本书主要讲解如何将数据结构概念用C++程序语言进行实作。本书将复杂的理论结合图文并茂的解说方式，并搭配丰富的图表及范例介绍，将数据结构中重要的观念及演算方法加以诠释，集中学习焦点。
　　本书适合数据结构的初学者使用，也可以作为计算机相关专业的教科书。

　　数据结构毫无疑问是计算机科学既经典又核心的课程之一，不管是从事计算机软件还是硬件的开发工作，如果没有系统地学习过数据结构或者没有专心自学过，很容易被人打上“非专业”的标签。对于任何在信息技术行业工作的专业人员或者想进入此行业的人来说，什么时候开始学数据结构都不会晚，更不会过时。
　　从“数据结构”的名字看，它不仅仅只是讲授数据的结构以及在计算机内如何存储和组织数据的方式，这些只是它的表面现象。数据结构背后真正蕴含的是与之息息相关的算法，精心选择的数据结构配合恰如其分的算法就意味着数据或者信息在计算机内被高效率的存储和高效率的处理。算法其实就是数据结构的灵魂，它既神秘又神奇“好玩”，当然对初学者也比较难，算法可以说是“聪明人在计算机上的游戏”。
　　本书是一本综合而且全面讲述数据结构及其算法分析的教科书，为了便于高校的教学或者读者自学，作者在描述数据结构原理和算法时文字清晰且严谨，为每个算法及其数据结构提供了演算的详细图解。另外，为了适合教学中让学生上机实践或者自学者上机“操练”，本书为每个经典的算法都提供了C++语言编写的完整范例程序实例（包含完整的源代码），每个范例程序都不需要经过修改，直接通过编译就可以运行，目的就是让本书的学习者以这些范例程序作为参照迅速掌握数据结构和算法的要点。
　　全书的所有范例程序都可以在标准的C++语言编程环境中编译通过并顺利运行，我们在改编本书的过程中选用了免费的DevC++5.11集成开发环境，对原书的所有范例程序进行编译、修改、调试和测试，并确保它们都可以准确无误地运行。附录A包含了“C/C++编译程序的介绍与安装”，其中重点就介绍了DevC++。附录B则包含了“C++程序设计语言简介”。

　　序
　　数据结构一直是高校计算机系的必修课，对于第一次接触数据结构课程的初学者来说，内容过多、表达不清楚以及文字叙述不严谨，是造成学习障碍最主要的原因。为了让大家以最轻松的方式学习数据结构，本书征询了多位教师的意见，采用了丰富的图例来阐述各种数据结构的基本概念和应用，并将重要理论、算法进行了最详实的诠释并逐一举例，因此本书是一本内容丰富且专业的数据结构教学用书。
　　笔者长期从事信息教育和写作工作，在文句的表达上尽量以简洁有力、逻辑清楚阐述为主，为了检验大家在各章的学习成果，特别搜集了大量的习题，并参阅重要考试（例如：计算机国家水平考试、研究生升学考试等），为读者提供了更多的理论加实战演练的经验。
　　本书既是一本非常适合数据结构的教学用书，也是一本以C++语言实践数据结构的实践著作。为了避免教学和阅读上的不顺畅，书中的算法尽量不以伪代码来描述，而是以C++程序设计语言来展现。另外，为了减轻读者的学习压力和经济负担，在所谈主题内容不减的情况下，书中仅收录了精华的算法和程序范例的执行画面，本书提供的范例程序都可以从指定网站下载，所有范例都提供了完整的程序源码，读者可直接运行验证。最后希望本书能带给大家对数据结构这门学科更完整的认识。
　　如果下载有问题，请电子邮件联系，邮件主题为“求图解数据结构使用C++范例程序代码”。
　　编者
　　2016年4月

　胡昭民，现任荣钦科技股份有限公司董事长，美国Rochester Institute of Technology计算机科学研究所毕业，长期从事信息教育及计算机图书写作的工作，并监制过多套游戏及教学软件的研发。

第1章 数据结构导论 1
1.1 数据结构简介 2
1.1.1 数据结构的应用 2
1.1.2 算法 4
1.1.3 算法的描述工具 5
1.2 认识程序设计 7
1.2.1 高级程序设计语言 7
1.2.2 程序设计要领 8
1.3 程序设计的风格 8
1.3.1 自顶向下与模块化设计 8
1.3.2 可读性设计 8
1.3.3 控制结构设计 9
1.3.4 面向对象设计 10
1.4 面向对象设计与C++ 12
1.4.1 C++的面向对象功能 12
1.4.2 类的基本概念 13
1.4.3 访问权限关键词 14
1.4.4 继承关系 15
1.4.5 多态 16
1.5 递归算法 17
1.5.1 递归的定义 17
1.5.2 斐波拉契数列 19
1.5.3 汉诺塔问题 20
1.6 程序效率的分析 25
1.6.1 Big-oh 27
1.6.2 Ω(omega) 28
1.6.3 θ(theta) 28
本章习题 29
第2章 线性表 33
2.1 线性表的定义 34
2.1.1 线性表的用途 34
2.2 数组 35
2.2.1 一维数组 35
2.2.2 二维数组 37
2.2.3 多维数组 41
2.2.4 结构数组 45
2.2.5 C++的字符串 48
2.2.6 字符串数组 50
2.2.7 String类 51
2.2.8 指针数组 52
2.3 矩阵 54
2.3.1 矩阵的运算 54
2.3.2 稀疏矩阵 57
2.3.3 上三角形矩阵 60
2.3.4 下三角形矩阵 62
2.3.5 带状矩阵 66
本章习题 66
第3章 链表 70
3.1 动态分配内存 71
3.1.1 C++的动态分配变量 72
3.1.2 动态配置数组 73
3.2 单向链表 74
3.2.1 单向链表的创建与遍历 74
3.2.2 单向链表插入新节点 76
3.2.3 单向链表删除节点 78
3.2.4 单向链表的反转 80
3.3 环形链表 82
3.3.1 环形链表中插入新节点 83
3.3.2 环形链表节点的删除 84
3.3.3 环形链表的连接功能 86
3.4 双向链表 87
3.4.1 双向链表的建立与遍历 87
3.4.2 双向链表中加入新节点 88
3.4.3 双向链表节点的删除 90
3.5 链表相关应用简介 91
3.5.1 多项式表式法 92
3.5.2 稀疏矩阵表示法 95
本章习题 97
第4章 堆栈与队列 103
4.1 堆栈简介 104
4.1.1 堆栈的基本操作 105
4.1.2 用数组实现堆栈 105
4.1.3 用链表实现堆栈 107
4.1.4 堆栈类样板的实现 108
4.1.5 老鼠走迷宫 109
4.1.6 八皇后问题 112
4.2 算术表达式的表示法 114
4.2.1 中序转为前序与后序 115
4.2.2 前序与后序转为中序 120
4.2.3 中序表示法求值 122
4.2.4 前序法的求值运算 124
4.2.5 后序法的求值运算 125
4.3 队列 125
4.3.1 队列的基本操作 126
4.3.2 用数组实现队列 126
4.4 队列的相关应用 129
4.4.1 环形队列 129
4.4.2 双向队列 133
4.4.3 优先队列 134
本章习题 135
第5章 树状结构 147
5.1 树的基本概念 148
5.1.1 专有名词介绍 149
5.2 二叉树 150
5.2.1 二叉树的特性 150
5.2.2 特殊二叉树简介 152
5.3 二叉树的存储方式 153
5.3.1 一维数组表示法 153
5.3.2 链表表示法 155
5.4 二叉树的遍历 156
5.4.1 中序遍历 157
5.4.2 后序遍历 158
5.4.3 前序遍历 158
5.4.4 二叉树节点的插入与删除 160
5.4.5 二叉运算树 165
5.5 线索二叉树 167
5.5.1 二叉树转为线索二叉树 167
5.6 树的二叉树表示法 171
5.6.1 树转化为二叉树 171
5.6.2 二叉树转换成树 173
5.6.3 森林化为二叉树 174
5.6.4 二叉树转换成森林 175
5.6.5 树与森林的遍历 176
5.6.6 确定唯一二叉树 180
5.7 优化二叉查找树 182
5.7.1 扩充二叉树 182
5.7.2 霍夫曼树 184
5.8 平衡树 185
5.8.1 平衡树的定义 185
5.9 高级树状结构的研究 187
5.9.1 决策树 187
5.9.2 B树 189
5.9.3 二叉空间分割树 190
5.9.4 四叉树与八叉树 191
本章习题 192
第6章 图形结构 202
6.1 图形简介 203
6.1.1 图的定义 204
6.1.2 无向图 204
6.1.3 有向图 206
6.2 图的数据表示法 207
6.2.1 邻接矩阵法 207
6.2.2 邻接表法 210
6.2.3 邻接复合链表法 212
6.2.4 索引表格法 214
6.3 图的遍历 217
6.3.1 深度优先遍历法 217
6.3.2 广度优先遍历法 219
6.4 生成树 221
6.4.1 DFS生成树和BFS生成树 222
6.4.2 最小生成树 223
6.4.3 Kruskal算法 224
6.4.4 Prim算法 227
6.5 图的最短路径 228
6.5.1 单点对全部顶点 229
6.5.2 两两顶点间的最短路径 232
6.6 AOV网络与拓朴排序 235
6.6.1 拓朴排列简介 236
6.7 AOE网络 237
6.7.1 关键路径 238
本章习题 239
第7章 排序 248
7.1 排序简介 249
7.1.1 排序的分类 250
7.2 内部排序法 251
7.2.1 冒泡排序法 251
7.2.2 选择排序法 254
7.2.3 插入排序法 256
7.2.4 希尔排序法 258
7.2.5 合并排序法 260
7.2.6 快速排序法 260
7.2.7 堆积排序法 263
7.2.8 基数排序法 269
7.3 外部排序法 272
7.3.1 直接合并排序法 272
7.3.2 k路合并法 275
7.3.3 多相合并法 276
本章习题 276
第8章 查找 286
8.1 常见的查找方法 287
8.1.1 顺序查找法 287
8.1.2 二分查找法 288
8.1.3 插值查找法 290
8.1.4 斐波那契查找法 292
8.2 哈希查找法 295
8.2.1 哈希法简介 296
8.3 常见的哈希函数 297
8.3.1 除留余数法 297
8.3.2 平方取中法 297
8.3.3 折叠法 298
8.3.4 数字分析法 299
8.4 碰撞与溢出问题的处理 300
8.4.1 线性探测法 300
8.4.2 平方探测 301
8.4.3 再哈希 301
8.4.4 链表 301
本章习题 303
附录A C/C++编译程序的介绍与安装 309
A.1 C/C++编译程序简介 310
A.2 Dev C++的安装与介绍 313
附录B C++程序设计语言简介 319
B.1 C++语言的基本概念 320
B.2 C++语言的运算符与表达式 323
B.3 C++语言的流程控制 327
B.4　C++语言的高级语法 332
B.5 C++语言与面向对象概念 341
附录C 数据结构专有名词索引 349

　　第7章 排序
　　随着信息科技的逐渐普及与全球国际化的影响，企业所拥有的数据量成倍数的增长。无论是庞大的商业应用软件，还是小至个人的文字处理软件，每项工作的核心都与数据库有着莫大的关系，而数据库中最常见且重要的功能就是排序与查找，如图7.1所示。
　　图7.1 现在每项工作的核心都与数据库关系密切
　　“排序”（sorting）是指将一组数据，按特定规则调换位置，使数据具有某种顺序关系（递增或递减）。例如数据库内可针对某一字段进行排序，而此字段称为“键（key）”，字段里面的值我们称之为“键值（key value）”。
　　7.1 排序简介
　　在排序的过程中，数据的移动方式可分为“直接移动”和“逻辑移动”两种。“直接移动”是直接交换存储数据的位置，而“逻辑移动”并不会移动数据存储的位置，仅改变指向这些数据的辅助指针的值。如图7.2和图7.3所示。
　　图7.2 直接移动排序
　　图7.3 逻辑移动排序
　　两者间的优劣在于直接移动会浪费许多时间进行数据的移动，而逻辑移动只要改变辅助指针指向的位置就能轻易达到排序的目的。例如在数据库中，可在报表中可显示多项记录，也可以针对这些字段的特性来分组并进行排序与汇总，这就是属于逻辑移动，而不是去实际移动改变数据在数据文件中的位置，如图7.4所示。
　　图7.4 数据库使用的是逻辑移动排序
　　7.1.1 排序的分类
　　排序通常按照数据量的多寡和所使用的内存可分为“内部排序”（internal sort）和“外部排序”（external sort），数据量小则可以全部加载到内存（如RAM）来进行的排序就称为内部排序，大部分排序属于此类。数据量大无法全部一次性加载到内存，必须借助磁带、磁盘等辅助存储器进行排序则称为外部排序。
　　以上只是粗略的区分，其实随着数据结构科学的进步，陆续提出了如冒泡排序法、选择排序法、插入排序法、合并排序法、快速排序法、堆积排序法、希尔排序法、基数排序法、直接合并排序法等等，各有其特色与应用场合。
　　就排序法的选择来说，当数据量相当大时，排序算法所花费的时间就显得相当重要；一个排序法是否为一种有效率（efficiency）的排序法，取决于其时间复杂度，而时间复杂度的决定因素则是排序过程中数据的交换次数及其比较次数的多少。
　　排序前：21 34 45 56 77 81
　　排序后：81 77 56 45 34 21
　　【这种排序的时间复杂度就是最坏情况】
　　时间复杂度可分为最好情况（best case）、最坏情况（worst case）及平均情况（average case）。最好情况就是数据已完成排序，例如原本数据已经完成升序了，如果再进行一次升序所使用的时间复杂度就是最好情况。最坏情况是指每一个键值均须重新排列，简单的例子就如原本为升序现在要重新排序成为降序，就是最坏情况。而空间复杂度就是指算法在执行过程所需占用的额外内存空间，排序法所使用到的额外空间越少，它的空间复杂度就越佳，例如冒泡法在排序过程中仅会用到一个额外的空间，在所有的排序算法中，这样的空间复杂度就算是最好的。
　　7.2 内部排序法
　　在正式讨论排序法之前，还要来讨论排序的稳定度，因为并非所有排序法都是稳定排序法。所谓稳定的排序是指数据在经过排序后，两个相同键值的记录仍然保持原来的顺序，如下例中30左的原始位置在30右的左边（所谓30左和30右是指相同键值一个在左而一个在右），稳定的排序（Stable Sort）后30左仍应在30右的左边，不稳定排序则有可能30左会跑到30右的右边去：
　　原始数据顺序： 30左 10 65 30右 21
　　稳定的排序： 10 21 30左 30右 65
　　不稳定的排序： 10 21 30右 30左 65
　　事实上，每一种排序方法都有其适用的情况与数据种类。建议大家要充分了解排序算法的过程及其所花费的时间与空间复杂度。
　　7.2.1 冒泡排序法
　　冒泡排序法又称为交换排序法，是从观察水中气泡变化构思而成，原理是从第一个元素开始，比较相邻元素的大小，若大小顺序有误，则对调后再进行下一个元素的比较，就仿佛气泡逐渐从水底逐渐冒升到水面上一样。如此扫描过一次之后就可确保最后一个元素是位于正确的顺序。接着再逐步进行第二次扫描，直到完成所有元素的排序关系为止。
　　以下使用55、23、87、62、16数列的演示排序过程，这样大家可以清楚地知道冒泡排序法的具体流程。图7.5为原始顺序，图7.6到7.9为排序的具体过程。
　　从小到大排序：
　　图7.5 排序前的原始位置
　　图7.6 冒泡排序的第一次扫描
　　第一次扫描会先拿第一个元素55和第二个元素23进行比较，如果第二个元素小于第一个元素，则进行互换。接着拿55和87进行比较，就这样一直比较并互换，到第4次比较完后即可确定最大值在数组的最后面。
　　图7.7 冒泡排序的第二次扫描
　　第二次扫描也是从头比较，但因为最后一个元素在第一次扫描就已确定是数组中的最大值，故只需比较3次即可把剩余数组元素的最大值排到剩余数组的最后面。
　　第三次扫描完，完成3个值的排序，如图7.8所示。
　　图7.8 冒泡排序的第三次扫描
　　第四次扫描完，即可完成所有排序，如图7.9所示。
　　图7.9 冒泡排序的第四次扫描
　　由此可知5个元素的冒泡排序法必须执行5-1次扫描，第一次扫描需比较5-1次，共比较4+3+2+1=10次
　　7.2.1
　　数列(43, 35, 12, 9, 3, 99) 用冒泡排序法（Bubble Sort）进行从小到大排序，在执行时前3次（Swap，互换）的结果各是什么？
　　第一次互换的结果为(35, 43, 12, 9, 3, 99)
　　第二次互换的结果为(35, 12, 43, 9, 3, 99)
　　第三次交换的结果为(35, 12, 9, 43, 3, 99)
　　冒泡排序法的C++算法：
　　for (int i=5;i>0;i--)// 扫描次数
　　{
　　for (int j=0;j　　{
　　if (data[j]>data[j+1])// 比较相邻两数，如第一个数较大则互换
　　{
　　int tmp;
　　tmp=data[j];
　　data[j]=data[j+1];
　　data[j+1]=tmp;
　　}
　　}
　　cout<<"第 "<<6-i<<" 次排序后的结果是："; //把各次扫描后的结果打印出来
　　for (int j=0;j<6;j++)
　　cout<　　cout<　　}
　　从以上算法可知，n个元素的冒泡排序法必须执行n-1次扫描，最坏情况和平均情况均需比较：(n-1) + (n-2) + (n-3) +…+ 3 + 2 + 1 = 次，时间复杂度为O(n2)，最好情况只需完成一次扫描，发现没有进行互换的操作则表示已经排序完成，所以只做了n-1次比较，时间复杂度为O(n)。此排序法适用于数据量小或有部分数据已经过排序，而且过程中为相邻两者相互比较和对调，并不会更改其原本排列的顺序，所以是稳定排序法。
　　7.2.2
　　请设计一个C++程序，并使用冒泡排序法来将以下的数列排序：6、5、9、7、2、8。
　　请参考程序CH07_01.cpp，本范例程序的运行结果如图7.10所示。
　　图7.10 使用冒泡排序的范例程序的运行结果
　　7.2.3
　　从上面的程序可以看出冒泡排序法有个缺点，就是不管数据是否已排序完成都固定会执行n(n-1)/2次。请设计一个C++程序，让我们可以通过在程序中加入一个判断语句来判断何时可以提前结束程序，既可得到正确的排序结果，又提高了程序执行的效率。
　　请参考程序CH07_02.cpp，本范例程序的运行结果如图7.11所示。
　　图7.11 改进后的冒泡排序范例程序的运行结果
　　7.2.2 选择排序法
　　选择排序法（selection sort）可使用两种方式排序，一种为在所有的数据中，当从大到小排序，则将最大值放入第一个位置；若从小到大排序时，则将最大值放入最后一个位置。例如，一开始在所有的数据中挑选一个最小项放在第一个位置（假设是从小到大排序），再从第二项开始挑选一个最小项放在第2个位置，以此重复，直到完成排序为止。
　　下面仍然用55、23、87、62、16数列的从小到大的排序过程，来说明选择排序法的演算流程。
　　1. 首先找到此数列中最小值后与第一个值交换，如图7.12所示。
　　图7.12 选择排序的第一次扫描
　　2. 从第二个值开始找，找到此数列中（不包含第一个）的最小值，再和第二个值交换，如图7.13所示。
　　图7.13 选择排序的第二次扫描
　　3. 从第三个值开始找，找到此数列中（不包含第一、二个）的最小值，再和第三个值交换，如图7.14所示。
　　图7.14 选择排序的第三次扫描
　　4. 从第四个值开始找，找到此数列中（不包含第一、第二、第三个）的最小值，再和第四个值交换，则此排序完成，如图7.15所示。
　　图7.15 选择排序的第四次扫描，在此例中即完成了排序
　　选择排序法的C++算法如下所示。
　　void select (int data[])
　　{
　　for(int i=0;i<5;i++) //扫描5次
　　{
　　for(int j=i+1;j<6;j++) //由i+1比较起，比较5次
　　{
　　if(data[i]>data[j]) //比较第i和第j个元素
　　{
　　int tmp;
　　tmp=data[i];
　　data[i]=data[j];
　　data[j]=tmp;
　　}
　　}
　　cout<<"第 "<　　for (int k=0;k<6;k++)
　　cout<　　cout<　　}
　　cout<　　}
　　由以上算法可知，无论是最坏情况、最好情况和平均情况都需要找到最大值（或最小值），因此其比较次数为：(n-1) + (n-2) + (n-3) +…+ 3 + 2 + 1 = 次；时间复杂度为O(n2)。此外，由于选择排序是以最大或最小值直接与最前方未排序的键值交换，数据排列顺序很有可能被改变，所以它不是稳定排序，比较适用于数据量小或有部分数据已经做过排序的情况。
　　7.2.4
　　请设计一个C++程序，并使用选择排序法来将以下的数列排序：9、7、5、3、4、6。
　　请参考程序CH07_03.cpp，本范例程序的运行结果如图7.16所示。
　　图7.16 选择排序范例程序的运行结果
　　7.2.3 插入排序法
　　插入排序法（insert sort）是将数组中的元素，逐一与已排序好的数据进行比较，前两个元素先排好，再将第三个元素插入适当的位置，所以这3个元素仍然是已排序好的，接着再将第四个元素加入，重复此步骤，直到排序完成为止。可以看作是在一串有序的记录R1、R2、…、Ri，插入新的记录R，使得i+1个记录排序妥当。
　　下面仍然用55、23、87、62、16数列的从小到大排序过程，来说明插入排序法的演算流程。在图7.17中，在步骤二，以23为基准与其他元素比较后，放到适当位置（55的前面），步骤三则拿87与其他两个元素比较，接着62在比较完前3个数后插入87的前面，将最后一个元素比较完后即完成排序。
　　图7.17 插入排序的步骤
　　插入排序法的C++算法：
　　void inser(int data[])
　　{
　　int i; //i为扫描次数
　　int j; //以j来定位比较的元素
　　for (i=1;i　　{
　　int tmp; //tmp用来暂存数据
　　tmp=data[i];
　　j=i-1;
　　while (j>=0 && tmp　　{
　　data[j+1]=data[j]; //就把所有元素往后推一个位置
　　j--;
　　}
　　data[j+1]=tmp; //最小的元素放到第一个元素
　　cout<<"第 "<　　showdata(data);
　　}
　　}
　　此排序法适用于大部分数据已经过排序或已排序的数据库在新增数据后再进行排序，是一种稳定排序法。
　　由以上算法可知，最坏和平均情况需比较(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+3+2+1= 次；时间复杂度为O(n2)，最好情况时间复杂度为O(n)。
　　7.2.5
　　请设计一个C++程序，并使用插入排序法来将以下的数列排序：4、6、1、8、10、32。
　　请参考程序CH07_04.cpp，本范例程序的运行结果如图7.18所示。
　　图7.18 插入排序范例程序的运行结果
　　7.2.4 希尔排序法
　　当原始记录的键值大部分已排好序的情况下，插入排序法会非常有效率，因为它不需要执行太多的数据搬移操作。“希尔排序法”是D. L. Shell 在1959年7月所发明的一种排序法，可以减少插入排序法中数据搬移的次数，以加速排序的进行。排序的原则是将数据区分成特定间隔的几个小区块，以插入排序法排完区块内的数据后再渐渐减少间隔的距离。
　　下面仍然用63、92、27、36、45、71、58、7数列的从小到大排序过程，来说明希尔排序法的演算流程。
　　首先，将所有数据分成Y：(8 div 2)，即Y=4，称为划分数。请注意！划分数不一定要是2，质数最好。但为了算法方便，所以习惯选2。因而一开始的间隔设置为 8/2，于是分成：
　　如此一来可得到4个区块分别是：(63，45)(92，71)(27，58)(36，7)，再分别用插入排序法排序成为：(45，63)(71，92)(27，58)(7，36)
　　接着再缩小间隔为 (8/2)/2，于是分成：
　　(45，27，63，58)(71，7，92，36)，再分别用插入排序法后得到：
　　最后再以 ((8/2)/2)/2的间距进行插入排序，也就是每一个元素进行排序，于是得到最后的结果。
　　希尔排序法的C++算法如下所示。
　　……