111.3群的基本概念22311.3.1逆元22311.3.2群的定义22311.3.3群的同态、同构22611.3.4无限群、有限群、交换群和元的阶22811.4群的几个等价定义23011.5变换群和置换群23111.5.1变换群23111.5.2置换群23211.6循环群23511.7子群23711.7.1子群的定义23711.7.2子群的判定定理23711.8子群的陪集23911.8.1按子群划分的剩余类23911.8.2右陪集23911.8.3左陪集24111.8.4拉格朗日定理24211.9正规子群和商群24411.9.1正规子群24411.9.2商群24511.10环和域24711.10.1环、子环与理想24811.10.2交换环和整环24811.10.3除环和域24911.11典型例题249习题253第12章格与布尔代数25612.1格定义的代数系统25612.2格25812.2.1格的代数定义25812.2.2子格26012.2.3格的同态和同构26012.3一些特殊的格26112.3.1分配格26112.3.2布尔格和布尔代数26312.4有限布尔代数的唯一性26312.4.1原子26312.4.2有限布尔代数非零元素的表达26412.4.3布尔代数的同构26512.5布尔表达式和布尔函数26612.5.1布尔表达式26612.5.2布尔函数26712.6典型例题269习题270参考文献272