摩尔定律快要走到尽头，但计算革命不会终止。更好的软件编程、3D芯片和量子计算等方法应运而生，其中云计算将成为业界应对摩尔定律消亡的最佳手段，物联网（IoT）的兴起将让我们逼近一个"消失点”，此前计算机的形体从大到小，此后计算机将变得"无形”，使计算无处不在，智能融入日常生活。本书由计算专业领域的专家学者知名吴翰清执笔，代表他及背后的阿里公司，对计算这个科技终极命题的感悟、展望和深刻洞察。本书为三卷书中的第一卷，着眼于对计算非常重要的数学，覆盖了量重要的数学家、数学成就及相关史实及其关联。

吴翰清，毕业于西安交通大学少年班。清华大学创新领军工程博士（人工智能方向，在读）。2005年加入阿里，创建了阿里巴巴、淘宝、支付宝的安全体系，也是阿里云初创团队成员，是阿里安全从无到有、从有到强的亲历者。2017年开始致力于城市大脑的研究与建设，专注于构建机器智能系统。2017年入选 MIT 全球青年科技创新人才榜，是中国互联网安全领域入选 TR35 的第一人。2019年入选「大数据文摘」评选的「30位新生代数字经济人才」。2019年当选中国青年科技工作者协会第六届理事。公益项目“计算图书馆”发起人。目前正致力于人工智能的研究和创业。

导论 ....................................................................................................................................1
第一部分 计算的诞生
第 1 章 毕达哥拉斯的困惑..............................................................................................24
数的计算 .......................................................................................................................24
从数觉到计数 .......................................................................................................24
文明古国的计算 ...................................................................................................28
毕达哥拉斯学派 ...........................................................................................................30
柏拉图的理想世界 .......................................................................................................40
第一次数学危机 ...........................................................................................................44
无理数的发现 .......................................................................................................44
芝诺悖论：无穷之辩 ...........................................................................................46
演绎推理：逻辑学和几何学 .......................................................................................51
亚里士多德的逻辑学 ...........................................................................................51
欧几里得的《几何原本》 ...................................................................................55
悖论：推理的暗面 ...............................................................................................59
第 2 章 计算之术 ............................................................................................................62
代数：字符的计算 .......................................................................................................62
符号与代数 ...................................................................................................................63
零的诞生 ...............................................................................................................63
言辞代数 ...............................................................................................................65
未知量的表示 .......................................................................................................68
还原与对消 ...........................................................................................................70
代数符号 ...............................................................................................................73
求解多项式方程 ...........................................................................................................77
从数值解到代数解 ...............................................................................................77
三次方程的求根公式 ...........................................................................................81
不可约：复数的发现 ...........................................................................................84
数系的扩张 ...........................................................................................................89
代数基本定理 .......................................................................................................92
代数的结构 ...................................................................................................................94
求解一元五次方程 ...............................................................................................94
方程根的结构 .......................................................................................................95
伽罗瓦的遗珠 .....................................................................................................101
计算工具 .....................................................................................................................108
人类计算员 .........................................................................................................109
面向机器的计算思维 .........................................................................................111
第 3 章 莱布尼茨的计算之梦 ........................................................................................116
数理逻辑的创立 .........................................................................................................117
人类思想字母表 .........................................................................................................120
思想的大衍术 .....................................................................................................121
计算之梦 .....................................................................................................................125
思维规律的研究 .........................................................................................................127
19 世纪数理逻辑的复兴 ....................................................................................127
布尔的逻辑代数 .................................................................................................129
第二部分 计算的数学基础
第 4 章 数学的基础.......................................................................................................136
第二次数学危机 .........................................................................................................136
微积分的发明 .....................................................................................................136
消失的鬼魂：贝克莱悖论 .................................................................................139
分析的严格化 .....................................................................................................140
集合论的诞生 .............................................................................................................142
无穷大有多大 .....................................................................................................142
对角线方法 .........................................................................................................146
康托尔的超穷数 .........................................................................................................148
超穷基数与超穷序数 .........................................................................................148
连续统假设 .........................................................................................................152
算术的逻辑化 .............................................................................................................156
弗雷格的“概念文字” .....................................................................................156
自然数的定义 .....................................................................................................159
第 5 章 第三次数学危机 ...............................................................................................163
危机：罗素悖论 .........................................................................................................163
集合论悖论 .........................................................................................................163
自我指涉 .............................................................................................................165
悖论的解决方法 .................................................................................................168
逻辑主义进路 .............................................................................................................169
直觉主义进路 .............................................................................................................173
公理集合论进路 .........................................................................................................176
ZFC 公理集合论.................................................................................................177
选择公理 .............................................................................................................180
NBG 公理集合论................................................................................................182
第三部分 计算理论的形成
第 6 章 计算理论的奠基：希尔伯特进路......................................................................186
数学的无冕之王 .........................................................................................................186
希尔伯特问题 .............................................................................................................188
数学的世纪之问 .................................................................................................188
希尔伯特的第 10 个问题 ...................................................................................189
几何的算术基础 .........................................................................................................192
欧几里得的第五公设 .........................................................................................192
模型化方法 .........................................................................................................194
桌子、椅子和啤酒杯：形式系统思想..............................................................195
“形式主义”之父 .....................................................................................................196
有穷主义证明论 .........................................................................................................198
希尔伯特纲领 .............................................................................................................201
可判定性问题 .....................................................................................................201
王者的落幕 .........................................................................................................202
第 7 章 计算不能做什么：终结者哥德尔......................................................................204
昨日的世界 .................................................................................................................204
我们必须知道，我们必将知道 .........................................................................204
伟大的友谊 .........................................................................................................205
哥德尔的发现 .....................................................................................................207
编码思想：哥德尔数 .................................................................................................209
哥德尔证明 .................................................................................................................213
不完备性定理 .....................................................................................................213
塔斯基定理 .........................................................................................................215
希尔伯特计划的破灭 .........................................................................................216
哥德尔纲领 .................................................................................................................217
自亚里士多德以来 .....................................................................................................218
第 8 章 计算理论的诞生：图灵的可计算数 ..................................................................221
图灵的学业 .................................................................................................................221
图灵机.........................................................................................................................223
模拟人类计算员 .................................................................................................223
图灵机模型 .........................................................................................................224
可计算数 .............................................................................................................226
丘奇-图灵论题............................................................................................................229
判定性问题的证明 .....................................................................................................231
图灵的证明 .........................................................................................................231
停机问题 .............................................................................................................234
忙碌的海狸 .................................................................................................................235
快速增长函数 .....................................................................................................235
不可计算的函数 .................................................................................................238
图灵的命运 .................................................................................................................239
第四部分 计算的极限
第 9 章 计算复杂性.......................................................................................................242
难解的计算问题 .........................................................................................................243
旅行商问题 .........................................................................................................243
多项式时间与指数时间 .....................................................................................245
P/NP 问题....................................................................................................................249
NP 问题...............................................................................................................249
NP 完全问题.......................................................................................................251
柯尔莫哥洛夫复杂度 .........................................................................................254
库克-莱文定理....................................................................................................255
计算的局部性原理 .............................................................................................257
P=NP 吗 ......................................................................................................................257
P=NP 的世界.......................................................................................................258
认知的边界 .........................................................................................................259
P≠NP 的若干推论.............................................................................................260
站在两个世界之间 .....................................................................................................266
未分类的问题 .....................................................................................................266
因数分解问题 .....................................................................................................267
图同构问题 .........................................................................................................268
近似计算 .....................................................................................................................268
丹齐格的线性规划 .............................................................................................270
挑战旅行商问题 .................................................................................................272
PCP 定理与不可近似性 .....................................................................................281
并行计算 .....................................................................................................................284
计算的时空平衡性 .............................................................................................284
并行计算的极限 .................................................................................................285
挑战极限 .............................................................................................................287
第 10 章 量子计算 ........................................................................................................293
计算是数学的，更是物理的 .....................................................................................293
量子计算的启蒙 .................................................................................................293
量子的特性 .........................................................................................................295
计算的最小能量 .................................................................................................296
量子比特 .....................................................................................................................298
从经典比特到量子比特 .....................................................................................298
量子优势 .............................................................................................................300
量子门与量子线路 .............................................................................................300
量子算法 .....................................................................................................................303
从 BPP 到 BQP ...................................................................................................303
Shor 算法.............................................................................................................305
量子霸权 .....................................................................................................................307
量子计算机的实现 .............................................................................................307
展望量子霸权 .....................................................................................................308
第 11 章 复杂性计算.....................................................................................................310
什么是复杂 .................................................................................................................310
反馈与控制 .................................................................................................................312
现代复杂性研究思潮 .................................................................................................318
复杂性的简单算法 .............................................................................................318
生命游戏 .............................................................................................................321
涌现 .....................................................................................................................323
耗散结构 .............................................................................................................324
网络科学 .............................................................................................................326
进化计算 .....................................................................................................................330
生物系统的信息处理 .........................................................................................330
逻辑深度 .............................................................................................................334
企业的进化计算 .................................................................................................335
第 12 章 机器能思考吗.................................................................................................338
模拟大脑的结构 .........................................................................................................338
机器智能大论战 .........................................................................................................340
模仿游戏与中文屋 .............................................................................................340
符号主义与连接主义 .........................................................................................344
AlphaGo 与李世石..............................................................................................350
ChatGPT 与乌鸦.........................................................................................................355
人工智能的圣杯 .................................................................................................355
ChatGPT 的原理 .................................................................................................356
350 多年的等待 ..................................................................................................362
聪明的乌鸦 .........................................................................................................365
未来的方向 .........................................................................................................366
机器的意识 .................................................................................................................374
第 13 章 自然哲学的计算原理......................................................................................379
计算的边界 .................................................................................................................379
时空的桎梏 .........................................................................................................379
宇宙是一台计算机吗 .........................................................................................380
图灵极限 .............................................................................................................384
边界之外 .....................................................................................................................386
无穷时间的计算 .................................................................................................386
无穷空间的计算 .................................................................................................387
一种计算主义的世界观 .............................................................................................392
后记 ................................................................................................................................397
附录 A 科研范式进化史纲要.........................................................................................399
附录 B 提问与求解的艺术 ............................................................................................404
附录 C 世界需要什么样的智能系统..............................................................................416
附录 D 机器智能宣言 ...................................................................................................423
参考文献 .........................................................................................................................425