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第3章微分中值定理及导数应用
在这一章中，我们以微分中值定理为基础，讨论函数的导数在函数极限、曲线性态及一些实际问题中的广泛应用.
3.1微分中值定理
在本节中，先介绍罗尔(Rolle)定理，然后根据它推出拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.
3.1.1罗尔定理
定理3.1.1(罗尔定理)设函数f(x)满足
(1) 在闭区间\[a,b\]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导；
(3) 在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么至少存在一点ξ∈(a,b)，使得函数在该点处的导数为零，即f′(ξ)=0.
通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点).
罗尔定理的几何意义: 函数y=f(x)的图形是［a,b］上图31
的一条连续的曲线段，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，并且两端点处的纵坐标相等，则曲线上至少存在一点ξ，过该点的切线平行于x轴，即f′(ξ)=0，如图31所示.从图形上不难看出，曲线上的最高点或最低点处的切线都平行于x轴.这给了我们一个证明定理的启发: 点ξ可能是最值点.
证由于函数y=f(x)在闭区间［a,b］上是连续，由闭区间上连续函数的性质知，函数y=f(x)在闭区间［a,b］上必有最大值M和最小值m.这样，只能分为两种情况进行讨论:
(1) 若M=m，则f(x)在闭区间［a,b］上是常值函数，因此在(a,b)内恒有f(x)=M，从而(a,b)内的每一点都可以取为定理中的ξ.
(2) 若M>m，由于f(a)=f(b)，那么M，m中至少有一个不等于f(x)在区间［a,b］的端点处的函数值.不妨假设在(a,b)内存在一点ξ，使得f(ξ)=M.下面证明f(x)在ξ处的导数为零，即f′(ξ)=0.
因为f(x)在(a,b)内一点可导，则f′(ξ)存在，即limΔx→0f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx 存在，根据极限存在的充要条件，有 limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx.函数f(x)在点ξ∈(a,b)处取得最大值M，只要ξ+Δx∈［a,b］，都有f(ξ+Δx)≤f(ξ)， 或f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0.当Δx>0时，f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≤0，根据函数极限的性质，有f′+(ξ)=limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≤0，当Δx<0时，f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≥0，同理有f′-(ξ)=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≥0，从而f′(ξ)=f′+(ξ)=f′-(ξ)=0.注若罗尔定理的3个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.
例3.1.1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根.
证设f(x)=x5-5x+1，因为f(x)在［0,1］上连续，且f(0)=1，f(1)=-3，所以由零点定理可得，存在x0∈(0,1)，使得f(x0)=0，即x0为方程的小于1的正实根.
设另有x1∈(0,1)，x1≠x0，不妨设x0 3.1.2拉格朗日中值定理
定理3.1.2(拉格朗日中值定理)设函数f(x)满足
(1) 在闭区间［a,b］上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导，
则至少有一点ξ∈(a,b)，使得等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)或f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a成立.
拉格朗日中值定理的几何意义: 如果连续曲线y=f(x)的AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么在AB上至少存在一点C(ξ,f(ξ))，图32使得过这点的切线平行于弦AB，如图32所示.
显然，当f(a)=f(b)时，本定理的结论即为罗尔定理的结论.这表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.由两者之间的联系自然地想到利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理，但是在拉格朗日中值定理中，函数f(x)不一定满足条件f(a)=f(b)，为此构造一个与f(x)有密切联系的辅助函数F(x)，使它满足F(a)=F(b)，然后对F(x)使用罗尔定理，最后把F(x)的结论转化到函数f(x)上. 由定理的结论可得f′(ξ)-f(b)-f(a)b-a=0.
证构造辅助函数F(x)=f(x)-［f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)］，容易验证函数F(x)在［a,b］上满足罗尔定理的3个条件，因此至少存在一点ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0，因为F′(x)=f′(x)-f(b)-f(a)b-a，所以f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a.推论1若函数y=f(x)在区间(a,b)上可导，且f′(x)≡0，则在区间(a,b)内 f(x)≡C(C为常数).
证任取两点x1,x2∈(a,b)，且x1 推论2如果对于任意x∈(a,b)，总有f′(x)=g′(x)，则f(x)-g(x)≡C(C为常数).
例3.1.2证明: arcsinx+arccosx=π2(-1≤x≤1).
证由于(arcsinx+arccosx)′=11-x2-11-x2=0,由推论1知 arcsinx+arccosx=C，C为常数. 为了确定常数C，取x=0，则C=arcsin0+arccos0=π2，从而arcsinx+arccosx=π2(-1≤x≤1).例3.1.3证明: 当x>0时，11+x 证函数f(x)=lnx在区间［x,1+x］上满足拉格朗日中值定理的条件，故有f(1+x)-f(x)=ln(1+x)-lnx=(lnx)′x=ξ(1+x-x)=1ξ，ξ∈(x,1+x)，由于 x<ξ<1+x，所以11+x<1ξ<1x，从而11+x 定理3.1.3(柯西中值定理)如果函数f(x)，F(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且F′(x)≠0，那么至少有一点ξ∈(a,b)，使得等式f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立.
例3.1.4设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，a>0. 证明: 至少存在ξ∈(a,b)，使 ab［f(b)-f(a)］=ξ2f′(ξ)(b-a).
分析证明结论成立，等价于证明f(b)-f(a)1b-1a=f′(ξ)-1ξ2成立.左端正好是两个函数f(x)，1x在区间［a,b］上的增量之比，且满足柯西中值定理条件，故可设F(x)=1x.
证设函数F(x)=1x，显然f(x)与F(x)在区间［a,b］上满足柯西中值定理条件，于是存在ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)1b-1a=f′(ξ)-1ξ2，ξ∈(a,b)，即至少存在ξ∈(a,b)，使ab［f(b)-f(a)］=ξ2f′(ξ)(b-a).3.2洛必达法则
在第1章研究无穷小量的运算时，已经遇到过两个无穷小量之比的极限问题.由于这种极限可能为0，可能为非零常数，也可能不存在，因此把两个无穷小量之比的极限称为00型未定式.同理两个无穷大量商的极限称为∞∞型未定式，本节我们将利用洛必达法则来研究未定式极限.
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