Wiener sausage是以布朗运动轨道为中心的空间邻域，它是一个集合值随机泛函。大偏差理论主要研究罕见事件发生概率为指数型的估计，由Varadhan于1966年引入，现已成为概率论的主流分支之一。
本书从大偏差角度研究Wiener sausage相交轨道的性质，主要是下临界和临界维数情形。我们采用经典的Feynman-Kac方法和高阶矩逼近方法，研究其相交体积和相交时间的大偏差理论。进而，利用大偏差提供的尾估计研究了单个Wiener sausage体积的重对数律、强逼近等极限性质。
本书可供高等院校研究生以及科研工作者学习参考。
适读人群 ：研究生以及科研工作者
作者在研究Wiener sausage相交轨道的体积以及相交时间的一些大偏差性质等方面是国内的权wei。
经典的布朗运动在描述物体运动时常把质点看成是没有体积的纯几何点运动，然而现实中的物体总是有体积的，此时布朗运动理论难免出现偏差.一个典型的例子是，第二次世界大战期间著名概率论专家Doob发现三维空间的布朗运动是以概率1不常返的，并由此认为飞机碰撞是小概率事件.然而，虽然飞机都被规定在不同高度上飞行，碰撞事件还是时有发生，其原因是与忽略飞机具有体积这一事实相关，这就迫切需要一种新的模型来对布朗运动加以补充. Wiener sausage就是一种有用的补充模型，这是一个随机集合值的泛函，以布朗运动轨道为中心、某一长度为半径的空间邻域. 最重要的是，Wiener sausage考虑到了物体的体积，从而弥补了布朗运动的不足. 由于它具有极强的现实性，其相关理论一直以来都是学界关注的重点. 近年来，随着计算机技术的不断发展，Wiener sausage的相关理论也被广泛应用于网络控制、智能材料、传感器设计等诸多领域.
样本轨道的相交性质是学界关心的重要问题，它与量子场理论中的重正则群方法、随机游动的自回避以及随机聚合物等有着紧密联系. 特别地，相交轨道的大偏差理论在分析一些物理问题时起着关键作用. 该领域的研究可以追溯至Dvoretzky，Erds(文献［34］和［35］) 和Kakutani对布朗运动相交行为的研究工作. 随后涌现大批学者投入研究，建立了很多奠基性的工作. 例如Varadhan在文献［81］中提出了重正则思想，German、Horowitz、Rosen(文献［40］)，Dynkin(文献［37］),Yor(文献［82］)，Calais、Yor(文献［84］) 定义了样本轨道的相交局部时，Le Gall(文献［53］，［54］,［55］)，Rosen、Le Gall(文献［61］) 研究了相交轨道的弱收敛性质，等等. 特别值得一提的是Donsker 和Varadhan 的四篇经典文献［28]、[29]、[30］、[33］对相交局部时及其相关领域的大偏差研究起到了极其深远的影响.
本书主要研究了Wiener sausage相交轨道的体积以及相交时间的一些大偏差性质，并利用这些性质完整地得到了各种维数下单个Wiener sausage体积的重对数律. 通过本书的编写，一方面我们希望完善Wiener sausage的相关理论,另一方面也为对该领域有研究兴趣的读者提供一些有益参考.
本书的主要内容分为三章. 第1章，首先介绍了Wiener sausage的物理背景及其研究进展，同时我们回顾了大偏差的一般理论以及本书证明中将要用到的重要理论；第2章，研究了p个独立Wiener sausage 相交体积和相交时间的中偏差，作为中偏差的一个应用，我们得到了相应的重对数律；第3章，讨论了单个Wiener sausage 体积的重对数律，得到了比较完整的结果.
由于作者水平有限，书中难免会存在不足之处，敬请读者批评指正.
本书得到国家自然科学基金(No.11401590)和中央高校基本科研业务费(No.2722013JC081)以及中南财经政法大学统计与数学学院一流学科建设经费的资助，特此表示感谢. 我还要感谢武汉大学数学与统计学院高付清教授和中南财经政法大学统计与数学学院许多同仁的鼓励、支持和帮助，感谢我的爱人和女儿，他们为我的工作提供了无条件的支持，才使本书得以完成.
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王艳清，中南财经政法大学统计与数学学院副教授、硕士生导师。主要研究方向为大偏差与偏差不等式、随机分析及其应用等。主持国家自然科学基金项目天元基金、青年基金和教育部人文社科青年项目各一项，在《Electronic Journal of Probability》、《Statistics and Probability Letters》、《中国科学》等国内外期刊发表论文10余篇。
第1章 概 述
1.1 研究背景
1.2 预备知识
1.2.1 大偏差理论
1.2.2 非负随机变量的大偏差
第2章Wiener sausage相交体积和相交时间的中偏差和重对数律
2.1 下临界维数Wiener sausage相交轨道的大偏差和重对数律
2.1.1 相交体积的中偏差
2.1.2 相交时间的中偏差
2.1.3 相交体积和相交时间的重对数律
2.2 临界维数Wiener sausage相交轨道的中偏差和重对数律
2.2.1 相交时间的偏差不等式
2.2.2 相交时间的重对数律
2.2.3 相交体积的偏差不等式和重对数律
第3章 单个Wiener sausage体积的重对数律
3.1 一维Wiener sausage长度的重对数律
3.1.1 尾估计
3.1.2 小球估计
3.1.3 重对数律
3.2 平面Wiener sausage面积的重对数律
3.2.1 |Wr(t)|-E|Wr(t)|的尾估计
3.2.2 E|Wr(t)|-|Wr(t)|的尾估计
3.2.3 重对数律
3.3 三维Wiener sausage体积的重对数律
3.3.1 中偏差
3.3.2 重对数律
3.4 高维Wiener sausage体积的重对数律
3.4.1 强逼近
3.4.2 重对数律
参考文献
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