[引言]
每位妈妈都能锻造一个有价值的人
孙路弘
我的妈妈是一个普普通通的家庭妇女，她怎么有能力教会我数学呢？
在我小的时候，妈妈的任务无非就是给全家人做饭、洗衣，早晨叫我起床、扔给我干净的衣服。10 岁那年我上小学四年级，在我的印象中，我家住在一个筒子楼里，从楼梯上去后，一边有5 户人家，另一边有4 户人家。9 户人家共享3 个卫生间、3 个厨房。每个月，都有一家要负责收整个楼层9 家的电费。由于没有电表，电费是按照人头计算的。
轮到我家收电费时，妈妈会给我一张纸，上面左侧一列有每家应该缴纳的费用，而右侧是空格，用来填写收缴上来的实际金额。如果左侧应该收到的总数与右侧实际收到的总数能够对上，收缴电费的工作就算完成了。我挨家挨户地去收钱，一收到钱就把金额写在右侧相应的位置，然后回家把钱交给妈妈。妈妈点钱，我负责将右侧的数字都加起来，然后把加好的总数写在纸上。
有一次，我发现左右两侧的总数不符，简单一算，差三毛六。妈妈听了这个数后，连看都没看就说肯定是我把数字的位置写错了。我一一核对了一下，还真是，一家应该收五毛九，我写成了九毛五。不过，妈妈清点了实际收到的钱数，却是正确的，也就是说，是我粗心将数的位置写错了。吃过晚饭，我问妈妈：“你怎么连看都没有看就知道是位置写错了呢？”妈妈说：“差三毛六，是9 的倍数，应该不会是加错了，而是位置颠倒了。”正是这句话让我陷入了长时间的沉静——至少对一个10 岁的孩子来说，连续三天都比较安静，没有那么多好奇的问题，算是够长时间了。
只要差错是9 的倍数，最大的可能就是位置颠倒了，这是为什么呢？没错，九毛五与五毛九的差就是三毛六，她是通过三毛六猜测到我将九和五的前后次序弄错了。这里面有什么规律吗？如果写错位置的是八毛五和五毛八，那么差是两毛七，仍然是9 的倍数；如果错的是一毛七和七毛一，差是五毛四，还是9 的倍数。也就是说，不管我错的地方在哪里，只要差是9 的倍数，妈妈都会推测出是我将数字位置弄颠倒了。
她是怎么知道的呢？这个问题不仅让我安静了三天，更让我将一生都投进了数学的天地。
数学这个东西能够吓住许多人，很多家长却仍然前赴后继地将孩子送上这条艰难的旅途。而生活中这么一件小事儿，就能够让一个孩子自愿自觉地去追求数学这门如此枯燥的学科，其威力可真是不小。多少家长因为希望孩子学好数学而送孩子参加各种奥数班、补习班，费了九牛二虎之力，最终却适得其反，使孩子一见到数字便心生恐惧。孩子遇到的困难越多，内心的挫败感就越强烈。当家长们匆匆忙忙送孩子走上艰难的数学之旅时，大概从来没有考虑过孩子的心理感受，更无从谈什么兴趣激发、培养和发展了。妈妈从来没有强迫过我学
习数学，我也自然没有被数学吓住。我小的时候对数字、算术没有任何意识，也就是说，对我而言学的不是什么数学，也不是什么算术，而是游戏、是挑战、是好奇。
试想一下，最初孩子的脑海中本来没有“数学”这个词汇，父母打算教他这么一门高深的学科，于是正经八百地说：“孩子，数学是所有科学的基础，必须学好，咱们今天就开始从数学的基础学起……”这样从一开始，便在孩子的意识中树立了一个艰难的认识，一个模糊的、似懂非懂的概念。当孩子发现父母、老师讲的许多话都难以理解时，数字、数学、算术就渐渐变成让他们恐惧的东西，其心理上就会本能地出现抗拒、抵触的情绪。这时，父母和老师又觉得孩子不听话、不配合，认为孩子的态度有问题，却不知道实际上是教学方法、教学形式让孩子无法接受。
孩子在能力上不具备接受抽象事物的基础，反映出来的消极、逃避不是态度问题，而是能力有限的一种表现。如果从学前阶段就留下这样的心理烙印，小学一二年级又得到进一步的强化，那么对孩子来说，数学从此就真的成了让人恐惧的东西。以后每当再遇到数学系的学生，他们就会心生敬佩，觉得能够学数学得多么聪明啊！其实，数学都是被父母、老师弄成这个样子的。
让我感到自豪的不是我自己，而是我有一位难得的妈妈。收电费不是杜撰的故事，当然也不是神话，它来自真实的生活。此外，还有买日用品时让我口算钱数、乘公共汽车时让我去买票并核对找的钱是否正确等，这样的生活细节培养了让我引以为豪的数学能力。从小学到初中，再到高中、大学，在数学领域建立起来的脑力成为支撑思想的能力，这些能力帮助我更快地理解一些复杂的事情，更快地掌握比较抽象的概念，更快地进入新的领域。等我自己成为数学教师后，在与各种不同性格的孩子互动的过程中，我渐渐认识到，让我引以为豪的并不是我自己的能力，而是给了我这种能力的人——我的妈妈。
妈妈的三言两语总是会让我回味无穷。每年，我家至少会轮上一次查收电费的任务；每周，我都会有加总一周早餐费用的任务；每天，我都习惯性地计算一次下楼的楼梯数。在这些任务中，我有时能够做对，有时会粗心犯错。但是，我的粗心导致的诸多错误不但没有成为挨骂的理由，反而成了引领我探索数学天地的极大诱惑。妈妈指出过我忘记进位的错误，还指出过错位的错误。总之，她总是能够快速看出是乘法做错了，还是加法做错了。她的这种快速发现错误根源的能力总是让我十分感慨，在我成人之后更是如此。
妈妈才是孩子智慧启蒙的关键人物。在北京师范大学数学系求学的过程中，我选修的科目中有儿童心理学。这门学科强调，孩子学习任何新知识、掌握任何新能力、建立各种新概念的过程都是循序渐进的，不仅有术语的认识、熟悉、运用、掌握的过程，还有亲自动手尝试的过程。这个过程可以在学校里由老师辅导来完成，可以通过同学之间的讨论来完成，当然也可以像小朋友玩游戏一样，在参与、体验、尝试中完成。从我幼儿时期的数数、掰手指加法，到儿童时期的加减混合、一位数乘法，再到少儿时期的两位数乘法、简单除法，然后是智力思考应用题、火车追击问题、泳池排水问题、鸡兔同笼问题，及至初中的初等代数、初等几何，每个阶段都有妈妈的影子。妈妈没有上过大学，也没有资格当数学老师，甚至连幼儿园老师的资质也不具备，但她却启蒙了我的数学才智，培养了我一生不变的思考习惯。可见，能够真正启蒙孩子智慧的不是老师，而是妈妈。
每位妈妈都能锻造出一个不同的人。任何国家、任何民族，其优秀的儿女、杰出的人才都是由母亲哺育的。有人说，两个民族的竞争其实就是两位母亲的竞争。妈妈的细致周到成就了孩子的健康，妈妈的三言两语塑造了孩子的信念，妈妈的一点一滴启发了孩子一生的追求。在当数学老师的职业生涯中，发现每位妈妈都能够在有意无意之间传递一种知识、激发一个兴趣、点燃一簇火花。不断积累的知识最终会成为思想的基石，不断激发的兴趣最终会成就一生的事业，不断放射的火花最终会迸射出光芒，照亮世界、照亮人类，如明星闪烁般灿烂辉煌，妈妈也就成了培养人才的伟大的人。
爱因斯坦有这样一位妈妈，牛顿有这样一位妈妈，莱布尼茨也有这样一位妈妈。再看看中国历史，祖冲之有这样一位妈妈，徐光启也有这样一位妈妈。这些妈妈都是平凡得不能再平凡的人，教科书中没有她们的名字，历史典册中也没有她们的传记，但她们的贡献与所哺育出的伟人的名字就镌刻在人类历史进程的丰碑上。
对于妈妈而言，你的孩子在12 岁以前，都是你能够雕琢他的时候。每一个时刻的眼神，每一个瞬间的肢体反馈，每一次的呕心沥血、梦中惊醒，都贯穿着你对孩子的影响——对孩子身体健康的影响，对孩子智力发育的影响，对孩子智慧启蒙的影响。你培育的不是孩子，而是民族的未来。那么，你打算如何启蒙他呢？
任何一个两位数，比如48，都可以变成84，然后做一次减法会得到一个数，那个数一定是9 的倍数。比如84 － 48 = 36，36 就是4 乘以9 的结果。你不妨再试试28 这个数，先变成82，然后做一次减法，得到的是54，54 是不是9 的倍数呢？多尝试几个，比如37、46、19，等等。
神话来自神奇。我的妈妈并不知道这个规律的原理，但却知道这个规律，并在比较两个数字不同的时候运用了这个规律，让一个孩子觉得如此神奇，并将神奇延续下去，从而成为神来之笔，最终被艺术家变成神话。对孩子来说，原理其实并不重要，重要的是应用，把规律用熟、用透、用烂，从而激发出好奇心。在追问每一个“为什么”的过程中，孩子渐渐培养了兴趣，获得了快乐，而科学的秘密也就一点一点地被揭示了出来。这一切让孩子陷入其中、不能自拔，不知不觉中挖掘的能力、探索的办法都成为习惯、成为本能。智慧源于其中，能力萌发于此。
更重要的是，我的妈妈总是能够在日常平凡的生活中找到自然而然的机会来激发我的兴趣。借收电费计算错误的机会激发了我对数字倍数的兴趣，借乘车买票锻炼了我对减法的熟练应用，借买书培养了我口算、心算、连加的能力。多数妇女都能够生育孩子，但却不是所有生了孩子的妇女都能够成为让孩子自豪的妈妈。寻找生活中的各种细节，并借机发挥，把话题引到孩子有兴趣的层面，这才是合格的妈妈应该做到的。
当我50 岁的时候，回顾自己已经走过的人生道路，我感谢的人是我的妈妈。她能够做到的这一切，所有用心的妈妈都能够做到，也一定能够通过对孩子智慧的启迪，对兴趣的激发、培养和促进，让孩子拥有更强大、更深刻的思考能力，从而创造美好的人生。
有人说，99% 的父母是教不好自己的孩子的。还有一种更加鲜明的说法：再好、再出色的教师，也教不好自己的孩子。有趣的是，妈妈在她40 岁谈到对我的教育时，她认为自己是失败的。根据是我没有成为大学教授，没有成为科学家，没有成为知识分子。然而等到她50 岁谈到对我的教育时，她认为一部分是成功的，比如我做人善良、比较正直、追求事业、不断努力。根据是我在不断学习新的知识，并努力进入全新的领域。等到她60 岁再谈到对我的教育时，她的说法是，她是成功的。根据是我仍然在从事教育领域的工作，并渐渐得到了这个领域的认可，获得了一定的知名度，而且自我感觉有所成就、对社会有价值。
在父母能不能教好自己孩子的这个问题上，为了比较客观地判断父母对孩子教育的作用和效果，请思考如下几个问题：
教好孩子的意思是性格好、智力高，还是品质好？或者还有其他的意思？
教好孩子用什么来衡量？是考试分数、老师的赞扬，还是各种赛事的
奖状？
教好孩子应该用孩子的哪个年龄阶段来衡量？
妈妈用她的实践给出了答案，好妈妈胜过好老师。老师给的是知识、是理性、是系统，而妈妈给的是兴趣、是动力、是喜悦。妈妈，不是要成为家里的老师，而是成为一个启蒙孩子智力发育的朋友。在追随科学的路上仅仅有知识、理性、系统并不足以启发孩子，往往还会是一种打击。人需要被自己的兴趣所驱动，而这就需要来自妈妈的细心引导与布局。等孩子长大、真正回头望去时，那种感激、敬佩便会油然而生，因为那既成就了妈妈的期望，也成就了自己的一生。
请您打开这本《妈妈教的数学》，让自己成为一位锻造有价值人才的妈妈。
引言：每位妈妈都能锻造一个有价值的人
第一回：家里有一杆秤
物体的轻重是最容易让孩子理解量化作用的切入点，而能够亲眼看到、动手尝试、直接体会并感受，更可以促进孩子理解数字的威力。寓教于乐就是来自生活的教育。
第二回：指尖上的数学
从数学的历史发展来看，十进制成为最常用的计算体系应该与人类有10个手指有关。数字诞生在手指上，指尖上当然有美妙的数学。
第三回：粗心到底是什么
成人想当然地认为他应该会这个，他应该有积极主动的行为来重复检查。但儿童心理学让我了解到，孩子的本性越淳朴，就越不喜欢重复性的动作。如果妈妈换一个方法让孩子去做，那么主动性和被动性将会发生变化。
第四回：默想是智力发展的敌人
说出来的任何内容都是对自我意识的超越，是建立在自我思维的水平之上的。这就相当于为自己制造了双核的计算机处理器，无论是在速度上还是深度上，都肯定能够超越单核的处理器。
第五回：应用题的关键难点
从孩子早期接受数学概念的能力来看，语言理解是最基础的一关，也是最初的难点。培养孩子对数学词汇的熟悉、理解，并渐渐形成认知。这样，当孩子再遇到应用题时，题意理解这一关就可以轻松跨过了。
第六回：从手指开窍出大脑智慧
对孩子来说，指尖上的数学并不是登堂入室的学术任务，而是启迪心智、启发思维、启动乐趣的探索过程。调动孩子运用手指参与不同形式的计算、数数和清点，都是大脑发育阶段最合适、最贴切的活动。
第七回：发烧是多少度
儿童心理学在谈到记忆力的时候有这样的解释：对一个事物的记忆来自于头脑中对这个事物的集中时间，集中的时间越长，对这个事物记忆的时间也就越长。
第八回：孩子懂了吗？妈妈怎么知道
做题并不能验证孩子对数学概念的掌握情况。作为妈妈，能够用来检验孩子对数学概念掌握情况的唯一方式，就是观察或者询问。
第九回：满分学生没有未来
至今我从心里乐于教数学，热衷于辅导孩子数学，并能够快速找到孩子学习数学时卡住的原因，这些能力都应该归功于妈妈与我的交谈——面对考试卷子的交谈。
第十回：不会做题，只有三个可能
发现孩子有完全不会的题目时，父母要明确帮助孩子的目标是什么。不是替孩子把题目做出来，而是帮助他找到一条清晰的通路，理清楚题目的情况，弄明白题目希望他完成什么，或者鼓励他提出自己的疑问。
后记
蔡校长写给读者的话：生活处处皆数学
保教授写给读者的话：为未来浇灌数学之树
王博士写给读者的话：妈妈——早期智慧的培育者
测试题答案
第一章：家里有一杆秤
1972 年3 月21 日 星期二 阴
今天放学回家，一进门就看到妈妈在用秤称重量。秤盘上放了萝卜，旁边还有我家的米袋、我的枕头和纸。妈妈称了东西就写上数，我看到6 两、1 斤1 两等几个数。这时，妈妈拿起我的书包放到秤上，然后在长条棍儿上挪那个疙瘩，她说那是秤砣，之后拿笔写上：2 斤4 两。妈妈让我把书本、铅笔盒都拿出来，分别放到秤上，又都写了数，我就知道了我的铅笔盒重2 两，三本课本重4 两，空书包重6 两。这一天过得很有意义。
妈妈肯定没有想到，1972 年3 月21 日，她给书包称重量这个举动深深影响了我。从那天起，我回家后的第一件事就是给我的书包称重量，后来开始给爸爸的茶杯称重量，家里10 斤以内的小东西都被我称过了重量。有一天在学校，校办工厂车间许老师到班里讲勤工俭学要做橡胶圈的事情。下课后，我看到他喝水的大茶杯，用手掂了一下，然后自言自语地说：“1 斤6 两。”许老师听到了，看了我一眼，笑笑说：“你说这个茶杯1 斤6 两？”我没敢说话。等下午放学的时候，许老师到班里找到了我，让我去校办工厂。到了以后，他让我拿起桌上的茶杯，我掂了一下，他问我多重，我说差不多9 两。他从办公室的门后取出一杆秤，把茶杯放上去称重，然后惊讶地对我说，你怎么光用手就能知道多重呢？
我每天给书包、书本、铅笔盒、茶杯、水杯称重，都是自己用手拿上拿下，连续一个多月，手感就越来越准，当然能够做到用手称重了。
当我有一个小小的绝活儿，能够让学校的老师感到惊讶，并特别叫我到办公室去验证而不是批评我时，这对还是孩子的我来说简直就是天大的激励。
记得有一天回家，妈妈见我又在给书包称重，她拿过来一个瓶子，瓶中有水，让我称一下重量。称完后，我在纸上写下：1 斤6 两。妈妈说应该写成1.6 斤。接着，我把瓶中的水全部倒掉，再称是8 两，然后妈妈让我写成0.8 斤。这时，妈妈问我刚才的水有多重。我哪里知道水有多重，我都不知道斤是什么、两是什么，当时仅仅知道这些字代表了这个东西重的程度。数越大，当然就越重了。不过，在这种称重的过程中，我学到了10 两就是1 斤、1 斤就是10 两的知识，记得非常快，也理解得非常快，于是算出倒掉的水重8 两，也就是0.8 斤。
对于小数点的接受过程是自然的还是人为的，对孩子的理解与应用至关重要。此时，我才意识到小数点的作用是更加容易得出两个数之间的差，不然妈妈给我解释1 斤6 两减去8 两将是多么大的麻烦。妈妈讲到1 斤等于10 两的时候，我说那么1 斤6 两不就是16 两嘛，16 两拿走8 两，就是剩下8 两喽。
小数点是数学历史发展过程中一个重要的里程碑，是数学领域的一件大事。这么一件大事讲给小学生听，唯一的结果大概就是成功地把孩子都吓住，使他们在平时生活中再也不敢碰相关的事情了。妈妈的成功之处就在于让我自然地接受了小数点的作用，却没有用多么悠久的历史、多么辉煌的成就来培养我敬畏的心情和崇拜的心理。没有了类似这样无用的负担，又与眼前的生活息息相关，接受起来自然就轻松得多了。
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