《常微分方程定性与稳定性方法》是为理工类专业的硕士研究生和高年级本科生的需要所编写的一《常微分方程定性与稳定性方法》.《常微分方程定性与稳定性方法》为第二版.主要包括定性理论、稳定性理论和分支理论三个部分.内容着眼于应用的需要 取材精练，注意概念实质的揭示、定理思路的阐述、应用方法的介绍和实际例子的分析，并配合内容引入计算机软件. 每章后附有习题供读者练习.

第二版前言 
第一版前言 
第 1 章 基本定理 1 
1.1 解的存在唯一性定理 1 
1.2 解的延拓 3 
1.3 解对初值和参数的连续依赖性和可微性 9 
1.4 比较定理 13 
习题 1 21 
第 2 章 动力系统的基本知识 23 
2.1 自治系统与非自治系统 23 
2.1.1 相空间与轨线 23 
2.1.2 自治系统的基本性质 25 
2.1.3 动力系统的概念 28 
2.2 轨线的极限集合.29 
2.2.1 常点与奇点 29 2.2.2 自治系统解的延拓性 30 
2.2.3 极限集与 极限集及其基本性质 32 
2.3 平面上的极限集.35 
2.3.1 平面有界极限集的特性与结构35 
2.3.2 Poincar.e-Bendixson 环域定理37 
2.4 极限集的应用实例 39 
2.4.1 Volterra 捕食{被捕食模型 39 
2.4.2 三极管电路的 van der Pol 方程 42 
习题 2 44 
第 3 章 稳定性理论 46 
3.1 稳定性的定义和例子 46 
3.1.1 稳定性的几个定义 46 
3.1.2 稳定性的关系及例子 49 
3.2 自治系统零解的稳定性 54 
3.2.1 V 函数 54？
3.2.2 Liapunov 稳定性定理 55 
3.2.3 不稳定性定理 57 
3.3 非自治系统零解的稳定性 59 
3.3.1 V 函数和 k 类函数 59 
3.3.2 零解的稳定性 62 
3.3.3 零解的不稳定性 65 
3.4 全局稳定性 67 
3.4.1 全局稳定的概念和判定定理 67 
3.4.2 应用举例.71 
3.4.3 吸引域的估计 73 
3.5 线性系统及其扰动系统的稳定性 73 
3.5.1 常系数线性系统的稳定性 74 
3.5.2 线性系统的扰动 81 
3.5.3 非自治线性系统的稳定性 84 
3.6 临界情形下奇点的稳定性分析 87 
3.6.1 中心流形.88 
3.6.2 中心流形定理 92 
3.6.3 临界情况下奇点的稳定性分析举例.95 
3.7 Liapunov 函数的构造 102 
3.7.1 Liapunov 函数的存在性 102 
3.7.2 常系数线性系统的巴尔巴欣公式 104 
3.7.3 二次型方法的推广 108 
3.7.4 线性类比法 110 
3.7.5 能量函数法 112 
3.7.6 分离变量法 113 
3.7.7 变梯度法 114 
3.8 判定稳定性时的比较方法 116 
3.8.1 与数量方程的比较 116 
3.8.2 与向量方程的比较 120 
习题 3122 
第 4 章 平面系统的奇点 125 
4.1 初等奇点.125 
4.1.1 线性系统的孤立奇点 125 
4.1.2 非线性系统的双曲奇点 135 
4.2 中心与焦点的判定 140
4.2.1 非双曲初等奇点的类型与中心的判定定理 140 
4.2.2 细焦点及其判定法 147 
4.3 高阶奇点.157 
4.3.1 沿不变直线方向的拉伸变换158 
4.3.2 通过极坐标变换的吹胀" 技巧 160 
4.3.3 沿 x 与 y 方向的吹胀"165 
4.3.4 非齐次 吹胀" 169 
4.4 旋转数与指数 171 
4.4.1 旋转数及其基本性质 171 
4.4.2 奇点的指数 173 
习题 4177 
第 5 章 极限环.179 
5.1 基本概念与极限环的不存在性 179 
5.1.1 基本概念 179 
5.1.2 极限环不存在性的判定法 181 
5.2 极限环的存在性.187 
5.3 后继函数与极限环的稳定性.198 
5.3.1 Poinear.e 映射与后继函数 198 
5.3.2 曲线坐标与极限环的稳定性200 
5.4 极限环的唯一性.204 
习题 5211 
第 6 章 无穷远奇点与全局结构 212 
6.1 无穷远奇点 212 
6.1.1 Poincar.e 球面与 Poincar.e 变换 212 
6.1.2 无穷远奇点与 Poincar.e 圆盘214 
6.2 轨线的全局结构分析举例 224 
习题 6228 
第 7 章 分支理论 229 
7.1 一个例子.229 
7.2 结构稳定与分支现象230 
7.2.1 结构稳定的定义 230 
7.2.2 结构稳定的等价描述 232 
7.2.3 结构不稳定:分支现象 233 
7.3 奇点分支.234 
7.3.1 一维系统的奇点分支 234
7.3.2 二维或更高维系统的奇点分支.238 
7.3.3 给定扰动参数的奇点分支问题.242 
7.4 Hopf 分支 243 
7.4.1 平面系统的 Hopf 分支 244 
7.4.2 利用特征根的共振性求正规形.255 
7.4.3 三维或更高维系统的 Hopf 分支 257 
7.5 闭轨分支.259 
7.5.1 平面系统的闭轨分支 259 
7.5.2 三维或更高维系统的闭轨分支.263 
7.6 奇异闭轨分支 268 
7.6.1 平面系统的同宿分支 269 
7.6.2 旋转向量场 270 
7.6.3 平面系统同宿分支的例子 272 
7.6.4 关于异宿分支和高维系统奇异闭轨分支的介绍 275 
7.7 Poincar.e 分支||从平面闭轨族分支极限环 276 
7.7.1 平面 Hamilton 系统的扰动问题 276 
7.7.2 高阶 Melnikov 函数.284 
7.7.3 平面可积系统的扰动问题 286 
7.7.4 弱化的希尔伯特第 16 问题 287 
7.8 从高维系统的闭轨族产生周期解的分支问题 289 
7.9 Bogdanov-Takens 分支 296 
7.9.1 利用变换求正规形 296 
7.9.2 余维 2 的 B-T 分支:普适开折的推导 298 
7.9.3 余维 2 的 B-T 分支:分支图与轨线拓扑分类 302 
习题 7303 
第 8 章 常微分方程的应用举例 308 
8.1 一个三种群相互作用的 Volterra 模型研究 308 
8.1.1 正平衡解的稳定性 308 
8.1.2 模型平面解的存在性及其渐近性态 311 
8.1.3 一个 Volterra 模型的 Hopf 分支 314 
8.2 传染病模型 317 
8.2.1 假设和记号 317 
8.2.2 SIS 模型 317 
8.2.3 SIR 模型 319 
8.2.4 SEIR 模型 321
8.3 一个总人口变化的 SEIR 模型的全局性态分析 323 
8.3.1 模型及其平衡解 323 
8.3.2 无病平衡点的稳定性 325 8.3.3 地方病平衡点的稳定性 327 
8.3.4 地方病平衡点的全局稳定性329 
8.4 三分子反应模型.332 
8.4.1 模型及其奇点分析 332 
8.4.2 极限环的存在唯一性 334 
8.5 一个具有非线性传染率的 SI 模型的稳定性与分支 336 
8.5.1 具有非线性传染率的 SI 模型 336 
8.5.2 平衡点的稳定性 338 
8.5.3 模型 (8.5.3) 的 Bogdanov-Takens 分支 341 
8.6 一个具有饱和恢复率的季节性传染病模型 348 
8.6.1 模型及其基本再生数 348 
8.6.2 两个正周期解的存在性 349 
8.6.3 周期解的稳定性 354 
习题 8 359 
参考文献362

第1章 基本定理
本章将介绍常微分方程解的一些基本定理，它们是本书的理论基础.其中有些定理在常微分方程的一般教程中已有论述.这里我们再作复习？补充和提高.
1.1解的存在唯一性定理
在大部分常微分方程教材中，解的存在唯一性定理是采用逐步逼近的近似解序列方法加以证明的，这种方法有其直观？实用的优点，但步骤复杂.下面对一般的向量微分方程，采用压缩映像原理给出一个简捷的证明.
定理1.1(存在唯一性定理) 考虑Cauchy问题①:
其中z为R“中的向量，，是实变量￡和n维向量x的7维向量值函数.若，(￡，z)在开区域G∈R×Rn中满足下列条件:
(1)，在G内连续，简记为，∈C(G);
(2)，关于z满足局部Lipschitz条件，即对于点PO (t0，xo)∈G，和依赖于PO点的常数LPo，使得V(￡，Xl)，(￡，X2)∈Go有不等式成立，其中表示欧氏范数.
则Cauchy问题(1.1.1)在区间上存在唯一的解.其中
证 容易看出，在区间上Cauchy问题(1.1.1)等价于积分方程