高等数学是高等院校的一门重要的基础理论课程。《高等数学（下）》参照《高等数学课程教学基本要求》，并结合作者多年的教学实践和经验精心编写而成，并配有对应的《高等数学习题解析（下）》（ISBN：978-7-302-47577-4）。《高等数学（下）》共有4章。第1章介绍了向量的概念，向量的线性运算及关系判断，平面、直线、曲面、曲线概念及其方程；第2章介绍了多元函数的极限与连续性，偏导数、全微分的概念及应用，多元函数的极值与*值问题；第3章介绍了多元函数积分的概念与应用，曲线积分和曲面积分，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的应用；第4章介绍了常数项级数的概念、性质及其审敛法，幂级数的概念、运算、性质及应用，傅里叶级数的概念等此外，根据章节的知识点内容，《高等数学（下）》设置了节习题和总习题模块，便于学生巩固加深对知识点的认知与理解。《高等数学（下）》结构严谨、逻辑清晰、要点突出，既可作为普通高等院校各专业数学课程的教材，也可作为数学教育工作者的参考资料。《高等数学（下）》课件可能过网站http://www.tupwk.com.cn/downpage免费下载。

高等数学是高等院校的一门重要的基础理论课程。为了适应普通高等院校学生学习高等数学课程的需要，我们参照《高等数学课程教学基本要求》，并结合多年的教学实践和经验，精心组织编写了本套教材和相应的习题解析。本套教材在编写过程中，力求结构严谨、逻辑清晰，尽可能以通俗易懂的语言介绍高等数学课程中*为基础的，也是*主要的知识点。同时也注重体现时代的特点，吸收了国内外同类教材的精华，本着打好基础、够用为度、服务专业、学以致用的原则，重视理论产生、发展及演变，加强应用，力争做到科学性、系统性和可行性的统一，使传授数学知识和培养数学素养得到较好的结合。期望读者通过学习能在较短时间内掌握高等数学课程的基本概念、基本原理、基本技能和基本方法，从而为学习其他基础课程和专业课程打下必要的基础。本套教材包括如下书目：《高等数学(上）》 ISBN：978-7-302-47529-3 刘鹏飞、李仲庆、滕飞、付军 定价：38.00元《高等数学习题解析（上）》 ISBN：978-7-302-47810-2 徐乃楠、许静波、柳长青、杜奕秋 定价：38.00元《高等数学（下）》 ISBN：978-7-302-47530-9 车明刚、刘振杰、赵力、徐宝 定价：38.00元《高等数学习题解析（下）》 ISBN：978-7-302-47577-4 程晓亮、张平 、张国芳、冯志新 定价：38.00元

前言

高等数学是高等院校的一门重要的基础理论课程。为了适应普通高等院校学生学习高等数学课程的需要，我们参照《高等数学课程教学基本要求》，并结合多年的教学实践和经验，精心组织编写了本套教材和相应的习题解析。本套教材在编写过程中，力求结构严谨、逻辑清晰，尽可能以通俗易懂的语言介绍高等数学课程中最为基础的，也是最主要的知识点。同时也注重体现时代的特点，吸收了国内外同类教材的精华，本着打好基础、够用为度、服务专业、学以致用的原则，重视理论产生、发展及演变，加强应用，力争做到科学性、系统性和可行性的统一，使传授数学知识和培养数学素养得到较好的结合。期望读者通过学习能在较短时间内掌握高等数学课程的基本概念、基本原理、基本技能和基本方法，从而为学习其他基础课程和专业课程打下必要的基础。本套教材包括如下书目：《高等数学(上)》 ISBN：978-7-302-47529-3 定价：45.00元《高等数学习题解析（上）》 ISBN：978-7-302-47810-2 定价：45.00元《高等数学（下）》 ISBN：978-7-302-47530-9 定价：45.00元《高等数学习题解析（下）》 ISBN：978-7-302-47577-4 定价：45.00元本书为《高等数学（下）》,共有4章。第1章介绍了向量的概念，向量的线性运算及关系判断，平面、直线、曲面、曲线概念及其方程；第2章介绍了多元函数的极限与连续性，偏导数、全微分的概念及应用，多元函数的极值与最值问题；第3章介绍了多元函数积分的概念与应用，曲线积分和曲面积分，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的应用；第4章介绍了常数项级数的概念、性质及其审敛法，幂级数的概念、运算、性质及应用，傅里叶级数的概念等。此外，根据章节的知识点内容，设置了节习题和总习题模块，便于读者巩固加深对内容的理解。《高等数学（下）可以作为普通高等院校各专业基础课教材，以及其他数学教育工作者的参考资料。在编写《高等数学（下）过程中，我们参阅并应用了国内外学者的有关著作和论述，并从中受到了启迪，特向他们表示诚挚的谢意!由于编者水平有限，书中难免有不妥之处，恳请同行、专家及读者指正。

编著者

2017年8月

目录

第1章空间解析几何初步1

1.1向量及线性运算1

1.1.1向量的概念1

1.1.2向量的线性运算3

1.1.3空间直角坐标系5

习题1.1 10

1.2数量积与向量积11

1.2.1数量积11

1.2.2向量积12

1.2.3向量的关系及判断13

习题1.2 14

1.3平面及其方程16

1.3.1平面方程的几种

形式16

1.3.2两平面的位置关系18

1.3.3点到平面的距离19

习题1.3 20

1.4直线及其方程22

1.4.1直线方程的几种形式22

1.4.2直线方程的一般式与对称式

相互转化23

1.4.3空间中两条直线的位置关系24

1.4.4直线与平面的位置关系25

1.4.5点到直线的距离26

习题1.4 27

1.5曲面及其方程29

1.5.1球面29

1.5.2椭球面29

1.5.3双曲面31

1.5.4抛物面32

1.5.5柱面32

1.5.6旋转曲面33

习题1.5 36

1.6曲线及其方程37

1.6.1空间曲线方程的概念及几种不同形式的曲线方程37

1.6.2空间曲线在坐标面上的投影37

习题1.6 42

1.7总习题43

第2章多元函数微分法及其应用45

2.1多元函数的极限与连续性45

2.1.1多元函数的概念45

2.1.2二元函数的极限48

2.1.3二元函数的连续性50

习题 2.1 50

2.2偏导数52

2.2.1偏导数52

2.2.2高阶偏导数54

习题2.2 56

2.3全微分58

2.3.1全微分的概念58

2.3.2全微分在近似计算中的应用60

习题2.3 61

2.4多元复合函数微分法62

2.4.1复合函数微分法62

2.4.2复合函数的全微分66

习题2.4 67

2.5隐函数的求导及偏导公式68

2.5.1一元隐函数的求导公式68

2.5.2二元隐函数的求偏导公式68

习题2.5 70

2.6偏导数的应用71

2.6.1空间曲线的切线及法平面71

2.6.2曲面的切平面与法线73

习题2.6 76

2.7 方向导数与梯度78

2.7.1方向导数78

2.7.2梯度80

习题2.7 81

2.8多元函数的极值与最值83

2.8.1多元函数的极值83

2.8.2多元函数的最大值与最小值85

2.8.3条件极值87

习题2.8 88

2.9总习题89

第3章多元函数积分法91

3.1二重积分的概念与性质91

3.1.1二重积分的概念91

3.1.2二重积分的性质94

习题3.1 95

3.2 二重积分的计算96

3.2.1利用直角坐标计算二重积分96

3.2.2利用极坐标计算二重积分101

习题3.2 103

3.3三重积分106

3.3.1三重积分的概念106

3.3.2三重积分的计算106

习题3.3 113

3.4重积分的应用114

3.4.1曲面面积114

3.4.2重心115

3.4.3转动惯量117

习题3.4 118

3.5曲线积分119

3.5.1对弧长的曲线积分119

3.5.2对坐标的曲线积分122

习题3.5 125

3.6格林公式及其应用127

3.6.1格林公式127

3.6.2平面上曲线积分与路径无关的条件129

3.6.3全微分方程132

习题3.6 133

3.7曲面积分135

3.7.1对面积的曲面积分135

3.7.2对坐标的曲面积分136

习题3.7 141

3.8高斯公式与斯托克斯公式143

3.8.1高斯公式143

3.8.2斯托克斯公式144

习题 3.8 146

3.9总习题147

第4章无穷级数149

4.1常数项级数的概念和性质149

4.1.1常数项级数的相关概念149

4.1.2收敛级数的基本性质152

4.1.3级数收敛的条件154

习题4.1 156

4.2常数项级数的审敛法157

4.2.1正项级数及其审敛法157

4.2.2交错级数及其审敛法162

4.2.3任意项级数及其绝对收敛、条件收敛164

习题4.2 166

4.3幂级数169

4.3.1函数项级数的相关概念169

4.3.2幂级数及其收敛性170

4.3.3幂级数的运算174

4.3.4幂级数和函数的性质175

习题4.3 176

4.4函数展开成幂级数178

4.4.1泰勒级数178

4.4.2初等函数的幂级数展开式181

习题4.4 185

4.5函数的幂级数展开式的应用186

4.5.1近似计算186

4.5.2表示初等函数188

4.5.3求常数项级数的和189

4.5.4微分方程的幂级数解法190

4.5.5欧拉公式的形式推导191

习题4.5 192

4.6傅里叶级数193

4.6.1周期为2的函数的傅里叶级数193

4.6.2傅里叶级数的收敛性195

4.6.3周期为2l的函数的傅里叶级数200

4.6.4傅里叶级数的复数形式203

习题4.6 205

4.7总习题206