混沌系统的奇怪吸引子是由无数条周期轨道稠密覆盖构成的，周期轨道是非线性动力系统中除不动点外*简单的不变集，它不仅能够体现混沌运动的所有特征，而且和系统振荡的产生与变化密切相关，因此分析复杂系统的动力学行为时获取周期轨道具有重要的意义。本书主要介绍了应用动力系统理论和变分法，探究了时空混沌系统KuramotoSivashinsky方程的混沌动力学性质，并详细分析了方程的稳态解，计算出混沌系统相空间起组织作用的重要轨道，如周期轨道和连接轨道。
KS方程的混沌动力学着重介绍了利用动力系统理论和变分计算方法，仔细考察了经典的描述系统相位变化的KS方程，详细分析了其稳态解，使我们对系统的斑图动力学有了全面的认识，为类似复杂系统的研究提供了有力的新工具。
近年来随着人类生产实践和科学研究的不断进步，涌现出了各种非线性、多尺度、复杂体系问题，例如原子分子电离问题、细胞周期调控问题等。此类问题的研究大大促进了非线性动力学的发展和它在各个学科中的应用。早期非线性动力学的研究对象，很多是从工程实践中抽象出来的具有代表性的非线性方程。对它们的深入研究，揭示了分形、分岔以及混沌运动等一系列非线性系统独有的现象，发展出了多种成功的方法及理论来刻画和分析这些系统。
非线性空间延展体系广泛存在于自然界和工程实践中，其动力学演化极其复杂难解，是科学家们长期关注的重要问题。本书将着重介绍利用动力系统理论和变分计算方法，仔细考察经典的描述系统相位变化的KuramotoSivashinsky（KS）方程，详细分析其稳态解。取得的研究结果使我们对系统的斑图动力学有了更全面的认识，这种分析方法为类似复杂系统的研究提供了有力的新工具。
本书主要包括4部分内容。第1部分包括第1～3章。第1章简要介绍了动力系统的发展史。第2章介绍了可以应用于时空延展动力系统的周期轨道理论，该理论用周期轨道的展开来计算物理量的平均值。第3章详细介绍了一种用来寻找高维流不稳定周期轨道的强有力方法变分法。并将该方法应用到了交叉电磁场条件下的里德伯原子系统中，通过研究电磁场参数变化时周期轨道的演变，发现核外电子被电离后存在着小概率的电离回归现象。此外还以勒斯勒（Rssler）方程周期轨道的计算为例，说明如何有效建立符号动力学来实现轨道的系统搜寻。
第2部分是第4章。本章应用变分法研究KS方程，以两条最简单的周期轨道作为组成单元，成功建立了一维符号动力学，系统地找到了该方程在弱湍流时一定拓扑长度内的所有短周期轨道。结果表明： 轨道拓扑的分类方式为今后研究如何剖分高维相空间或者流体系统时提供了一种可借鉴的重要方法。
第3部分是第5章。本章研究了静态KS方程的不稳定周期轨道，对所有找到的短周期轨道按照拓扑的方式进行归类。首先阐明了不动点在动力系统中起到的组织作用，然后通过选取静态KS方程中的四条基本周期轨道作为组成单元，建立了符号动力学来寻找更长的不稳定周期轨道。此外，研究了这些短周期轨道在选取的一个庞加莱截面上的动力学性质，利用多尺度平均微扰方法分析小积分常数值时，系统相空间不动点和各类轨道的分布情况。最后还进一步研究了动力系统在何时发生各种分岔现象。
第4部分包括第6章和第7章。第6章介绍了一种寻找非线性动力系统中连接轨道的理论方法，基于该方法计算了静态KS方程对称的螺旋型异宿轨道。第7章作了总结以及对将来可能的研究方向进行展望。书中的绝大部分内容是作者近年来研究成果的总结，本书的目的是将这些最新的研究成果作一个初步的总结奉献给读者，希望能够推动对KS方程的更进一步深入研究。
作者感谢国家自然科学基金委和中北大学物理学科建设经费的资金支持。作者在从事研究和本书的撰写过程中得到了中北大学物理学科部同事的大力支持和帮助，在此表示衷心的感谢。同时，深深地感谢家人长期以来对我工作的关心、支持和帮助。
鉴于作者水平有限，且成书时间仓促，错误之处在所难免，衷心地欢迎读者批评指正。
第1章引言1
1.1动力系统概述1
1.2周期轨道概述3
第2章周期轨道理论简介7
2.1时间平均和空间平均7
2.1.1测度7
2.1.2演化算符11
2.2迹公式13
2.2.1离散和连续情况下的迹公式13
2.2.2迹公式的渐近形式16
2.3谱行列式和动力学函数17
2.3.1离散和连续情况下的谱行列式17
2.3.2动力学函数18
2.3.3谱行列式与函数的关系19
2.4周期轨道展开20
2.4.1曲率修正20
2.4.2构建轨道展开22
2.4.3动力学平均值的表达式23
2.5周期轨道理论面临的问题24
第3章变分法计算周期轨道25
3.1几种数值寻找周期轨道的方法25
3.1.1逆迭代法25
3.1.2牛顿法26
3.1.3多点打靶法26
3.2变分法28
3.2.1圈演化的变分方程29
3.2.2牛顿下降法的拓展34
3.2.3变分法的数值计算过程35
3.2.4初始化和对称性37
3.3交叉电磁场条件下里德伯原子电离回归现象39
3.3.1背景介绍39
3.3.2里德伯原子的周期轨道42
3.3.3电子电离后的回归现象49
3.3.4总结53
3.4勒斯勒方程的周期轨道53
3.4.1背景介绍54
3.4.2勒斯勒方程的动力学性质55
3.4.3一维符号动力学的建立59
3.5小结与讨论66
第4章KuramotoSivashinsky方程的周期轨道68
4.1背景介绍68
4.2KuramotoSivashinsky方程简介69
4.3拓扑的方式分类KS方程的周期轨道71
4.3.1傅里叶模截断71
4.3.2庞加莱截面73
4.3.3KS方程周期轨道的数值计算77
4.4小结与讨论83
第5章静态KuramotoSivashinsky方程的周期轨道84
5.1背景介绍84
5.2寻找L＝43.5时KS方程的重要不动点87
5.3固定积分常值时静态KS方程的周期轨道100
5.3.1初始化100
5.3.2拓扑的方式建立符号动力学分类周期轨道100
5.3.3庞加莱截面上的动力学114
5.4基本轨道的分岔情况117
5.5小结与讨论126
第6章静态KuramotoSivashinsky方程的连接轨道128
6.1背景介绍128
6.2理论方法130
6.2.1方案一： 弧长参数化法130
6.2.2方案二： 移动网格技术132
6.2.3边界和规范条件132
6.2.4变分法的拓展134
6.3一些例子136
6.3.1洛伦兹方程136
6.3.2KS方程137
6.3.3静态KS方程138
6.4小结与讨论141
第7章总结和展望143
7.1总结143
7.2展望144
参考文献146全书彩图二维码158
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