第2章 平面体系的几何组成分析
2.1 概 述
杆件结构是由若干杆件相互联结而组成的体系，但组成的不合理体系是不能成为结构的，所以我们要对杆件组成的体系进行分析。只有组成的体系为几何不变的体系方可作为结构。
几何不变体系：在任意荷载作用下，若不考虑材料的变形则体系的几何形状与位置保持不变，如图2.1(a)所示。
几何可变体系：在任意荷载作用下，虽不考虑材料的变形，但其几何形状与位置均不能保持不变，如图2.1(b)所示。
图2.1
判别体系是否几何不变，这一工作称为体系的几何机动分析，或称几何构造分析。
在几何机动分析中，由于不考虑材料的变形，可以把一根杆件或已知是几何不变的一部分体系看成一个刚体。在平面体系中又将刚体称为刚片。
工程中的结构必须是几何不变体系(方能承受荷载、传递荷载)。
2.2 平面体系的计算自由度
2.2.1 自由度
为了判定体系的几何可变性，有时要先计算它的自由度。
物体的自由度：物体运动时独立变化的几何参数的数目称为物体的自由度，也可理解为确定物体位置所需的独立坐标数。
物体的自由度=物体运动的独立参数=确定物体位置所需的独立坐标数
平面上的一个点，它的位置用坐标和完全可以确定，它的自由度等于2，如图2.2(a)所示。
平面上的一刚片，它的位置用、和完全可以确定，它的自由度等于3，如图2.2(b)所示。
图2.2
2.2.2 联系
体系有自由度，加入限制运动的装置可使自由度减少，减少自由度的装置称为联系。能减少一个自由度的装置称为一个联系或一个约束。常用的联系有链杆和铰。
1) 链杆
一个刚片有3个自由度，加上了一个链杆，自由度为2，减少了一个自由度，则称链杆为一个联系或一个约束，如图2.3(a)所示。
2) 铰
两个刚片用一个铰连接，可减少两个自由度，我们称连接两个刚片的铰为单铰，相当于两个联系，如图2.3(b)所示。连接几个刚片的铰称为复铰(n>2)，相当于(n-1)个单铰，相当于2×(n-1)个联系，如图2.3(c)所示。
图2.3
2.2.3 体系的计算自由度
体系的计算自由度为组成体系各刚片自由度之和减去体系中联系的数目。
设体系的计算自由度为w，体系的单铰数为h，支座链杆数为r，体系的刚片数为m，则
(2-1)
【例2.1】 求如图2.4所示体系的计算自由度w。
解：体系刚片数m=7，单铰数h=9，支座链杆数r=4(其中固定端支座相当于3个链杆)，则
【例2.2】 求如图2.5所示体系的计算自由度w。
图2.4 图2.5
解：体系刚片数m=9，单铰数h=12，支座链杆数r=3，则
w=3×9-(2×12+3)=0
如图2.5所示，这种完全由两端铰结的杆件所组成的体系，称为铰结链杆体系，其自由度除可用式(2-1)计算外，还可用下面的简便公式来计算。
设体系的结点数为j，杆件数为b，支座链杆数为r，则体系计算自由度w为
(2-2)
对于例2.2，如按式(2-2)计算，则有
2.2.4 平面体系计算自由度结果分析
上面讨论了平面体系的计算自由度的计算方法，那么计算自由度或是否一定表明平面体系几何不变呢？平面体系的计算自由度与体系可变性是什么关系呢？下面结合图2.6来说明这个问题。
图2.6
图2.6(a)中，，体系是几何可变的。
图2.6(b)中，，体系是几何不变的，且无多余联系。
图2.6(c)中，虽是，体系却是几何可变的，有一个多余联系(刚片体系上的A点用两个支座链杆和地基相连就可以了，另一个就是多余的)。
图2.6(d)中，，体系是几何不变的，且有一个多余联系。
图2.6(e)中，虽，体系却是几何可变的，且有两个多余联系。
以上分析可推广到一般情况，即平面体系的计算自由度与体系的可变性的关系有如下3种结论。
(1) ，表明体系缺少足够的联系，因此可以肯定体系是几何可变的。
(2) ，表明体系具有成为几何不变所需的*少联系数目。
(3) ，表明体系具有成为几何不变所需的联系并有多余联系。
由上可知，体系成为几何不变需要满足的条件，此条件也是体系成为几何不变的必要条件。
前面所讲w是相对于地球而言，工程中常先考虑体系本身(或称体系内部)的几何不变性。当不考虑体系与地球相联的问题，而仅考虑体系本身的几何不变性时，其成为几何不变的必要条件变为。
这里还要说明一点，体系的计算自由度和体系的实际自由度是不同的。这是因为实际中每一个联系不一定能使体系减少一个自由度，这与联系的具体布置有关。如图2.6(c)所示，虽，但其实际自由度为1。
以上我们知道了判断体系几何不变性的必要条件，其充分条件将在几何不变体系的组成规则中给出。
2.3 几何不变体系的简单组成规则
2.3.1 三刚片规则
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两联接，组成的体系是几何不变的，且无多余联系。
如图2.7所示的铰结三角形，每个杆件都可看成一个刚片。若刚片Ⅰ不动(看成地基)，暂把铰C拆开，则刚片Ⅱ只能绕铰A转动，C点只能在以A为圆心以AC为半径的圆弧上运动；刚片Ⅲ只能绕B转动，其上的C点只能在以B为圆心、以BC为半径的圆弧上运动。但由于C点实际上用铰联接，C点不能同时发生两个方向上的运动，它只能在交点处固定不动。
如图2.8所示的三铰拱，将地基看成刚片Ⅲ，左、右两半拱可看作刚片Ⅰ、Ⅱ，此体系是由三个刚片用不在同一直线上的三个单铰A、B、C两两相联组成的，为几何不变体系，而且没有多余联系。
……
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