"土力学"是高等学校土木工程专业必修的一门专业基础课。本教材遵循中华人民共和国住房和城乡建设部高等学校土木工程学科专业指导委员会编制的《高等学校土木工程本科指导性专业规范》，并综合不同院校土木工程专业的土力学与基础工程教学大纲，在教学改革和实践的基础上编写而成。同时，根据新的专业目录要求对教学内容进行了拓宽，涉及与建筑工程、道路与桥梁工程、地下工程等有关的专业知识。
为了适应我国"卓越工程师教育培养计划"的实施以及土木工程专业应用型人才培养的需要，本书在编写中主要遵循以下原则。
(1)强调基本概念、基本原理和计算方法。力图准确地阐述土力学的基本概念和基本原理，通过有针对性的例题，学生在理解基本原理的基础上掌握土力学的基本计算方法。
(2)注重理论与实践的结合，通过对特定工程问题的分析，帮助学生理解公式推导中一些假设的工程实际意义，有助于培养学生分析与解决实际问题的能力。
(3)反映我国土木工程国家标准及行业标准编制建设的*新成果。在涉及规范处，强调我国设计规范在基本原则和基本规定方面内容的变化及其与土力学基本原理的关系。
(4)适当吸收国内外土力学比较成熟的新内容，注意反映土力学学科发展水平和新方向。
本教材内容可分为两大部分：*部分(第1～5章)主要介绍了土的物理性质及分类、土中的应力计算、土中水的运动规律，土的压缩性与地基沉降计算及土的抗剪强度理论；第二部分(第6～8章)重点介绍了土力学的三大工程应用，即土压力理论、土坡稳定分析及地基承载力理论。
本书由河北工业大学刘熙媛和徐东强担任主编，负责大纲编写和统稿。各章编写人员及分工如下：河北工业大学刘熙媛编写绪论、第1章、第2章、第5章及第8章，河北工业大学徐东强编写第3章和第7章，河北工业大学韩红霞编写第4章和第6章。
本书在编写过程中引用了相关的国家及行业标准，参阅了一些院校优秀教材的内容及相关研究成果，在此向有关作者谨表谢意。
由于编者的知识水平和实践能力有限，书中疏漏之处在所难免，恳请读者批评指正。
编者
第2章 土中的应力计算
学习要点
掌握不同情况下土中自重应力的计算方法以及分布规律；熟悉基底压力的分布形式，掌握基底压力和基底附加压力计算方法；掌握各种荷载分布形式下地基中附加应力的分布规律及计算方法，理解应力扩散的概念；熟悉太沙基有效应力原理。
2.1 概 述
土中的应力分析是土工设计的一项重要内容。土体作为建筑物的地基，在建筑物载荷作用下将产生应力、变形，使建筑物发生沉降、倾斜、水平位移。土体的变形过大时，往往会影响建筑物的正常和安全使用；此外，土体中应力过大时也会导致土的强度破坏，甚至使土体发生滑动失去稳定。因此，通过研究土体中应力的大小和分布规律，能够进一步分析土体的变形及强度、土工结构物的变形及稳定等问题。
一般而言，土体中的应力主要包括两种：
(1) 土体自身重力产生的自重应力(self-weigh stress)。
(2) 由建筑物荷载、车辆荷载、土中水的渗流力、地震等的作用所引起的附加应力(additional stress)。
对土中应力的研究可借助于古典弹性理论的方法。
古典弹性理论研究的对象是连续的、均匀的、完全弹性和各向同性的介质，而实际的土体是非连续的、非均匀的、非完全弹性的，且常表现为各向异性。虽然土体的实际情况与弹性体的假设有差别，但在一定的条件下引用古典弹性理论研究土体中的应力是合理的，其分析如下。
(1) 连续体：指整个物体所占据的空间都被介质填满，不留任何空隙。而土是由颗粒堆积而成的具有孔隙的非连续体，土中应力是通过土颗粒间的接触点而传递的。但是由于建筑物的基础面积尺寸远远大于土颗粒尺寸，而我们所研究的土体在通常应力下的变形和强度是对整个土体而言，而不是对单个土颗粒而言，因此我们只需了解整个受力面上的平均应力，而不需要研究单个颗粒上的受力状态，所以可以忽略土分散性的影响，近似地把土体作为连续体考虑。
(2) 完全弹性体：指受力体中应力增加时，应力-应变之间呈直线关系，应力减小后变形能完全恢复的物体。而变形后的土体，当外力卸除后不能完全恢复原状，存有较大的残余变形。但是在实际工程中土中应力水平较低，土的应力-应变关系接近于线性关系，可以应用弹性理论方法进行分析。
(3) 各向同性：主要指受力体的变形性质是各向同性的。但土在形成过程中具有各种结构与构造，因此天然地基常常是各向异性的，将土看作各向同性有一定的误差。
(4) 匀质体：指整个受力体各点的性质都是相同的。自然界中土体具有成层性，当各层土的性质相差不大时，将土作为匀质体所引起的误差不大。
如图2-1所示，将土体看作一个半无限空间体，x轴和y轴无限延伸所夹的平面为土体的表面，土体深度延伸的方向为z轴的正方向。土中某点M的应力状态可以用一个正六面体上的应力来表示，如图2-2所示。单元体上的3个法向应力分量为、、，6个剪应力分量为，，。剪应力下角标的前面一个英文字母表示剪应力作用面的外法线方向，后一个字母表示剪应力的作用方向。
应该注意，在土力学中法向应力以压应力为正，拉应力为负。剪应力方向的规定是当剪应力作用面上的外法线方向与坐标的正方向一致时，剪应力的方向与坐标轴正方向一致时为负，反之为正；若剪应力作用面上的外法线方向与坐标轴正向相反时，则剪应力的方向与坐标轴正方向一致时为正，反之为负。图2-2中所示的法向应力及剪应力均为正值。
图2-1 半无限空间体 图2-2 土中一点应力状态
土体中的应力状态一般有三种类型。
1. 三维应力状态
在半无限空间体表面上作用局部荷载时，土体中的应力状态属于三维应力状态(即空间应力状态)。此时，土体中任一点的应力都与x、y、z三个坐标有关，该点的应力分量用矩阵的形式表示为
2. 二维应变状态
当半无限空间体表面上作用分布荷载(如路堤或挡土墙下地基)，其一个方向的尺寸远大于另一个方向的尺寸，并且每个横截面上的应力大小和分布形式均一样时，在地基中引起的应力状态即可简化为二维应变状态(即平面应变状态)。此时，沿长度方向切出的任一xOz截面均可认为是对称面，其任一点的应力只与x、z两个坐标有关，并且沿y轴方向的应变=0。根据对称性，有，其应力分量用矩阵的形式表示为
3．侧限应力状态
侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态，如地基在自重作用下的应力状态即属于此种应力状态。若将地基土体视为半无限弹性体，则在地基同一深度z处，土单元体沿x轴和y轴的受力条件均相同，因此土体无侧向变形，只有竖直方向的变形。此时，任何竖直面均可看成是对称面，故在任何竖直面和水平面上，，其应力矩阵可表示为
2.2 土中自重应力
若土体是均匀的半无限体，则在半无限土体中任意取的截面都是对称面，根据侧限应力状态的应力矩阵可知该对称面又是一主平面。对于匀质土，由于地面以下任一深度处竖向自重应力都是均匀的且无限分布的，所以在自重应力作用下地基土只产生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形，即≠0，==0，===0。
如图2-3所示，若取四平面所夹的土柱体为脱离体，则该脱离体上作用的力有：土柱体的重力W；土柱体底面的反力；侧向土压力和。根据竖直方向的静力平衡条件，W=×A(A为土柱体的横截面面积)。
图2-3 均匀土自重应力分布
2.2.1 均质土体中的自重应力
当地基是均质土时，在深度z处，则，即
(2-1)
式中：--土的天然重度(kN/m3)；
--z平面上由土体本身自重产生的应力(kPa)。
土体中自重应力分布范围是土体存在的半无限空间范围。从公式(2-1)可知，自重应力随深度z线性增加，沿水平面均匀分布，如图2-3所示。
地基土在自重的作用下，除受竖向正应力作用外，还受水平向正应力作用。根据弹性力学原理可知，水平向正应力、与成正比，而水平向及竖向的剪应力均为零，即
(2-2)
(2-3)
式中：K0--土的侧压力系数(或静止土压力系数)。
2.2.2 成层土体中的自重应力
地基土体往往是成层状的，由于各土层具有不同的重度，故深度z处的竖向自重应力可按下式计算：
(2-4)
式中：n--从天然地面起到深度z处的土层数；
--第层土的厚度(m)；
--第层土的天然重度(kN/m3)。
由公式(2-4)可知，成层土自重应力在土层分界面处发生转折，沿竖直方向分布呈折线形，如图2-4所示。
必须指出，这里所讨论的土中自重应力是指土颗粒之间接触点传递的应力，该粒间应力使土粒彼此挤紧，不仅会引起土体变形，而且也会影响土体的强度，所以粒间应力又称为有效应力(详见本章第5节)。本节所讨论的自重应力都是有效自重应力。以后各章有效自重应力均简称为自重应力。
2.2.3 土层中有地下水时的自重应力
计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用。若受到水的浮力作用，则水下部分土的重度应按土层的浮重度(有效重度)来计算，如图2-5所示。
图2-5 有地下水时土中应力分布
在地下水位以下，如果埋藏有不透水层(例如岩层或只含结合水的坚硬黏土层)，由于不透水层中不存在自由水产生的浮力，故不透水层顶面及层面以下土中的应力应按上覆土层的水土总重计算，且土的自重应力计算采用土层的实际天然重度而不再按有效重度考虑，因此上覆土层与不透水层交界面处的自重应力将发生突变，如图2-6所示。
如图2-7所示，水下地基土中应力的计算可按如下方式考虑：若为完全透水的砂土层，不论河水深浅，计算自重应力时应考虑浮力的影响；若为不透水层，不考虑浮力的影响，且深度的河水等于加在河床底面上的满布压力，此时河底不透水层中深度z处的压力为
(2-5)
图2-6 有地下水时成层土中竖向自重应力分布 图2-7 水下地基土中应力分布
由于地下水位以下土的自重应力取决于土的有效重度，则地下水位的升降会引起土体自重应力的变化，如图2-8所示。如果因大量抽取地下水导致地下水位大幅度下降，使地基中原地下水位与变动后水位之间土层的有效自重应力增加，如图2-8(a)所示。增加的有效自重应力相当于附加应力的作用，使地基产生沉降(地基的沉降也有固结变形的作用，参见第4章)。相反，由于某种原因，如筑坝蓄水、农业灌溉以及工业用水大量渗入地下等，造成地下水位的长期上升，如图2-8(b)所示，如果该地区的土体具有湿陷性或膨胀性，则会导致一些工程问题，对此应引起充分重视。
图2-8 地下水位升降对地基自重应力的影响
O-1-2线为原来自重应力的分布；O-1'-2'为地下水位变动后自重应力的分布
【例2-1】某土层及其物理性质指标如图2-9所示，计算土中自重应力。
图2-9 例2-1图
解：*层土为细砂，地下水位以下的细砂受到水的浮力作用，其浮重度为
第二层黏土层浮重度为
a点：0，=0。
b点：，19×2=38(kPa)。
c点：，=19×2+10×3=68(kPa)。
d点：，19×2+10×3+7.1×4=96.4(kPa)。
土层中的自重应力的分布图如图2-9所示。
【例2-2】计算图2-10所示水下地基土中的自重应力分布。
解：水下粗砂层受到水的浮力作用，其浮重度为
=19.5-9.81=9.69(kN/m3)
图2-10 例2-2图
该坚硬黏土层为不透水层，不受水的浮力作用，因此该层面以下的应力应按上覆土层的水土总重计算，则土中各点的应力：
a点：0，0。
b点：10m，若该点位于粗砂层中， =9.69×10=96.9(kPa)；
若该点位于坚硬黏土层中：=96.9+9.81×13=224.43(kPa)。
c点：15m，224.43+19.3×5=320.93(kPa)。
土中自重应力的分布图如图2-10所示。
2.3 基础底面压力及其简化计算
建筑物荷载是通过基础传递到地基土中的，因此在基础底面与地基土之间便产生了接触应力。在外部荷载作用下基础底面压力的大小及其分布形式将对地基土中的应力大小及分布规律产生直接影响。因此，在计算地基中附加应力及设计基础结构时，都必须研究基底压力的分布规律。
2.3.1 基底压力的分布规律
基底压力(contact pressure)分布的问题是涉及基础与地基土两种不同物体间的接触压力问题，在弹性理论中称为接触压力课题。这是一个比较复杂的问题，影响它的因素很多，如基础的刚度、形状、尺寸、埋置深度以及土的性质、荷载大小等。目前在弹性理论中主要研究不同刚度的基础与弹性半空间体表面间的接触压力分布问题。下面着重分析基础刚度的影响。
从理论概念上可将各种基础按其与地基土的相对抗弯刚度(EI)分成三类，即理想柔性基础、理想刚性基础和有限刚性基础。
1. 理想柔性基础
理想柔性基础如图2-11(a)所示，假定其基础的抗弯刚度EI=0，故可以完全适应地基的变形。这种情况下，基底压力的分布与作用在基础上的荷载完全一致，如荷载是均匀的，则基底压力分布也是均匀的。反之，在均布荷载作用下，地基的变形呈中心大、边缘小的凹形。如果要使柔性基础各点的变形相等，需施加中间小、两边大的非均布荷载[如图2-11(a)中虚线所示]。实际上没有EI=0的理想柔性基础，可以近似地将路堤、土坝等视作理想柔性基础，如图2-11(b)所示。
图2-11 理性柔性基础下的压力分布
2. 理想刚性基础
对于理想刚性基础，可假定其基础的抗弯刚度EI=∞，即在外荷载作用下基础本身为不变形的绝对刚体。在中心荷载作用下，理想刚性基础各点竖向变形相同。如果地基是完全弹性体，根据弹性理论解得的基底压力分布如图2-12(a)中实线所示，边缘应力为无穷大。
3. 有限刚性基础
理想刚性基础中的应力状态在实际上是不可能存在的，因为基底压力不可能超过土的极限强度。当作用的荷载较大时，基础边缘由于应力很大，将会使土产生塑性变形，边缘应力不再增加，而使中央部分继续增大。而基础也不是绝对刚性，因此应力重分布的结果是使基底压力分布呈各种复杂的形式。实际压力如图2-12(a)中虚线所示，基底压力分布呈马鞍形，中央小而两边大；或重新分布而呈抛物线形分布，如图2-12(b)所示；若作用荷载继续增大，则基底压力会继续发展呈倒钟形分布，如图2-12(c)所示。桥梁墩台的扩大基础、重力式码头、挡土墙、大块墩柱等可视作刚性基础。
(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线形分布 (c) 倒钟形分布
图2-12 刚性基础下的压力分布
此外，试验研究结果表明，刚性基础底面的压力分布形状不仅与荷载大小有关，而且与基础的埋置深度及土的性质有关。
……
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