果壳Mooc小组中最热门的课程之一: 概率课的学生题目故事, 以讲故事的形式介绍概率概念, 题目均为学生自己出的题目, 由其他学生解答。
果壳网MOOC学院
受欢迎的课程老师
台大叶丙成教授和他的学生们
用27个通俗易懂的故事教你学好概率
了解世界运行的数学规律
找到百分百恋人
还记得三年前某日，我在台湾大学（后简称台大）电机系必修课“概率与统计”班上跟大家说：“以后有一天，我们一定会出版一本书，让这个世界看到你们超级精彩的创作才华！”三年后的今天，我们终于做到了！
这一切源自于四年前我开始的一场教学创新实验。
本人的教学生涯始于2001年，那一年在密歇根大学当助教教课。在2001—2010年这十年中，我一直认为教书就是要教得清楚、教得有趣，教学理念就是追求Beclear,Befun。直到2010年，我侥幸得到了台大的教学杰出奖。这个奖项历年得奖的都是台大教学素负盛名的前辈们。能与这些前辈齐名，对我是很大的鼓励！
那时起，我似乎有了一种错觉。就像武侠小说中描写的人物那样，觉得自己的教学仿佛……已臻化境？颁完奖后的两天，我在教室上课。当天依然使出浑身解数，尽可能地把课上得清楚、上得有趣。可是，我不由得注意到在后排有三四位同学，一直在打瞌睡。等等，不是教学已臻化境了嘛？怎么还会有人度估（闽南话，意思是：快睡着了，头低着，不断点头）？！以前上课学生度估也不以为意，但现在看到那些度估的人，却很像不小心看到液晶屏幕坏点后便不由自主一直往那里看一样。在那天，那些上课度估的人影一直在我眼前启现。我心里一直在想：怎么会有人度估？已经教得很清楚、很有趣，怎么还会有人度估？
一直到当天晚上入睡时，这样的疑惑依旧占据我的脑海，当晚因此辗转难眠。苦思到半夜才突然想到：原来他们就是没有学习动机啊！对于没有学习动机的学生而言，老师教得再清楚、再有趣，他也不会想听。以前以为教得清楚有趣，学生自然就会有动机听。其实并不是这样的啊！该怎么样才能燃起学生的动机？
该怎么样才能让他的动机热烈持续一整个学期？这些才是教学能否成功的关键！在那当下，我才惊觉自己在教学上的道行实在太浅。想到自己竟曾生起“已臻化境”的念头，不禁冒了一身冷汗！所以，说起来，真的要感谢四年前在我课堂上度估的同学们，是他们点醒了我。我的教学理念从此改变！从那一夜起，我在教学上开始追求“如何让学生能持续有动机地学习”。
究竟该怎么做才能提起学生的学习动机呢？这个问题一直困扰着我。恰好在同一段时间，我也被另一个问题苦恼着：“如何解决常见的作业抄袭问题？”
根据我去台湾各地演讲访查的结果，发现台湾大学生的作业抄袭问题非常严重。学生抄作业固然不对，但也有其背后的原因。主要是台湾大学生修课的学分太重了，一学期修二十几学分，八九门课，远比美国大学生四五门课多很多。一学期修八九门课，学生根本没有时间好好地去思考，更别说自己去把作业好好地琢磨出来。一个作业题目如果花了两三分钟还做不出来，很多人便会去看习题解答。因为有好多科目都要顾，没办法单单只在某科某题作业上冒险花那么多的时间。因此学生或是抄袭直属学长学姊过去留下来的作业答案（学生称之为家产），或是抄袭现役同学的作业答案，或是抄袭学校旁影印店所卖的各科教科书习题解答。作业抄袭，是台湾非常严重的问题。
那该如何解决呢？我想到了一石二鸟的方法！决定把作业变成一种多人的在线游戏。每教完一个章节，我就让学生自己设计作业题目，然后互相攻破别人的题目。攻破越多题目的人，在地图上就越领先大家。由于题目都是每组学生自己设计的，同学想抄答案也没得抄，只能被迫好好自己去思考如何按部就班地解出别人的题目！非常感谢我的研究生姜哲雄、唐伟轩，他们以优异的程序设计能力将这个多人在线游戏平台建构出来。2011年下学期，我们的系统正式上线，名字叫做BJTOnline！（细节详见：pcyeh.blog.ntu.edu.tw/archives/135）
BJT-Online这个出题互解的在线游戏，一方面因有游戏的元素使得学生非常投入，另外一方面也因为题目是靠学生自己出题，所以学生花了更多时间研读课本内容，希望能找出好的材料来设计好的题目。另外我也发现学生通过自己设计题目的经验，他们对于题目隐藏架构的洞察力和解题能力，都有显著提升！
此外，对于数学教育我一直有自己的坚持：学生学会以后要会用！我发现很多学生看到变成数学公式的问题后，都很会解题。但若是在生活或是研究中，碰到实际的问题，却有很多人不会利用数学去求解。这是为什么呢？主要的原因是学生看得懂数学式子与数学的语言，但日常生活所碰到的问题，却常常都是以人的语言来描述的。很多学生欠缺将人的语言转译成数学语言的能力，以至于碰到实际的问题时，他们无法运用所学的数学知识来解决这些问题。
因此我出的概率考试题目，每年都是很变态的满满三大页全是字的应用题，很少出现数学式子。学生往往戏称考我的题目像是在考阅读测验一般！每年考题都是以印第安纳琼斯博士为主题来设计出糅合故事与数学的题目。我的目的就是要从中磨炼学生应用数学于实际问题的能力。另外由于题目都相当有故事性、趣味性，常常在考场中看到学生边做题边莞尔的景象。我的理念就是：要让学生考不好也会笑！我希望让学生即使考不好，也还是对这科目有好印象。概率他日若因其他原因而需重拾这方面的学问时，相信这些学生也比较能再燃起对这科目的学习热情。
由于我出的题目都是这类型的题目，台大同学们出的作业题目也因此有着类似的风格。这些年来，台大电机系同学们的创作能力，每每让我惊叹！大家设计的概率题目糅合了数学与各式各样的故事：有悲惨世界入题的，也有叶问入题的；有村上春树入题的，也有哈利·波特同人志入题的。台大电机同学们惊人的创意作品，往往让我拍案叫绝！由于我让学生出题的缴交期限多是半夜三点（ㄟ...不是我变态，是配合学生们的作息@@）。我常常半夜三点在床上用平板上网看学生出的题目，每次都忍俊不禁，边看边哈哈大笑。在旁早已入眠的内人，常常都被我的笑声吵醒，实在过意不去！（老婆啊！这真的都是我学生害的啊！）
这种让学生出作业的教学方法，后来收到很大的成效。学生学习效果较我以往传统式的教学进步很多。学生的学习动机也显著提升。从采用这种教学方法之后，我又衍生出许多教学方法：让学生评分、让学生设计课程、让学生决定学习步调等。我这一系列的教学方法，都有我的新教学理念贯穿其中：Forthestudent,Bythestudent,Ofthestudent!
现今很多老师的教学理念都是Forthestudent,Bytheteacher,Ofthestudent(?)。往往都是老师为了学生，辛辛苦苦把一切东西都准备得好好的，替学生设计了各式各样的教材、作业、题目。一切工作都是老师独自在做，但为学生做了这么多，却常常得不到学生的肯定与响应，他们的学习效果也不如老师预期的好。为什么呢？
个中原因就在于老师剥夺了学生学习的主动权，以至于学生失去了学习的乐趣，也失去了学习的动机。试想，若一个人每天都被人家硬塞大鱼大肉，他对于吃还会有什么欲望吗？我们该做的是让学生饿！让学生重拾学习的主动权！只要将我们老师平常在握的教学权力（出题、评分、授课），部分下放给学生，学生就会觉得自己对学习有更多的主导权。他们对课程的学习也将会更有动力、更有兴趣！老师同仁们，我们不需要再把自己搞这么累了！辛苦半天，却像个不被感激的老妈子一样，何必呢？就给点空间放手让学生胡搞瞎搞一阵吧！
2015年8月
By叶丙成
严格说起来，这篇序言是我在本书中唯一的创作。
在编写这本书的过程中，我所扮演的角色只是，从累积好几年的作业里，挑出适合的作品，然后和其他作者们讨论，一起将题目与解答改写成一篇篇散文，试着让那些就算提不起劲解题目的少数（多数？)读者，也能享受阅读的乐趣、感受到题目的创意，还有那理当跟作业完全扯不上关系的——趣味。
我们活在一个自由的时代，可以自己选择就读哪门科系、从事哪份职业，甚至连让谁走进总统府，看起来都是我们说了算。但事实上，绝大多数的我们依然循规蹈矩，走在别人走过的路上。这样的道路不见得不好，假如是经过时间淬炼的路径，也就是所谓的“传统”，那么跟随优良的传统，可以避免不必要的错误尝试。
然而，有些时候因为习惯，因为“好像大家都这么做、这么想”，所以我们一不小心，即将一些事情或行为视为理所当然。
这本书想传递的就是一些“其实不一定这样”的想法。
出题比解题学得更多。我的指导教授教导我，做研究最重要就是不要“因为书本或论文这么写，所以这么做”，几千年前也有一位老师说过“尽信书，不如无书”。对每件事都保持着怀疑的心态、亲自尝试，直到发现能说服自己的理由，才真正接受这件事。这是我在念研究生时，亲身体验、学到最宝贵的一课。想想——把思考的责任交给素未谋面的人，不是一件不负责任的事吗？虽然没有问过叶老师，但我想他必定也将这样的研究精神应用在他热爱的教育之中，仔细检验课堂中的每一个步骤。“嗯，为什么一定要由老师出题，而不让学生彼此之间出题竞争呢？”这个念头仿佛是一颗种子，而这本书则是种子发芽、茁壮后，开出的一朵花。
叶老师开这门概率课时，我已经毕业很多年了（面不改色摸摸鱼尾纹)。
知道他用这种方式，要求学生互相出题考对方后，我想象了一下：如果是大学时代的我，恐怕也会一不小心就误入陷阱，努力出题设计同学。教过人、站在学习的另一端体验过的人都知道，从讲解或出题过程中所学到的东西，绝对比解题更多。解题只要将出题者发过来的球打回去就可以，但出题却必须了解所有知识，才知道该如何设计题目、如何发出一记难接却有意义的球。
理工人的文字舞台。
我很享受整理这本书的过程。书中有些文章融合了大学生活与数学概率。阅读时，文字仿佛像夜市里的夹娃娃机，一把伸进大脑的深处，将青春的尾巴和大学回忆，一个个钩出来。大学晚会、图书馆念书、新生入学前总期待自己能收到学妹，新生入学后第一天，忍不住把失望的怒气发泄在学弟身上。这些事情我都做过(对不起，学弟)。
除此之外，还有许多文章的灵感源自于文学名著、电玩游戏、热门电影。这是一份集体创作，叶老师、一起合作的八位学弟黄大珉、萧乐山、陈威宇、谢瑞贤、郑子宇、朱柏宪、陈鸿猷、柯劭珩，以及许多未曾谋面的，修了这门概率课程的学弟学妹们。合作过程中，除了看见他们如何充满创意地将生活中的数学元素萃取出来，刚满二十岁的他们，对文字的掌握度与表达能力，更令我惊艳。
这让我想起大学时，每系都有自己的晚会，系上同学能在晚会中尽情展现学业以外的才艺。以前我很喜欢去这种晚会（内文恰恰有一篇计算晚会排队方式与入场概率的文章)，除了能趁机对暗恋的学伴献殷勤，也能看见朋友深藏不露的一面，那种感受总是很惊奇、很有趣。这本书的每一页就是一片舞台，让出题的学弟学妹们有机会在各位面前舞文弄墨。希望各位读着读着，会像参加大学系上晚会一样感到惊喜，心中浮起“原来理工人也有这么好的文笔”的感受。
左脑跟右脑，本来就不像蓝绿两党一样可以这么简单地区分开来，不是吗？
※无趣的不是数学，而是基本动作。此外，我私心把序言当作许愿池，希望这本书能改变大家对数学的误会──误会数学总是无趣。或许，这称不上误解，毕竟要是在街上随机抽样，十位路人中，大概有九位不仅会认为数学很无聊，还能说出许多充分理由，因为从七岁到十八岁，甚至到二十二岁大学毕业，再可怜一点的到二十四岁研究生毕业，我们多少都曾经遭受过数学的荼毒。
然而我认为，大多时候我们感受到的“无聊”并非数学本身，是关于数学的“基本动作”。数学是一门累积了几千年的学问，不像语言偶尔有例外──偶尔有不规则动词、偶尔这样用或那样用都差不多。数学讲究高度的精确与量化。学校义务教育的课程中，大部分练习的都只是数学的基本动作，就像打篮球要练习运球、上篮；念英文时要背单词和动词时态；打桌球时要对墙打、挥空拍，这些也是篮球或英文或桌球的一部分，但跟我们想象中那种在球场奔驰、背着背包在国外自助旅行与外国人对话的感觉又不太一样。
不论哪一门知识或技艺，基本动作练习都相当无聊。不然《灌篮高手》里的樱木花道，就不会在前几集里整天抱怨自己只能在场边弯腰运球。为了熟练，我们必须硬生生地将数学与生活切割开来。翻开课本，只看见冷冰冰、宛如死去的数学基本动作。真正的数学隐藏在生活之中，隐藏在账单、科技产业、电玩游戏中，还有各种更难以想象的地方。这本书或许有些地方太过浮夸、有些地方不切实际，又有些地方纯属博君一笑。可是，我希望透过它，让大家感受到数学的温度，并且重新思考：数学其实没有这么讨厌、这么恼人。
2015年9月
叶丙成，台湾大学电机工程学系教授，PaGamO/BoniOInc.首席执行官，用生命在卖萌的MOOC教育者。一个在由斯坦福大学两位计算机教授开办的网络公开课平台Coursera上以华语讲课的老师。
一个将大规模开放式线上课程（MOOC）变成多人线上竞技游戏的老师，全球共计超过六万名学生修课，是两岸三地教过学生的工程教授。
当代一个推行“意识流概率文学创作”的老师。
有史以来一个扎着马尾辫见校长的台湾大学电机系老师。
带领学生团队击败43国426名校团队赢得Wharton-QS“ReimagineEducation”首届世界教学创新大奖的老师。
赖以威，台湾师范大学电机工学系助理教授，2016年“菠萝科学奖”数学奖得主，数学作家。
序言
●薛定谔的猫咪日记 1
●实况野球 6
●现在，很想见你 10
●近似完美句子 14
●生死一线间 20
●少年哥的富翁漂流 29
●伊伊港载货 36
●愤怒的小鸟：角度，很重要 43
●Face on FIRE !!! 48
●有机农作物 55
●热爱冒险的男人 61
●真实的冒险 68
●仙灵岛 74
●排队看晚会是大学生必解任务 81
●关于戳戳乐 85
●RamdomoTM 91
●巧克力 99
●寻找新商机 107
●非死不可：Connect you to the hell 113
●SF online 118
●V 城追杀录 122
●艾潘尼捎信 128
●格兰杰的遗嘱 135
●四月某个晴朗的早晨遇见100%的女孩 141
●学概率送半导体制程 146
●大雄的高斯人生分布 156
●男子大学生的日常 161
●给想继续挑战的读者们 173
●概率的意义 173
●随机变量与其函数 175
●随机变量(random variable, RV) 175
●概率质量函数(probability mass function, PMF) 175
●累积分布函数(cumulative distribution function, CDF) 176
●概率密度函数(probability density function, PDF) 177
●期望值(E[X]) 178
●条件概率 179
●联合CDF、PMF、PDF 180
●各种概率分布 181
●遇上百分百女孩
那故事从“从前的从前”开始，以“你不觉得很悲哀吗？”结束。从前的从前，有一个地方，有一位少年和一位少女。少年十八岁，少女十六岁。少年并不怎么英俊，少女也不怎么漂亮。是任何地方都会有的孤独而平凡的少年和少女。不过他们坚决地相信，
在这世界上的某个地方，一定有一位100%跟自己相配的少女和少年。
有一天，两个人在街角偶然遇见了。
“好奇怪啊！我一直都在找你，也许你不会相信，不过你对我来说，正是100%的女孩子呢。”少年对少女说。
少女对少年说：“你对我来说才正是100%的男孩子呢。一切的一切都跟我想象的一模一样。简直像在做梦嘛。”
两个人在公园的长椅上坐下，好像有永远说不完的话，一直说下去，觉得再也不孤独了。追求100%的对象，被100%的对象追求，是一件多么美妙的事啊！可随着谈话继续，男孩和女孩的心里，却不由得闪现出一点点的疑虑，就那么一点点梦想，就这么简单地实现，是不是一件好事呢？谈话忽然中断的时候，少年这么说道：“让我们再试一次看看。如果我们两个真的是100%的情侣的话，将来一定还会在某个地方再相遇，而且下次见面的时候，如
果互相还觉得对方是100%的话，那么我们马上就结婚，你看怎么样？”
“好哇。”少女说。
于是两个人就分手了。
其实说真的，实在没有任何需要考验的地方；因为他们是名副其实100%的情侣。而且命运的波涛是注定要捉弄有情人的。来年冬天，男孩得了流行的恶性流行性感冒，好几个星期都一直在生死边缘挣扎的结果，往日的记忆已经完全丧失，当他在来年次年的秋天醒过来的时候，他的脑子里已经像少年时代的D.H.劳伦斯的钱包一样空空如也。
女孩每年四月某日晴朗的早晨在那个街角穿梭。之后，男孩努力再努力后，总算又获得了新的知识和感情。并且顺利地重回社会。他也能好好地搭地下铁换车，也能到邮局去发
限时专送，也经历着75%的恋爱，或85%的恋爱。
女孩依然每年四月某日晴朗的早晨在那个街角徘徊。
随着时间流逝，深藏在男孩脑海深处，关于女孩的记忆，逐渐复苏，他以每年平均2.5%的分量，依照指数分布的方式exponential(0.4)的增长。也就是f(x)=λe-λx，参数λ=0.4
每隔一年，他就稍微记起那位女孩，从0%~2.5%，一路慢慢成长。
而就算没有完全想起，但他的身体很自然而然地，仿佛反射动作一样，每年也会在四月某个晴朗的早晨，为了一杯MorningService的咖啡，在一条巷子里由东向西走去，然后经过那个街角。
那是女孩每年四月的某个早晨，都会站在那儿等待的街角。
由于彼此原是100%的男孩女孩，所以不管等多少年，两人必然会再次相遇的。但每年也就只有1/30的概率，男孩会遇上在那等待的女孩。也因此，再次相遇的年数N，便呈几何分布(geometricdistribution)
。。。。。。
●真实的冒险
生死攸关的大冒险，应该是只会在游戏、小说、梦境中出现的。如果是游戏的话，只要关掉就可以了。如果是小说的话，只要合上就可以了。如果是梦境的话，只要醒来就可以了。
但是，如果醒来后，突然就面对着生死攸关的困境了，那又代表着什么呢?
在头痛剧烈下醒来的琼斯，发现自己躺在一节车厢里，环顾四周没有一个人，车门与车窗通通被木条给钉死。在这封闭空间透露出不协调感的，是挂在一旁的定时器，和不知为何在自己手上的一封信:
亲爱的琼斯：
很高兴我们又见面了。
虽然我很想这么说，但为了我自己的安全起见，还是决定在远方
悠哉地欣赏你的反应。
作为补偿，我决定送你一份礼物。
我知道你是个喜欢冒险的人，所以特地送你来到这里，让你能够尽情展现自己的帅气和潇洒。
请好好享受我为你精心安排的真实冒险。
诚挚的
道姆·柯布
PS当你看完这封信，记得去找一下附近的定时器。当上面的时间归零时，这里将会有一辆大推车过来，压扁整节车厢。祝你顺利。再说一次，我真的好想现场看看你现在的表情。
琼斯丢去手中的信，站起，余光瞄到挂在一旁的定时器，不禁一震。3分钟
2分59秒
2分58秒
……
不知是刻意的还是误算，定时器上无情流逝的时间，所剩无几。车门与车窗全被封死，没有任何工具，没有能帮忙的人。对于过于突然的展开，琼斯只是呆呆地站着，无力地仰起头。
(我要死了?)
(只不过在对方设计的梦境中赢了场游戏，就被拖到这种鬼地方，面对这种鬼情况，然后就要不明不白地死去?)仰着头的琼斯，紧紧地盯着天花板。(这种事情，怎么能允许它发生！)
琼斯纵身向上跳，他的目标，是一个恰好开在车顶的、堪堪能让人钻出去的破洞。然而，车顶离底面有3米，单纯的跳跃是不够的。在定时器即将归零时，他注意到悬吊在车顶的断裂木条，就纵身一跃，用手一把抓住，上臂一收，总算成功跃上了屋顶。这时候，定时器就只剩下了3秒钟，琼斯又花了2秒的时间站稳。此时但见眼前有无数个车厢并列着，推车正疾驶过来，即将撞上他脚下的车厢。千钧一发之际，唯一的办法是立即往别的车厢跳去。但为了让腿部肌肉在有限时间能蓄积最大的动力，琼斯得等到车厢被压的瞬间才跳离。
按照过往的经验，可以推知他的腿部肌肉能在这剩下1秒钟收缩而跳到的平均车厢数为1.5(例如只跳到相邻的车厢，则跳到的车厢数为1)，由于肾上腺素浓度太高，无法控制跳的距离，所以这次跳到的车厢数的概率为泊松分布，跳多远都有可能。一旦跳到另一节车厢上即会掉入该车厢内。在此假设琼斯本来站的车厢设为0，相邻者为1，再相邻者为2，以此类推。
※在家里监控着这一切的柯布，愉快地看着远处摄影机的画面，嘴角抽动地笑着。
如果不这样的话，根本就算不上开始。被压扁的车厢，不过是俄罗斯轮盘的扳机，决定命运的子弹，是他即将跳到的车厢。
1号车厢内有个巨大硫酸池，掉入该车厢必死无疑。
2号车厢内的后门门把是炸弹开关，从这节车厢离开只有前后两个门可走，根据预测报告，琼斯走后门的概率为0.6。
3号车厢内有一位盲武士，他会对入侵者发动突袭，连砍5刀，虽然有七成的概率会漏掉，但攻击力却会随着漏的次数提升，而4次之后，将到达能杀人的杀伤力。由于不足以杀人的攻击力对入侵者几乎没影响，如果5刀都以失败告终，那最后对打起来他根本不
是琼斯的对手。
4号车厢内有个脾气古怪的枪手，他会向入侵者连开4枪，但都不会射到其要害，不过正因枪手脾气古怪，他只会放过4枪中刚好躲过一枪的人，对于那些没放过的对象，4枪射完后，他将立即射击其要害。枪手平均命中率为8成，但若是射击要害则必会射中。
5号车厢内有5只猛兽，会对入侵者轮番攻击，其中一只装有毒牙，若被其咬到，不久就会毒发身亡，但其他几只没有威胁性。以琼斯的能力，大概能在只被2只咬到的情况下制伏全部。不过制伏后是否会毒发身亡，就不知道了。
6号车厢内有500个引爆按钮，依车厢围成一圈，其中只有编号314的钮不会触发爆炸，且能使入侵者平安离开，已知入侵者若掉入该车厢，一定会等概率落在按钮313~318其中一个位置，琼斯天生豪爽，遇到猜赌数字序号的事物只会选最近者。并不是一定要杀了他。也不是希望看到他活下来。这只是娱乐，是赌博，是冒险。
6发子弹都装满的俄罗斯轮盘，没有任何乐趣可言。正因为有失败的风险，才有成功的乐趣。复杂而花哨的设计，都只不过是为了在这报复剧中，增添一点醍醐味。
那么，今天子弹击出的概率是多少呢?
……
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