《高等数学（上册）》是根据编者多年的教学实践，吸收近年教学研究及教学改革的新成果，按照《高等数学课程教学基本要求》 编写而成的。分上、下两册出版。上册内容为函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等六章。下册内容为空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等五章。并在每章插入了利用Mathematica软件求解相关问题的内容。书末附有习题答案与提示。
     《高等数学（上册）》可作为高等院校理工科各专业高等数学课程的教材，也可供其他相关学科学生使用。

第一章 函数与极限
第一节 函数
第二节 数列极限的概念与性质
第三节 函数极限
第四节 极限的运算法则
第五节 极限存在准则 两个重要极限
第六节 无穷大量与无穷小量 阶的比较
第七节 连续函数
总习题一
第二章 导数与微分
第一节 导数概念
第二节 函数的求导法则与基本初等函数求导公式
第三节 高阶导数
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
第五节 函数的微分
总习题二
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
第二节 洛必达法则
第三节 泰勒公式
第四节 函数的单调性 极值与最值
第五节 函数图形的凹凸性 渐近线及函数图形的描绘
第六节 曲率
总习题三
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
第二节 换元积分法
第三节 分部积分法
第四节 有理函数的不定积分
第五节 Mathematica在不定积分计算中的应用
总习题四
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分的概念与性质
第二节 微积分基本公式
第三节 定积分的换元法与分部积分法
第四节 反常积分
第五节 定积分在几何上的应用
第六节 定积分在物理上的应用
总习题五
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第二节 可分离变量的微分方程
第三节 一阶线性微分方程
第四节 利用变量代换解一阶微分方程
第五节 可降阶的高阶微分方程
第六节 线性微分方程解的结构
第七节 常系数齐次线性微分方程
第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程
总习题六
附录 极坐标系简介
参考答案
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第一章 函数与极限
函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学（微积分）的主要研究对象。极限概念是微积分的理论基础，极限方法是高等数学的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好高等数学的关键。连续是函数的一个重要性态。本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的计算方法，为今后的学习打下必要的基础。
第一节 函数
一、预备知识
1、集合
集合是数学中的基本概念之一，几乎所有的数学分支都与集合密切相关，我们所学的这门课与实数集就是紧密相关的。虽然在这里只能给出其描述性定义，但这并不影响它在本课程及其他数学课程中的地位和作用。一般来讲，由事物组成的集体，无论它是由其成员直接表示出来的，还是由成员所具有的某些本质属性表示出来的，都称为集合。例如，能够说“正在这里听课的所有同学的集合” 、“所有整数的集合”等。集合也常称为集。
若某事物a 是集合A 的一个成员，则称a 为A 的一个元素，记作a ∈ A。若事物a 不是A 的元素，记作a 臭A。显然，对于任一个集合A 和任一元素a ，a ∈ A 与a 臭A 有且仅有一个关系成立。
注 若一个集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。一个集合认为是已知的，如果对任何事物能判断它是否属于这个集合。若能写出这个集合的所有元素，则可用一个括号将它们括起来表示这个集合，例如由元素a1，a2，…，an 组成的集合，可记作A ＝ ｛ a1，a2，…，an ｝。
例如， A ＝ ｛1 ，3 ，7｝，B ＝ ｛11 ，23 ，45 ，85，77｝。这种表示集合的方法称为枚举法。而对不易用枚举法表示的集合，通常用以下记号表示：设集合A 是由某种性质P 的元素x 所组成，就记作A ＝ ｛ x | x 具有性质P｝。
例如，N ＝ ｛ n｜ n 为自然数｝代表全体自然数组成的集合，R ＝ ｛ x｜ x 为实数｝代表全体实数所组成的集合，Z ＝ ｛ x｜ x 为整数｝代表全体整数所组成的集合，Q ＝ ｛ x｜ x 为有理数｝代表全体有理数所组成的集合。这种表示集合的方法称为描述法。若集合A的任一元素都是集合B 的元素，即若x ∈ A ，则x ∈ B ，称集合A 是集合B 的子集，记作A 彻B 或B 澈A。若A 彻B 且A ≠ B ，则称集合A 是集合B 的真子集，记作A 炒B 或B 车A ，例如N 炒Z ， Z 炒Q ， Q 炒R。若A 彻B ，且B 彻A ，则称集合A 等于集合B ，记作A ＝ B。不含任何元素的集合称为空集，记作？。空集是任何集合的子集。在研究具体问题时，若考虑的集合总是某个特定集合的子集，则称这个特定的集合为全集。
2、区间与邻域
区间和邻域是以后常要用到的两个特殊数集。区间分为有限区间和无限区间。
设a，b ∈ R ，且a ＜ b ，有限区间有以下几种形式：
（1） 开区间（ a，b） ，即数集x a ＜ x ＜ b ；
（2） 闭区间［ a，b］ ，即数集x a ≤ x ≤ b ；
（3） 半开半闭区间［ a，b） 与（ a，b］ ，分别对应数集x a ≤ x ＜ b ，x a ＜ x ≤ b。
以上区间对应数轴上的一段线段，如图1 1 所示。
图1 1
设a ∈ R ，无限区间有以下几种形式：
（1） 无限开区间（ - ∞，a）与（ a，+ ∞ ） ，分别对应数集x x ＜ a 与x x ＞ a ，
这里，记号- ∞ 和+ ∞ 分别读作“负无穷大”和“正无穷大” ；
（2） 无限闭区间（ - ∞，a］与［ a，+ ∞ ） ，分别对应数集x x ≤ a，x x ≥ a ；
（3） 全体实数的集合R 也常记作区间（ - ∞，+ ∞ ） ，它在几何上对应整个数轴。
以上无限开区间和无限闭区间在数轴上如图1 2 所示。
图1 2
图1 3
邻域也是一个经常用到的概念。设a ∈ R ，δ ∈ R 且δ ＞ 0 ，数集x x - a ＜ δ 称为点a 的δ 邻域，记作U（ a，δ）。点a 叫做该邻域的中心，δ叫做该邻域的半径，如图1 3。
因为｜ x - a｜表示点x 与点a 的距离，所以U（ a，δ）表示与点a 距离小于δ 的一切点x 的集合。点a 的δ 邻域去掉中心后，称为点a 的去心邻域，记作U o（ a，δ） ，即
U o（ a，δ） ＝ x 0 ＜ x - a ＜ δ。为方便以后的应用，称数集x x ＜ - a ∪ x x ＞ a （ a ＞ 0）为无穷邻域，记作Ua （ ∞ ） ，它也是两个区间（ - ∞，a）与（ a，+ ∞ ）的并集： （ - ∞ ，a） ∪ （ a，+ ∞ ）。对应的两个区间（ - ∞，a）与（ a，+ ∞ ）分别称为左无穷邻域与右无穷邻域，并分别记作Ua （ - ∞ ）和Ua （ + ∞ ）。
二、函数的概念
1、变量与函数
在介绍函数概念之前，先来介绍变量。所谓变量，就是在某一过程中可以取不同值的量。相反，若在某一过程中保持不变的量称为常量。通常用字母a，b，c 等表示常量，用字母x，y，z，u，v，t 等表示变量。
在自然现象中，对同一个问题，往往同时出现几个变量，而这些变量又是相互联系、相互依赖的。以下就两个变量的情形举几个例子（多于两个变量的情形将在第七章讨论）。
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