本书是供综合性大学和师范院校数学类各专业本科一、二年级学生学习数学分析课程的一部教材，分上、中、下三册。本册为下册，讲授多元函数的数学分析理论，内容包括多元函数的极限和连续性、多元函数微分学及其应用、含参变量的积分、多元函数积分学及其应用、场论初步、微分形式和斯托克斯公式等。
本书对传统数学分析教材的编排做了一些与时俱进的改革，内容做了适当缩减和增补，除了如传统教材一样重视对基础知识和基本技巧的传授外，也增加了一些分析学的新内容。本书讲解十分清晰、浅显易懂，配有充足的例题和习题，并对数学分析各个组成部分的来龙去脉和历史发展有清楚并且引人入胜的介绍，不仅适合教师课堂讲授，也很适合学生自学使用。

第14章 多元函数的极限和连续性
14.1 Rm中的点列和点集
14.1.1 Rm中的运算和距离
14.1.2 Rm中点列的极限
14.1.3 Rm中的点集
14.1.4 几个重要定理
习题14.1
14.2 多元函数的概念
14.3 多元函数的极限
14.3.1 沿集合S的极限和全极限
14.3.2 方向极限和沿曲线的极限
14.3.3 累次极限
14.3.4 向量函数的极限
习题14.3
14.4 多元连续函数 第14章 多元函数的极限和连续性
14.1 R^m中的点列和点集
14.1.1 R^m中的运算和距离
14.1.2 R^m中点列的极限
14.1.3 R^m中的点集
14.1.4 几个重要定理
习题14.1
14.2 多元函数的概念
14.3 多元函数的极限
14.3.1 沿集合S的极限和全极限
14.3.2 方向极限和沿曲线的极限
14.3.3 累次极限
14.3.4 向量函数的极限
习题14.3
14.4 多元连续函数
14.4.1 多元函数连续性的定义与运算
14.4.2 多元连续函数的性质
习题14.4
第15章 多元数量函数的微分学
15.1 偏导数和全微分
15.1.1 偏导数
15.1.2 全微分
15.1.3 全微分与偏导数的关系
习题15.1
15.2 方向导数和梯度
15.2.1 方向导数
15.2.2 梯度
15.2.3 微分中值定理
习题15.2
15.3 复合函数的偏导数和隐函数定理
15.3.1 复合函数的偏导数
15.3.2 复合函数的全微分
15.3.3 隐函数的偏导数和隐函数定理
习题15.3
15.4 高阶偏导数和泰勒公式
15.4.1 高阶偏导数和高阶全微分
15.4.2 m重指标和高阶偏导数的简写记号
15.4.3 泰勒公式
习题15.4
15.5 微分学的几何应用
习题15.5
第16章 多元向量函数的微分学
16.1 线性变换与矩阵分析初步
16.1.1 线性变换与矩阵的代数理论
16.1.2 线性变换与矩阵的范数
16.1.3 可逆矩阵的摄动定理
习题16.1
16.2 多元向量函数的偏导数与全微分
习题16.2
16.3 隐函数定理和反函数定理
16.3.1 压缩映射原理
16.3.2 隐函数定理
16.3.3 反函数定理
16.3.4 满射定理和单射定理
习题16.3
第17章 多元函数的极值
17.1 简单极值问题
习题17.1
17.2 条件极值问题
17.2.1 求稳定点的拉格朗日乘数法
17.2.2 拉格朗日乘数法的几何解释
习题17.2
第18章 含参变量的积分
18.1 含参变量的定积分
习题18.1
18.2 含参变量的广义积分
18.2.1 含参量广义积分的一致收敛
18.2.2 含参量广义积分的性质
习题18.2
18.3 欧拉积分
18.3.1 伽马函数
18.3.2 贝塔函数
习题18.3
第19章 重积分
19.1 R^m中点集的若尔当测度
19.1.1 若尔当测度的定义
19.1.2 若尔当可测的等价条件
19.1.3 若尔当测度的运算性质
习题19.1
19.2 重积分的定义和性质
19.2.1 重积分的定义
19.2.2 函数可积的达布准则
19.2.3 重积分的性质
习题19.2
19.3 重积分的计算
19.3.1 化重积分为累次积分
19.3.2 二重积分的计算
19.3.3 三重积分的计算
19.3.4 m重积分的计算
习题19.3
19.4 重积分的变元变换
19.4.1 变元变换的一般公式
19.4.2 一些常用的积分变元变换
19.4.3 m维球坐标变换
习题19.4
19.5 曲面的面积
习题19.5
19.6 重积分的物理应用
19.6.1 质心的计算
19.6.2 转动惯量的计算
19.6.3 万有引力的计算
习题19.6
第20章 曲线积分和曲面积分
20.1 第一型曲线积分和曲面积分
20.1.1 第一型曲线积分
20.1.2 第一型曲面积分
20.1.3 物理应用
习题20.1
20.2 第二型曲线积分和曲面积分
20.2.1 第二型曲线积分
20.2.2 第二型曲面积分
习题20.2
20.3 三个重要公式
20.3.1 格林公式
20.3.2 高斯公式
20.3.3 斯托克斯公式
习题20.3
第21章 广义重积分和含参量的重积分
21.1 广义重积分和含参量的重积分
21.1.1 广义重积分
21.1.2 含参变量的重积分
习题21.1
21.2 函数的磨光及其应用
21.2.1 函数的磨光
21.2.2 截断函数和单位分解定理
21.2.3 延拓定理
习题21.2
第22章 场论初步
22.1 关于场的基本概念
22.1.1 等值面和积分曲线
22.1.2 方向导数和梯度梯度场和势函数
习题22.1
22.2 向量场的通量和散度
22.2.1 向量场的通量
22.2.2 向量场的散度
22.2.3 无源场及其性质
习题22.2
22.3 向量场的环量和旋度
22.3.1 向量场的环量
22.3.2 向量场的旋度
22.3.3 无旋场及其性质
习题22.3
22.4 一些重要定理
22.4.1 梯度、散度和旋度联合的一些运算公式
22.4.2 保守场及其等价条件
22.4.3 亥姆霍兹分解定理
习题22.4
22.5 平面和曲面上的向量场
22.5.1 平面上的向量场
22.5.2 曲面上的向量场
习题22.5
第23章 微分形式和斯托克斯公式
23.1 反对称多线性函数和外积
23.1.1 反对称多线性函数
23.1.2 外积运算
习题23.1
23.2 微分形式和外微分
23.2.1 微分形式
23.2.2 外微分运算
23.2.3 闭形式和恰当形式
习题23.2
23.3 微分形式的变元变换和积分
23.3.1 微分形式的变元变换
23.3.2 微分形式的积分
习题23.3
23.4 斯托克斯公式
23.4.1 微分流形
23.4.2 流形上的积分
23.4.3 斯托克斯公式
习题23.4
综合习题
参考文献

第14章 多元函数的极限和连续性
在上册和中册我们学习了一元函数的微积分，从现在开始要学习多元函数的微积
分。所谓多元函数，就是有多个自变量的函数。这种函数在研究自然现象的过程中随
处都可遇到。因为研究自然现象总离不开空间和时间，单看空间，在取定一个直角坐
标系之后，空间中全体点的集合便和由全体三元有序数组（x；y；z） 组成的集合R3 建
立了一一对应关系，这样空间中的每个点就对应着三个实数x；y；z，所以当点在空间
中变化时我们就有了三个自变量x；y；z。如果再把时间t 作为一个自变量，则有四个
自变量x；y；z；t。因此一般的物理量通常都有四个自变量因而是四元函数。如果再需
要把其他某些参量作为自变量来考虑，就得到了具有更多个自变量的多元函数。因此,
把一元函数的微积分理论加以发展，建立多元函数的微积分理论，是科学研究的必然
需要.
本章讨论多元函数的极限和连续性。在一元函数的微积分理论中已经看到，为了
研究一元函数，必须首先了解实数域R 的性质。与此类似，为了研究多元函数，必须
首先了解欧几里得空间，简称欧氏空间Rm 的性质。Rm 是由全体m 元有序实数组
（x1；x2；… ；xm） 组成的一个数学体系，有m 个自变量的多元函数都可看成是从Rm
的某个子集到R 的一个映射，所以它在多元函数的微积分理论中起着与实数域R 在
一元函数的微积分理论中类似的作用。14.1 节讨论Rm 的一些最基本的代数与分析
性质。14.2 节从一些具体的例子出发，引出多元函数的概念。14.3 节和14.4 节分别讨
论多元函数的极限和连续性.
14.1 Rm 中的点列和点集
14.1.1 Rm 中的运算和距离
由全体m 元有序实数组（x1；x2；… ；xm） 组成的集合Rm 称为m 维欧氏空间,
即
Rm = f（x1；x2；… ；xm） ： x1；x2；… ；xm 2 Rg：
从解析几何我们已经知道，三维欧氏空间R3 中的元素既可以叫点也可以叫三维向量,
因为在空间中建立直角坐标系后，R3 中的元素既与空间中的点存在一一对应关系，也
与空间中的向量存在一一对应关系。把这些术语推广，Rm 中的元素即m 元有序数组
（x1；x2；… ；xm） 既可以叫Rm 中的点，也可以叫m 维向量.
从线性代数课程我们知道，在Rm 上有下列三种运算.
（1） 加法和减法运算：对任意x；y 2 Rm，设x = （x1；x2；… ；xm），y = （y1；y2；… ;
ym），则它们的和x + y 与差x ? y 定义为
x § y = （x1 § y1；x2 § y2；… ；xm § ym）：
（2） 数乘运算：对任意x = （x1；x2；… ；xm） 2 Rm 和任意实数?，? 对x 的数乘
?x 定义为
?x = （?x1；?x2；… ；?xm）：
（3） 内积运算：对任意x；y 2 Rm，设x = （x1；x2；… ；xm），y = （y1；y2；… ；ym），则
它们的内积（x；y） 或点积x ￠ y 定义为
（x；y） = x ￠ y = x1y1 + x2y2 + … + xmym：
内积（x；y） 或点积x ￠ y 经常简写为xy，即
xy = （x；y） = x ￠ y = x1y1 + x2y2 + … + xmym：
这些运算已经在线性代数课程中有过详细的研究，这里不再重复了。由内积运算可以
定义x 的长度（也称范数或模） jxj，即
jxj = p（x；x） = qx2
1 + x2
2 + … + x2
m：
显然，长度具有以下性质：
（1） jxj > 0；jxj = 0当且仅当x = 0 （非负性和非退化性）;
（2） j?xj = j?jjxj；8? 2 R；8x 2 Rn （正齐次性）;
（3） jx + yj 6 jxj + jyj （三角不等式）：
如果x 的长度为1，则称x 为单位向量.
定义14.1.1 对Rm 中任意两点x = （x1；x2；… ；xm） 和y = （y1；y2；… ；ym）,
称它们的差x ? y 的长度为这两个点之间的距离，记作d（x；y），即
d（x；y） = jx ? yj = p（x1 ? y1）2 + （x2 ? y2）2 + … + （xm ? ym）2：
容易看出，点的距离具有以下三个性质：
（1） d（x；y） = d（y；x） （对称性）;
（2） d（x；y） > 0；d（x；y） = 0 当且仅当x = y （非负性和非退化性）;
（3） d（x；y） 6 d（x；z） + d（z；y） （三角不等式）：
以后，表示距离的两个记号d（x；y） 和jx ? yj 我们将混合使用.
14.1.2 Rm 中点列的极限
由Rm 中的点构成的序列叫做Rm 中的点列.
如果用
x1；x2；… ；xn；… ;
表示Rm 中的点列，就会和Rm 中点x = （x1；x2；… ；xm） 的坐标x1；x2；… ；xm 产生
混淆。为此下面改用P，Q 等大写符号表示Rm 中的点，从而Rm 中的点列就相应地
用fPng，fQng 等符号表示.
定义14.1.2 设fPng 是Rm 中的一个点列，P0 是Rm 中的一个点。如果
lim
n!1
d（Pn；P0） = lim
n!1jPn ? P0j = 0;
则称当n ! 1 时，Pn 以P0 为极限，或称当n ! 1 时，Pn收敛于P0，记作
lim
n!1
Pn = P0 或Pn ! P0 （当n ! 1）：
从定义14.1.2 可知，Pn 收敛于P0 的意思是当n ! 1 时，Pn 与P0 之间的距离
越来越小以至于无限地趋近于零。采用"{N 的语言，则lim
n!1
Pn = P0 是指对任意给
定的" > 0，存在相应的N 2 N，使得对任意的n > N 都有
d（Pn；P0） = jPn ? P0j < "：
由于点之间的距离是通过它们的坐标之差的平方和再开方来计算的，所以点列的
极限与由它们的坐标形成的数列的极限可以相互表示.
定理14.1.1 设Pn = （x1n；x2n；… ；xmn），n = 1；2；… ，P0 = （x10；x20；… ；xm0）,
则lim
n!1
Pn = P0 的充要条件是
lim
n!1
xjn = xj0；j = 1；2；… ；m；（14：1：1）
即lim
n!1
Pn = P0 的充要条件是对每个1 6 j 6 m，Pn 的第j 个坐标形成的数列xjn
（n = 1；2；… ） 以P0 点的相应坐标xj0 为极限.
证明由于
d（Pn；P0） =p（x1n ? x10）2 + （x2n ? x20）2 + … + （xmn ? xm0）2
6jx1n ? x10j + jx2n ? x20j + … + jxmn ? xm0j；n = 1；2；… ;
所以当式（14.1.1） 成立时，必然也有lim
n!1
d（Pn；P0） = 0，即lim
n!1
Pn = P0 成立。反之
由于
jxjn ? xj0j 6 d（Pn；P0）；j = 1；2；… ；m;
所以当lim
n!1
Pn = P0，即lim
n!1
d（Pn；P0） = 0 时，显然也有式（14.1.1） 成立。因此,
lim
n!1
Pn = P0 与式（14.1.1） 等价。证毕.
应用定理14.1.1，可以把数列极限的除涉及大小比较关系之外的所有命题，都类
推到Rm 中点列的极限。当然也可类似于数列的极限直接从Rm 中点列极限的定义
推出这些命题.
定理14.1.2 一个点列如果收敛，那么它的极限是唯一的.
定理14.1.3 如果点列fPng 收敛，那么它必是有界的，即存在常数C > 0 使
成立
d（Pn;O） 6 C；n = 1；2；… ：
其中O 表示Rm 中的原点.
定理14.1.2 和定理14.1.3 的简单证明我们留给读者.
定理14.1.4（柯西收敛准则） 点列fPng 有极限的充要条件是对任意给定的" >
0，存在相应的N 2 N，使得对任意的l；n > N 都有
d（Pl；Pn） < "：
证明必要性。设lim
n!1
Pn = P0，则对任意给定的" > 0，存在相应的N 2 N，使
得对任意n > N 都有d（Pn；P0） <
"
2
。由此可知对任意的l；n > N 都有
d（Pl；Pn） 6 d（Pl；P0） + d（Pn；P0） <
"
2
+ "
2
= "：
充分性。设对任意给定的" > 0，存在相应的N 2 N，使得对任意的l；n > N 都有
d（Pl；Pn） < "。对每个正整数1 6 j 6 m，考虑由Pn 的第j 个坐标构成的数列fxjng.
对任意给定的" > 0，由于当l；n > N 时有
jxjl ? xjnj 6 d（Pl；Pn） < ";
所以fxjng 满足柯西准则的条件，于是fxjng 收敛。记xj0 = lim
n!1
xjn，j = 1；2；… ;m,
并令P0 = （x10；x20；… ；xm0），则根据定理14.2.1 可知lim
n!1
Pn = P0，因此Pn 收敛于
P0。证毕.
定理14.1.5（列紧性原理） Rm 中的任意有界点列都有收敛的子列.
证明我们只以m = 2 的情况为例来证明，因为对m > 3 的一般情况证明
是类似的，只是记号更加复杂。设fPng 是R2 中的有界点列，并设Pn = （xn；yn）,
n = 1；2；… ，则fxng 和fyng 都是有界数列。由fxng 是有界数列，根据数列的列紧性
原理（定理2.4.3） 知，fxng 有收敛的子列，设为fxnkg。再考虑数列fynkg，因为fyng
是有界数列，所以fynkg 作为fyng 的子列也是有界数列，从而它也有子列收敛，设为
fynkl g。令Pnkl
= （xnkl
；ynkl
），l = 1；2；… ，则因为fxnkl g 和fynkl g 都是收敛数列，所
以根据定理14.2.1 知，点列fPnkl g 收敛。这就证明了fPng 有收敛的子列fPnkl g。证
毕.
和数列的情况类似，定理14.1.5 也叫做波尔查诺--魏尔斯特拉斯列紧性原理.
14.1.3 Rm 中的点集
在讨论一元函数的极限、连续性以及可微性等性质时，经常需要考虑邻域、开区
间、闭区间等概念。为了研究多元函数的同类性质，我们也需要使用一些类似的概念.
下面给出这些概念的定义.
定义14.1.3 对任意x0 2 Rm 和r > 0，我们记
B（x0；r） = fx 2 Rm ： d（x；x0） < rg；B（x0；r） = fx 2 Rm ： d（x；x0） 6 rg：
B（x0；r） 称为以点x0 为心、以r 为半径的开球；B（x0；r） 称为以点x0 为心、以r 为
半径的闭球。B（x0；r） 也称为点x0 的r 邻域；B（x0；r） 也称为点x0 的r 闭邻域.
B（x0；r） 和B（x0；r） 也分别记作Br（x0） 和Br（x0）.
需要注意的是\球" 是针对m > 3 的情况使用的术语。在m = 2 的情况则改称为
\圆盘"，即R2 中的B（x0；r） 称为以x0 为心、以r 为半径的开圆盘；1B （x0；r） 叫做以
x0 为心、以r 为半径的闭圆盘。不过，在没有特别指明m = 2 时，无论是否包含这种
情况，我们都笼统地把B（x0；r） 叫做开球，把1B （x0；r） 称为闭球.
定义14.1.4 设S 是Rm 中的一个非空点集，x0 是Rm 中的一个点.
（1） 如果x0 2 S，且存在± > 0，使得点x0 的± 邻域B（x0；±） 完全包含于S，即
B（x0；±） μ S，则称x0 为S 的内点（图14-1-1）。S 的全部内点组成的集合叫做S 的内
域，记作S±.
（2） 如果对任意± > 0，点x0 的± 邻域B（x0；±） 中都既含有S 中的点又含有S 以外
的点，即B（x0；±）TS 6= ? 且B（x0；±）TSc 6= ?，这里Sc 表示S 的余集：Sc = RmnS,
则称x0 为S 的边界点（图14-1-2）。S 的全部边界点组成的集合称为S 的边界,
记作@S.
（3） 如果对任意± > 0，x0 的± 邻域B（x0；±） 中都含有S 中异于x0 的点，即
B（x0；±）T（Snfx0g） 6= ?，则称x0 为S 的聚点或极限点（图14-1-3）。S 的全部聚点组
成的集合称为S 的导集，记作S0.
（4） S 与其导集S0 的并集称为S 的闭包，记作S，即S = S SS0.
（5） 如果x0 2 S，且存在± > 0，使得点x0 的± 邻域B（x0；±） 中除x0 之外没有其
他S 中的点，即B（x0；±）TS = fx0g，则称x0 为S 的孤立点（图14-1-4）.
显然，内点都是聚点，即S± μ S0。又显然，孤立点都必然是边界点，即如果x0 是
S 的孤立点，则x0 2 @S。不是孤立点的边界点都显然是聚点。需要注意的是集合S
的内点和孤立点都在S 中，但S 的边界点和聚点可能在S 中，也可能不在S 中。另
外，不难证明S = S S@S（见本节习题10）.
对于集合S 以外的、不是S 的边界点的点x0，显然一定存在± > 0，使得x0 的±
邻域B（x0；±） 与S 不相交即B（x0；±）TS = ?，因而B（x0；±） μ Sc。我们称这样的点
x0 与集合S有正的距离.
定义14.1.5 设S 是Rm 中的一个非空点集.
（1） 如果S 中的每个点都是它的内点，即对任意x0 2 S，都存在相应的± > 0，使
得B（x0；±） μ S，则称S 为开集。因此S 是开集当且仅当S = S±.
（2） 如果S 的聚点全在S 中，即S0 μ S，则称S 为闭集。由于S = S SS0，所以
S 是闭集当且仅当S = S.
规定空集既是开集，又是闭集。不过，以后说开集、闭集时，都是指非空的开集和
非空的闭集.
定理14.1.6 （1） E 是开集当且仅当其余集Ec = RmnE 是闭集.
（2） 任意多个开集的并是开集，任意多个闭集的交是闭集.
（3） 有限多个开集的交是开集，有限多个闭集的并是闭集.
证明（1） 设E 是开集，要证明它的余集Ec 是闭集。（反证法） 设Ec 不是闭集,
则存在Ec 的聚点x0 不在Ec 中。于是x0 2 E。因为E 是开集，所以存在± > 0 使得
B（x0；±） μ E。这意味着B（x0；±）TEc = ?，而这与x0 是Ec 的聚点相矛盾。因此Ec
是闭集.
再设Ec 是闭集。对任意x0 2 E，因为x0 62 Ec 而Ec 是闭集，所以存在± > 0 使