第一篇 力学
第一章 质点力学
中国于2011年9月29日成功发射首个目标飞行器“天宫一号”，11月1日，成功发射
“神舟八号”飞船，11月3日凌晨，“天宫一号”和“神舟八号”成功进行首次交会对接，11月
14日20时，在北京航天飞行控制中心的精确控制下，“天宫一号”和“神舟八号”第二次交会
对接圆满成功，中国由此成为继美国、俄罗斯之后，世界上第三个独立掌握空间交会对接技
术的国家。
空间交会与对接技术是指两个航天器在空间轨道上会合并在结构上连成一个整体的技
术。航天器之间交会，即相互接近，也就是在太空飞行中，两个或两个以上的航天器通过轨道
参数的协调，在同一时间到达空间同一位置的过程。两个航天器在太空进行对接时，要求两
者保持对接机构的同轴接近方式和确定的纵向速度，以及在其他线坐标和角坐标上的相对
速度为零，但两个航天器之间的实际相对运动参数总是有偏差。一般情况下，两个航天器之
间的相对位置及其平动速度通常是靠主动航天器运动控制系统和两个航天器的定向与稳定
系统来维持，前者适用于控制质心的平动，后者适用于控制绕质心的转动。
第一节 质点运动学
质点运动学研究物体运动过程中位置随时间变化的规律，它是从几何观点来研究和描
述物体的机械运动。实际的物体结构复杂，大小各异，为了从简单情况入手研究，引入了质点
模型，即具有质量而大小为几何点的物体。本节首先介绍经典时空的概念和参考系，然后介
绍位置矢量、速度矢量及加速度矢量，并给出在直角坐标系和自然坐标系下质点运动的
描述。
一、空间和时间 参考系和坐标系
（一）空间 时间
描述物体的运动，要用到时间和空间这两个概念。空间表征物质的广延。在物理事件的
相互关系中，空间反映了事件发生的位置上的秩序。空间是三维的，经过空间一点，能够作出
也只能作出三条互相正交的直线。描写点的空间位置，需要三个独立的参数。
时间表征物质运动过程的持续性。在物理时间的相互关系中，时间反映了物理事件发生
的先后次序。时间是一维的连续变量。
将运动物体在空间的位置按物体到达的迟早排成一个序列，并将这个序列与数字联系
起来，令较早的位置对应较小的数字，较迟的位置对应较大的数字，这样的数字称为时刻。运
动物体的空间位置随时间t的改变而改变，这里的时间t既具有时刻的含义，又具有与某起
始位置的零时刻之间的时间间隔的含义。
牛顿认为：空间和时间都是脱离运动物体而客观存在的，它们是处处均匀的。
（二）参考系 坐标系
宇宙中所有的物体都在不停地运动着，绝对静止的物体是没有的，这就是运动的绝对
性；同时，运动还具有相对性。要确定一个质点的位置，或要描述一个质点的运动，都必须选
取一个或几个彼此没有相对运动的物体作为参考，这些被选出来作为参考的物体称为参
考系。
在运动学中，参考系的选择原则上可以是任意的，主要依据问题的特点和研究的方便而
定。例如，研究地面上物体的运动，一般是以地面和相对于地面静止的物体作参考系较方便；
在描述太阳系中行星的运动时，则选太阳作参考系较方便。同一个物体的运动，选取的参考
系不同，物体的运动形式也不相同，这就是运动描述的相对性。
在动力学中，参考系一般是不能任意选取的。对此，将在下一节作进一步说明。
确定了参考系之后，为了定量地说明一个质点相对于此参考系的空间位置，就要在此参
考的空间位置上建立固定的坐标系。常用的坐标系有：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系和
自然坐标系。在大学物理中，最常用的是直角坐标系；在平面问题中，也常采用极坐标系；
当质点运动的轨迹已知时，如火车沿铁轨的运动、空中缆车沿索道的运动等，一般采用自
然坐标系。
二、位矢和位移 速度和加速度
（一）位矢
为了描述质点在t时刻空间的位置，我们引入位置矢量的概念（简称位矢）。在如图1-1
图1-1
所示的直角坐标系中，从坐标系原点O到t时刻质点位置P
引出的矢量r就称为质点在该位置的位矢，质点P在某一时
刻位于直角坐标系中的（x，y，z）位置，其位矢r可表示为
r＝xi+yj+zk（1-1）
式中，i，j，k分别是沿坐标轴（x，y，z）正方向的单位矢量，位
矢的大小为
r＝|r|＝x2+y2+z2（1-2）
其方向由方向余弦确定
cosα＝x
r， cosβ＝y
r， cosγ＝z
r（1-3）
式中，α，β，γ分别是r与x轴、y轴、z轴之间的夹角。
（二）位移 路程
设质点沿轨道AB做曲线运动，如图1-2所示。在t时刻质点在A处的位置矢量为
图1-2
r（t），t+Δt时刻在B处的位置矢量为r（t+Δt）。在［t，t+Δt］这
段时间内，质点位置的变化量Δr称为位移，记作
Δr＝r（t+Δt）-r（t）（1-4）
位移是矢量，描述了一段时间内质点运动的净效果，与参考
点O的选择无关。它不代表质点在该段时间内的实际路程。因
此，位移和路程是两个完全不同的概念。用Δs表示在Δt时间内
质点沿轨迹所走过的路程，一般情况下Δs≠｜Δr｜。当一质点经历
一个闭合路经回到原来的初始位置，｜Δr｜＝0，但Δs≠0。只有在Δt→0的极限条件下，位移
的模与路程满足关系limΔt→0
｜Δr｜
Δs＝1，即｜Δr｜与Δs是等价无穷小。
图1-3
（三）速度 速率
在图1-3中，若质点按运动规律r＝r（t）沿曲线轨道C运
动，Δt时间内完成了位移Δr，为了说明质点位置改变的快慢和
方向，我们把位移Δr与所需时间Δt之比Δr/Δt定义为质点在
时间t到t+Δt内的平均速度，以v-表示，即
v-＝Δr
Δt（1-5）
因位移Δr是矢量，除以标量Δt（恒大于零的正值）后，所得的平
均速度显然也是矢量：其方向与位移Δr的方向相同，其大小等
于｜Δr｜/Δt。
平均速度只是粗略地反映了在某段时间内质点位置变动的快慢和方向。为了精确地描
述质点的运动快慢和方向，可将时间Δt无限减小，并使之趋近于零，即Δt→0，这样质点的
平均速度就会趋向于一个确定的极限矢量，这个极限矢量称为t时刻的瞬时速度，简称速
度，用v表示，即
v＝limΔt→0
Δr
Δt＝dr
dt（1-6）
由于矢量导数仍是一个矢量，故速度是矢量，其方向沿着轨道上质点所在点的切线，并
指向质点运动前进的一方，其大小为
|v|＝dr
dt＝|dr|
dt（1-7）
速度v的大小和方向分别表示质点在某时刻的运动快慢和方向。若v是恒矢量，其大小
和方向皆不随时间t的变化而改变；或者说，质点运动时保持方向不变和快慢均匀，则质点
做匀速直线运动。
质点在任一时刻的位矢和速度，表明了质点在该时刻位于何处，朝着哪个方向离开该处
的快慢。所以，位矢r和速度v是全面描述质点运动状态的两个物理量，缺一不可。
速度的大小称为速率，速率是标量，恒取正值，定义为单位时间内质点所经历的路程，即
v＝limΔt→0
Δs
Δt＝ds
dt（1-8）
由于瞬时速度的大小为
|v|＝|dr|
dt＝ds
dt＝v（1-9）
所以，瞬时速率就是瞬时速度的大小。
（四）加速度
质点运动时，它的速度大小和方向都可能随时间变化，加速度就是描述速度大小和方向
变化情况的物理量。
设质点沿曲线LM运动，如图1-4所示，在时刻t质点位于A，速度为vA；在时刻t+Δt，
质点位于B，速度为vB，则Δt时间间隔内，速度的增量，即速度矢量的变化为
Δv＝vB-vA（1-10）
速度增量Δv和vA，vB之间的关系如图1-5所示。
质点速度增量Δv与其所经历的时间Δt之比称为这一段时间内质点的平均加速度，用
?a表示，即
?a＝vB-vA
Δt＝Δv
Δt（1-11）
平均加速度只是粗略地反映了在某段时间内质点速度变化的快慢和方向。为了精确地
描述质点速度的变化情况，可将时间Δt无限减小，并使之趋近于零，即Δt→0，这样，质点的
平均加速度就会趋向于一个确定的极限矢量，这个极限矢量称为t时刻的瞬时加速度，简称
加速度，用a表示，即
a＝limΔt→0
Δv
Δt＝dv
dt＝d2r
dt2（1-12）
即加速度等于速度对时间的一阶导数，或位矢对时间的二阶导数。
加速度是矢量，其方向就是当Δt→0时，速度增量Δv的极限方向。质点做曲线运动时，
加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面，与同一时刻速度的方向一般是不同的。
三、直角坐标系中的运动方程、速度和加速度
当质点运动时，位矢r是时间t的函数，可表示为
r＝r（t）＝x（t）i+y（t）j+z（t）k（1-13）
式（1-13）称为质点的运动方程，其直角坐标分量为
x＝x（t）， y＝y（t）， z＝z（t）
则速度
v＝dr
dt＝dx
dti+dy
dt
j+dz
dtk
用vx，vy，vz分别表示v沿坐标轴x，y，z的投影，则有
v＝vxi++vyj+vzk（1-14）
速度的大小为
v＝v2
x+v2
y+v2z
速度矢量的三个投影式及它的三个方向余弦分别为
vx＝dx
dt， cosαv＝vx
vvy＝dy
dt， cosβv＝vy
vvz＝dz
dt， cosγv＝vz
v加速度
a＝dv
dt＝dvx
dti+dvy
dt
j+dvz
dtk
用ax，ay，az分别表示加速度a沿坐标轴x，y，z的投影，则有
a＝axi+ayj+azk（1-15）
加速度的大小为
a＝a2
x+a2
y+a2
z加速度是速度对时间的一阶导数，是位置矢量对时间的二阶导数，即
它们的投影式也满足相应的关系
ax＝dvx
dt＝d2x
dt2， ay＝dvy
dt＝d2y
dt2， az＝dvz
dt＝d2z
dt2
可见，如果已知用直角坐标系表示的质点运动学方程，就可以求出质点在任意时刻速度的大
小和方向；如果已知用直角坐标系表示的质点运动学方程，或已知速度矢量在x，y，z坐标
轴上的三个投影随时间的变化函数，就可以求出质点在任意时刻加速度的大小和方向。
四、运动学中的两类问题
质点运动学所研究的问题一般可分为两类。
（1）已知运动学方程，通过求导可求出质点的速度和加速度。
设r＝r（t）＝x（t）i+y（t）j+z（t）k，则
v＝dr
dt＝dx
dti+dy
dt
j+dz
dtk＝vxi+vyj+vzk
a＝dv
dt＝d2x
dt2i+d2y
dt2j+d2z
dt2k＝dvx
dti+dvy
dt
j+dvz
dtk＝axi+ayj+azk
（2）已知速度v或加速度a及初始条件（t＝0时的初位置和初速度），通过积分可求出
质点的运动学方程。
根据v＝dr
dt，∫r
r0dr＝∫t
t0
vdt可得
r-r0＝∫t
t0
vdt
根据a＝dv
dt，∫v
v0dv＝∫t
t0
adt可得
v-v0＝∫t
t0
adt
下面通过实例来说明以上两类问题的解法。
例1.1 已知一质点运动方程为：r＝2ti+（2-t2）j，求：（1）t＝1s到t＝2s质点的位
移；（2）t＝2s时的v，a；（3）轨迹方程。
解 （1）由运动方程可得t＝1s和t＝2s时的位矢分别为
r1＝2i+j， r2＝4i-2j
则位移
Δr＝r2-r1＝（4-2）i+（-2-1）j＝2i-3j
（2）v＝dr
dt＝2i-2tj， a＝d2r
dt2＝dv
dt＝-2j
当t＝2s时
v2＝2i-4j， a2＝-2j
（3）x＝2t， y＝2-t2
轨迹方程为
y＝2-x2/4
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