20世纪80年代后期，随着计算机技术的快速发展，对数据尤其是数字图像进行分析的需求越来越强烈，迫切需要新的处理技术跟进.一位来自法国的年轻学者Mallat发表了两篇论文，阐述了一种全新的数据表示的思想，就是著名的多尺度分析.从此，围绕这种新思想产生了一门新的学科——小波分析.从小波分析发展的脉络来看，小波分析受到了来自数学和技术两个方面的推动而产生，符合科学发展的基本规律，即便如此，多尺度分析思想的美妙震惊了很多从事理论和技术的科学家.此后，小波分析技术作为一门专门的学科吸引了大量的数学家和计算机技术专家进行深入的研究，前后长达20年时间，直到21世纪初，小波分析的理论和应用得到了长足的发展，形成了相对独立完整的学科分支.

　　由于小波分析产生于美国，我国直到1992年才陆续开始引进国际上相关专著和教材，国内也兴起了一波小波分析方面专著和教材的出版热潮.迄今为止，未经严格统计，专门介绍小波理论或者应用的书籍不下几百部，在很多高校曾经长时间存在小波分析理论或者应用的课程，这些课程一度是最热门课程之一.中科院也是最早开设小波分析课程的单位之一.由于小波分析不同于其他数据分析技术，它具有相对完整而深刻的数学内涵，因此早期课程大多由数学专业的学者进行讲授，但是听课的学生往往是工科同学居多，这就导致深入的数学基础要求所带来的学习和理解上的障碍.后期，有不少工科专业的学者陆续开始讲授小波分析应用类的课程.由于小波分析本身的很多特点都需要借助于数学知识才能得到更好的说明，因此，完全从技术角度讲授小波分析，效果也不是很理想.直到1996年，Strang和Nguyen联合出版了一本教材《waveletsand.lterbanks》，并在麻省理工学院开设了同名课程，该书还被多所知名高校采用作为教材.由于这本书从两个不同角度——理论和应有——讲述了小波分析的内涵：滤波器组和小波分析，解决了以前偏重于数学或者技术的问题，个人以为此教材比较适合于不同背景学生的学习.

　　从2001年开始，我在中科院研究生院（中国科学院大学的前身）采用Strang的教材作为蓝本进行教学.教学的过程中发现，此教材理论还是偏多，应用部分讲得比较少，尤其是在小波分析取得重要应用效果的图像处理领域应用更是缺少，因此，讲课时选用了一些比较经典的小波应用于图像处理的文献作为讲课材料.同时，随着课程内容的不断成熟，小波分析领域也逐渐归于平静，很多学者开始用小波分析开展新的数据分析技术的研究.因此，除了在Strang的教材基础上增加了系统性的图像处理应用之外，还选编了部分非线

　　小波与滤波器组设计：理论及其应用

　　性信号分析技术，有些内容也是我和我的学生多年科研成果的一部分，作为小波分析前沿以及后继研究的延续，以期给学生们看到学科发展的路线图，并能迅速结合新技术进行他们各自未来课题的研究.

　　课程开设15年以来，听课的学生数量一直较多，总数超过2000人，作为基础要求相对较高的一门专业普及课程，多年来一直能够有这么多学生听课，也算是小波分析特有的现象.2010年超星数字图书馆对我的课程进行了全程录像，并进行了后期制作，配上了字幕，放在超星数字图书馆中供读者观看.迄今为止，观看该教学视频的人数超过15万次，对于小波分析技术的普及起到了一定的作用.现在的教材承蒙清华大学出版社刘颖老师的鼓励，将我讲课的讲义进行系统整理，选编了一些新的例题和习题，形成教材的样式.这对于该课程的教学会有较大的帮助.

　　写书的过程中，由于本人时间关系，邀请了两位年轻的学者李保滨和胡晰远共同参与.李保滨副教授是数学专业出身，就负责了数学要求较高的几个章节的整理（第1章至第6章），胡晰远副研究员跟我从事多年图像处理的研发，对于小波分析的应用比较熟悉，就负责小波分析应用部分的整理和深化.我本人在写书过程中具体写的反而较少，整理了第11章.在此，向他们二位致以感谢，他们作为作者都贡献了大量的精力，为本书的形成做出了巨大贡献.同时，出版社以刘颖老师为代表的老师们的敬业精神也给我们留下深刻的印象，一些很细致的问题得以被发现和改正，向他们致以高度的敬意.尽管如此，本书可能还会存在不足之处，尤其本书的内容体系完全是多年课程的积累，受个人兴趣的影响，难免有些偏颇，也欢迎广大读者提出宝贵建议，在此一并致谢.我们在适当时机也会进行修订，希望贡献更好的教材，为小波分析的发展做出一点微博的贡献.

　　彭思龙

　　2017年7月

第1章引言....1

1.1信号与采样1

1.2傅里叶变换与Z变换....5

1.3小波与滤波器..7

1.4习题...13

第2章滤波器组...15

2.1抽取与插值.....15

2.2二通道滤波器组....20

2.2.1完全重构条件...21

2.2.2半带滤波器和滤波器构造.....23

2.3多相位矩阵.....24

2.4习题...31

第3章正交滤波器组..33

3.1仿酉矩阵..33

3.2滤波器组构造的栅格方法...35

3.3正交滤波器的构造方法39

3.4习题...45

第4章正交小波与多尺度分析.46

4.1正交多尺度分析....46

4.2正交小波..49

4.3Daubechies小波...60

4.4Cascade算法..67

4.5习题...71

小波与滤波器组设计：理论及其应用

第5章双正交小波与滤波器....72

5.1双正交小波及其多尺度分析.....72

5.2双正交滤波器组....78

5.3具有对称性和紧支撑的双正交小波.81

5.4习题...85

第6章小波滤波器的提升算法.86

6.1提升算法..86

6.2双正交滤波器的提升格式分解..90

第7章图像的小波分解及其统计特性...95

7.1图像的离散小波分解...95

7.2图像处理中的线性逆问题...98

7.3马尔可夫随机场初步.100

7.3.1马尔可夫随机场基本理论...100

7.3.2马尔可夫随机场与吉布斯分布..102

7.3.3基于最大后验概率-马尔可夫随机场模型的复原算法介绍103

7.4图像小波变换的基本特性.106

7.5图像在小波域的统计模型.109

7.6常用参数估计方法介绍....117

第8章小波域图像去噪算法..121

8.1图像去噪模型介绍.....121

8.2小波域图像去噪的最大后验概率模型..124

8.3小波域图像去噪的收缩模型...129

8.3.1小波去噪阈值选择.132

8.3.2小波阈值去噪背后的原理...138

8.3.3空间自适应收缩去噪算法...141

8.3.4伪吉布斯效应和平稳小波阈值去噪.144

8.4基于样条变换的小波去噪算法146

8.5三维变换域联合滤波去噪算法151

第9章小波域图像复原算法..157

9.1图像复原模型介绍.....157

9.2小波域稀疏约束图像复原.160

目录

9.3基于小波域隐马尔可夫树模型的图像复原.164

9.3.1问题的化简和求解.165

9.3.2隐马尔可夫树模型参数向量的估计.167

9.3.3算法描述及实验结果比较...168

9.4基于小波域相对误差约束的图像复原算法.170

9.4.1图像去模糊中的振铃现象...170

9.4.2频率域相对误差....174

9.4.3基于频率域相对误差的图像去模糊算法.178

第10章小波图像压缩技术...183

10.1图像编码基础....183

10.2小波系数的树表示和编码.....189

10.3嵌入式零树小波编码技术.....191

10.3.1零树小波定义....192

10.3.2零树小波编码....192

10.3.3零树逐次逼近量化...194

10.3.4嵌入式零树小波编码算法示例.....196

10.4多级树集合分裂算法200

10.5JPEG2000和EBCOT算法简介206

10.6多分量预测编码技术介绍.....213

10.6.1图像的多分量预测模型...215

10.6.2多分量预测编码算法介绍及结果比较.218

第11章几何小波初步....221

11.1图像模型和最优逼近222

11.1.1图像模型.....222

11.1.2最优逼近.....223

11.2Curvelet变换....225

11.2.1连续Curvelet变换..225

11.2.2离散Curvelet变换..227

11.2.3Curvelet变换的奇异性检测..228

11.3Bandlet.230

11.3.1几何流..230

11.3.2几何流的确定....232

11.3.3Bandlet的最佳m-项逼近.....232

小波与滤波器组设计：理论及其应用

11.3.4Bandlet的应用..233

11.4Contourlet...235

11.4.1拉普拉斯金字塔.236

11.4.2方向滤波器组....237

11.5几何小波总结....238

第12章稀疏表示与压缩感知介绍.....239

12.1基本概念介绍....239

12.2匹配追踪介绍....241

12.3基追踪介绍.248

12.3.1基追踪算法介绍.249

12.3.2基于稀疏表示的图像分解.....252

12.4压缩感知介绍....256

12.4.1压缩感知基本原理...256

12.4.2压缩感知算法介绍...258

12.4.3压缩感知应用示例...262

第13章自适应信号分解算法介绍.....265

13.1信号的自适应分解概念..265

13.2经验模式分解算法...268

13.2.1经验模式分解算法基础...268

13.2.2经验模式分解中包络的分析与改进....271

13.2.3经验模式分解中的模式混叠现象.278

13.3零空间追踪算法介绍283

13.3.1基于微分算子的零空间追踪算法.286

13.3.2基于微分算子的零空间追踪算法.290

附录A数学基础知识298

A.1线性空间.....298

A.2线性赋范空间.....299

A.3希尔伯特空间.....301

参考文献...305

　　第1章引言

　　小波分析(waveletanalysis)是20世纪80年代发展起来的一门新兴数学分支,是当今数学领域中一个迅猛发展的新方向,是20世纪数学研究成果中杰出代表之一.它汲取了诸如泛函分析、数值分析、样条分析、调和分析等众多数学分支的精华,并又包罗了它们的许多特色；它是继傅里叶(Fourier)分析之后又一重要的数学分析方法,是调和分析发展史上里程碑式的进展；它为20世纪的现代分析学作了完美的总结.与传统分析方法相比,小波分析具有广阔的应用前景,它给许多相关学科的研究带来了新思想,并且为工程学提供了一种新的更有效的分析工具；它反映了大科学时代学科之间相互渗透、交叉、融合的趋势,是纯粹数学与应用数学及工程技术殊途同归的光辉典范[1–4].

　　1.1信号与采样

　　在日常生活中，人们经常接收到来自电视、手机、互联网等多种媒体发布的信息，为了传播和方便使用，往往需要将这些信息转换成便于传输和处理的信号，例如语音、视频信号等.一般来说，信号是信息的载体，是信息的一种物理体现，表现为随时间变化的某种物理量.

　　信号的产生、传输和处理是由系统完成的.系统是指由若干相互关联的事物组合而成、具有特定功能的整体，例如手机、电视等.系统的基本作用是对输入的信息、信号进行加工和处理，转化为所需要的输出信号.

　　可以用确定的时间函数表示信号.在连续时间范围内有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号；相对应的，仅在离散的时刻才有定义的信号，称为离散时间信号，简称离散信号.连续信号和离散信号通常分别表示为x(t)和x(n),这里t表示连续时间，n表示离散

　　的值.对于n∈Z.离散信号x通常记为

　　.....

　　x(.1)

　　x=[···,x.1,x0,x1,···]或者x=x(0).

　　.

　　.x(1)....

　　.

　　···

　　图1.1连续信号(a)和离散信号(b)单位脉冲信号δ(n)是一类比较特殊的信号，其定义为

　　δ(n)=

　　I1,

　　0,

　　二n

　　n=0;=0,

　　(1.1)

　　也就是说，该信号在n=0处值为1，其他处的值都为0(如图1.2(a)所示).由定义可知，对于任意的信号{x(n)}n∈Z,都有

　　艺x(n)δ(n)=x(0).

　　n∈Z

　　通过对信号平移n0，我们可以得到δ(n.n0)，该信号在n=n0处为1，其他处为0，进一步容易得到:

　　艺x(n)δ(n.n0)=x(n0).(1.2)

　　n∈Z

　　另外，也可以借助单位脉冲信号得到其他特殊信号，如图1.2(b)所示的阶跃信号u(n),其定义为

　　I1,n:0;

　　u(n)=

　　0,n<0,

　　它可以表示为

　　+∞

　　u(n)=艺δ(n.j).

　　j=0

　　对于连续和离散信号，还可分为周期和非周期的信号.

　　1.1信号与采样3

　　图1.2单位脉冲信号(a)和阶跃信号(b)

　　定义1.1.1(周期信号)对于连续信号x(t)，如果存在T>0，使得

　　x(t+kT)=x(t),k∈Z,

　　那么x(t)称为周期连续信号.同样地，如果离散信号x(n)满足

　　x(n+kN)=x(n),N,k∈Z,且N>0,

　　则称x(n)为周期离散信号.满足上述等式的T和N称为信号的周期.

　　对于周期信号，我们只需要知道其在一个周期的变化过程，就可由周期性确定信号在整个定义域内的取值.例如正弦信号sint或余弦信号cos(2t)，周期分别为2π和π，我们只需描述一个周期[0,T]内信号变化即可，其他区域内的变化和取值可由周期性定义得到.并不是所有的信号都满足上述周期性定义，对于不满足周期定义的信号称为非周期信号.

　　在许多实际问题中，常常需要将连续时间信号X(t)变为离散时间信号x(n)，这就要对信号进行采样:x(n)=X(nT),.∞

　　即：x(n)是通过X(t)每隔T时间间隔取值得到的，这里T称为采样周期或采样间隔，其1

　　倒数f=T称为采样频率.采样周期越短，采样频率越大，也就是单位时间内采样得到的离散点越多，也就越能更好地描述原来的连续信号.图1.3给出了在不同采样频率下，余弦信号cost采样后得到离散信号的情况，图中实心点代表采样得到的离散的值.从图1.3可见，随着采样频率越来越大，采样得到离散信号值也越来越多，离散信号也越来越逼近原来的连续信号.甚至可以设想，如果采样频率无限增大，那么最后得到的离散信号会和原来的连续信号一样.

……