《高等数学(上册)》根据高等学校工科类专业本科生的数学基础课程教学基本要求，以高等教育应用型本科人才培养计划为标准，结合全国教育科学规划课题《大学数学与高中新课程标准相衔接的教学模式研究与实践》（DIA０９０１９９）的研究成果，在充分吸收编者们多年的教学实践经验的基础上编写而成．《高等数学(上册)》分上、下两册．上册共５章，主要内容包括：函数极限与连续、一元函数的微分学、一元函数的积分学、常微分方程等内容，并介绍了MATLAB软件在高等数学中的应用．各章节后配有习题，每章后配有复习题（包括犃基本题和犅拓展题）．

     《高等数学(上册)》可作高等院校尤其是应用型本科院校理工科本科专业的教材，也可以作其他各类院校大学数学课程的教材或教学参考书．

第1章函数、极限与连续1
1.1函数1
1.1.1集合、区间与邻域1
1.1.2函数概念3
1.1.3初等函数14
1.1.4建立函数关系举例14
习题1.1 16
1.2数列的极限19
1.2.1数列极限的定义19
1.2.2收敛数列的性质22
1.2.3数列极限的存在准则23
1.2.4数列极限的四则运算法则24
习题1.2 25
1.3函数的极限30
1.3.1函数极限的定义30
1.3.2函数极限的性质33
习题1.3 35
1.4无穷小与无穷大36
1.4.1无穷小36
1.4.2无穷大37
习题1.4 38
1.5极限运算法则38
1.5.1极限的四则运算法则38
1.5.2复合函数的极限41
习题1.541
1.6两个重要极限42
1.6.1函数极限的存在准则(夹逼准则)42
1.6.2两个重要极限42
习题1.647
1.7无穷小的比较47
习题1.749
1.8函数的连续性50
1.8.1连续函数的概念50
1.8.2间断起及其分类51
1.8.3连续函数的性质和运算53
1.8.4闭区间上连续函数的性质54
习题1.8 56
本章小结57
总习题158
第2章 导数与微分61
2.1导数概念61
2.1.1问题的引、61
2.1.2导数的定义62
2.1.3导数的几何意义65
2.1.4求导举例65
习题2.168
2.2求导法则68
2.2.1导数的四则运算法则69
2.2.2反函数的导数70
2.2.3复合函数的导数71
2.2.4初等函数的导数72
习题2.273
2.3高阶导数74
2.3.1高阶导数的定义及表示74
2.3.2高阶导数的计算75
2.3.3高阶导数的求导法则76
习题2.377
2.4隐函数及参数函数的导数77
2.4.1隐函数的导数77
2.4.2对数求导法79
2.4.3参数式函数的导数80
2.4.4相关变化率82
习题2.482
2.5函数的微分及其应用83
2.5.1微分的概念83
2.5.2微分的几何意义85
2.5.3微分公式与微分运算法则85
2.5.4微分在近似计算中的应用87
2.5.5微分在误差估计中的应用88
习题2.589
2.6微分中值定理90
2.6.1费马(Fermat)定理90
2.6.2夕((Rooe)定理91
2.6.3拉格朗日(Lagrange)中值定理92
2.6.4柯西(Cauchy)中值定理95
2.6.5泰勒(TayoRr)公式96
习题2.699
2.7洛必达法则99
2.7.1洛必达法则100
2.7.2其他类型的未定式102
习题2.7 103
2.8导数的应用104
2.8.1函数羊调性判定法104
2.8.2曲线的凹凸性及其判别法105
2.8.3函数的极值及其求法107
2.8.4函数的最值及其求法110
2.8.5曲线的渐近线及其图形的描绘112
2.8.6函数图形的描绘113
习题2.8115
2.9曲率115
2.9.1弧微分116
2.9.2曲率及其计算公式117
2.9.3曲率圆与曲率半径119
习题2.9120
本章小结120
总习题2122
第3章 不定积分124
3.1不定积分的概念和运算法则124
3.1.1问题的引入124
3.1.2京函数124
3.1.3不定积分125
3.1.4不定积分的运算法则126
3.1.5不定积分的基本公式127
习题3.1 128
3.2换元积分法129
3.2.1第一换元积分法("凑"微分法)129
3.2.2第二换元积分法(变量代换法)134
习题3.2 138
3.3分部积分法138
习题3.3 141
3.4有理函数的积分141
3.4.1有理函数141
3.4.2有理函数的积分142
习题3.4 146
3.5积分表的使用146
3.5.1直接查表146
3.5.2间接查表146
本章小结147
总习题3147
第4章 定积分149
4.1定积分的概念149
4.1.1入定积分概念的实例149
4.1.2定积分定义150
4.1.3可积函数类151
习题4.1152
4.2定积分的性质和基本定理152
4.2.1定积分的基本性质152
4.2.2微积分学基本定理154
4.2.3变上限的定积分154
4.2.4牛顿-菜布尼茨公式156
习题4.2158
4.3定积分的计算方法159
4.3.1定积分换元法159
4.3.2定积分分部积分法162
习题4.3164
4.4广义积分165
4.4.1无穷区间的广义积分165
4.4.2无界函数的广义积分166
习题4.4169
4.5定积分的应用169
4.5.1微元法169
4.5.2平面图形的面积171
4.5.3立体的体积174
4.5.4平面曲线的弧长177
4.5.5定积分在实际中的应用178
习题4.5181本章小结184总习题4184
第5章 常微分方程188
5.1常微分方程的基本概念188
5.1.1问题的引入一一一马尔萨斯(Maothus)人口模型188
5.1.2一些基本概念189
习题5.1190
5.2可分离变量的微分方程191
5.2.1可分离变量的微分方程191
5.2.2齐次方程192
习题5.2193
5.3阶线性微分方程194
5.3.1一阶线性微分方程194
关5.3.2伯努利(BernRuooi)方程196
习题5.3197
5.4可降阶的微分方程198
5.4.1y(η)=f(工)型的微分方程198
5.4.2y=f(工，y)型的微分方程(不显含y的二阶微分方程)198
5.4.3y=f(y，y)型的微分方程(不显含工的二阶微分方程)200
习题5.4201
5.5二阶线性微分方程解的结构201
习题5.5203
5.6二阶常系数线性微分方程的解法203
5.6.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法203
5.6.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法206
习题5.621
本章小结212
总习题5213
部分习题参考答案216
参考文献231
附录AMATLAB实验(上)232
A1MATLAB简介232
A1.1MATLAB文件菜单简介233
A1.2MATLAB中的常用运算符和函数233
A1.3M文件与M函数235
A2曲线绘图的MATLAB命令236
A3求极限的MATLAB命令239
A4求一元函数导数的MATLAB命令240
A4.1MATLAB中主要用diff命令求函数的导数240
A4.2MATLAB中主要用rRRts，fzerR，fminbnd命令解决导数的应用240
A5求积分的MATLAB命令243
A6微分方程求解的MATLAB命令244
附录B不定积分表245
附录C希腊字母表253

第1章函数、极限与连续
函数在自然科学、x程技术以及经济、社会科学等领域中有着非常广泛的应用，极限则是研究函数的一种最基本的方法，本章着重介绍函数、极限与函数的连续性等高等数学中最基本的概念以及它们的一些性质，这些内容都是学习本课程必需的基本知识。
1.1函数
1.1.1集合、区间与邻域
1.集合概念集合是现代数学中一个不加定义的基本概念，它是指某些指定的对象的总体，集合中的每个对象称为这个集合的元素.一般我们用大写英文字母A，B，C，…表示集合，用小写英文字母α，b，c，…表示元素。如果α是集合A的元素，就称α属于集合A，记作αεA;如果α不是集合A的元素，就说α不属于集合A，记作α哇A。
含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。
1)集合的表示方法
常用的有列举法和描述法。
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法，由有限个元素组成的集合，可用列举其全体元素的方法来表示。
例如，由元素α1，α2，…，αη组成的集合A，可记作A={α1，α2，…，αη}。
(2)描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合，由无穷多个元素组成的集合，可以用描述法来表示
设M是具有某种特征的元素x的全体所组成的集合，就记作M={xix所具有的特征。
一些常用的数集及其记法：全体自然数(或非负整数)的集合记作N;全体正整数集记作
N十，或N十;全体整数集记作Z，正整数集有时也记作Z十;全体有理数集记作Q;全体实数集记作R。
2)集合的基本关系
在集合之间，存在着"包含"与"相等"的关系。
对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若xεA，则xεB，我们就称集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作ACB或B二A，这时也称集合A是集合B的子集。例如，NCZ，ZCQ，QCR。
由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即ACA;
(2)对于集合A，B，C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
若ACB且BCA，就称A与B相等，记作A=B。
对于两个集合A与B，若ACB，但A手B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A主B，简记ACB。
另外，我们规定，不含任何元素的集合称为空集，记作队，并规定，空集是任何集合的子集。
3)集合的基本运算
集合的基本运算有以下几种：并，交，补，直积。
(1)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，简称并，记作AUB，即
AUB={xixεA，或xεB}，在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次，(2)交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集，简称交，记作A门B，即
(3)全集与补集：
A门B={xixεA，且xεB}，
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA。即CUA={xixεU，且x哇A}。(4)直积(笛卡儿乘积)：设A，B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对(x，y)，把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记为AXB，即AXB={(x，y)ixεA且yεB}。
例如，RXR={(x，y)ixεR且yεR}即为x。y面上全体点的集合，RXR常记作R2。
2.区间与邻域
1)区间
研究函数时常会用到区间的概念，区间是实数集R的一个子集。
设α和b都是实数，且α 闭区间：[α，bJ={xα 半开半闭区间：(α，bJ={xα 这里实数α，b都称为相应区间的端点。
上述这些区间都称为有限区间，数b-α称为这些区间的长度。
此外，还有无穷区间，引人记号十∞(读作正无穷大)及记号-∞(读作负无穷大)，则有无穷区间：
[α，十∞)={xα 2)邻域
(α，十∞)={xiα 邻域是高等数学中最常用的概念之一，大家务必了解。
设8是一任意正数，以点α为中心的对称开区间(α-8，α十8)称为点α的8邻域，记作U(α，8)，即
U(α，8)=(α-8，α十8)={xα-8 其中点α称为此邻域的中心，8称为此邻域的半径。
从数轴上看，U(α，8)表示与点α的距离小于8的一切点x的全体，在不要求说明邻域半径的情况下，以点α为中心的邻域也可简记为U(α)。
另外，不包含中心点α的数集{x0 U(α，8)={xα-8 从数轴上看，U(α，8)表示与点α的距离小于8且除去点α的一切点x的全体，在不要求说明邻域半径的情况下，去心邻域也可简记为U(α)。
为了方便，有时把开区间(α-8，α)称为α的左邻域，把开区间(α，α十8)称为α的右邻域。
1.1.2函数概念
1.函数的定义
定义1.1.1(函数的定义)设D是非空数集，若存在对应法则f，使得对于D中任意数x，按照对应法则f，都有唯一的一个yεR与之对应，则称f是定义在D上的函数，也称单值函数，记作y=f(x)?x称为口变量，y称为因变量。数集D称为函数f的定义域，函数值的集合f(D)={f(x)xεD}称为函数f的值域，
由函数的定义可知，确定函数的两个要素：(1)函数的定义域;(2)函数的对应法则。两个函数是否相同，取决于这两个要素是否相同。
如果给定一个对应法则，按照这个法则，对每一个xεD，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，习惯上我们称这种法则确定了一个多值函数。
例如，变量x与y的对应法则由方程x2十y2=1给出，则有y=士槡1-x2，即对应某个x的值有两个不同的y值与之对应。
多值函数如果给出一些限制条件，则可以得到单值函数，例如方程x2十y2=1中，如果规定y=0，则得到一个单值函数y=槡1-x2。
在高等数学中，我们约定只讨论单值函数。
对应法则f实际上就是一个运算规则，可以将函数想象为一个机器，这将有助于理解函数一概念，如果x在f的定义域中，则当x进人这个机器，x可以被看作一个输人，机器则通过函数的规则产生一个输出f(x)(图1.1)，因此，我们可以把定义域看作所有输人的集合，把值域看作所有输出的集合。
计算器里面预置程序的函数，是借助机器理解函数很好的例子。例如，当你按下标有"槡"的键时，如果输人-4则无法输出，因为-4不在定义域内，如果输人4，则输出2。
对于一个函数，在没有明确指出其定义域时，就认为函数的定义域是使得此函数有意义的实数x的集合?而对于具有实际意义的函数，它的定义域要受实际意义的约束?
2.函数的表示方法
1)解析法
用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法称为解析法，也叫公式法。例如，圆的面积公式A=πγ2就是函数的解析式，其中γ是圆的半径。
解析法表示的函数关系的优点是便于研究函数的性质，便于理论推导和计算，但在实际问题中一般很难找到它的比较精确的函数解析式。
2)表格法
将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例如某公司经统计得到某商品广告费与销售额之间的相关数据如表1.1所示。
表格法的优点是所求的函数值容易查得，但无法从总体上确定函数的性质。
3)图象法
用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图象法，一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量，图象法的优点是形象直观，且可以看到函数的变化趋势。
函数的以上表示方法在具体使用时应以解析法为主，其他两种方法结合使用。
下面举几个函数的例子：
例1.1.1求函数f(x)=1的定义域。
解由x2-x-2>0得x<-1，x>2，即{xix<-1，x>2}。
例1.1.2下列各对函数是否相同?为什么?
(1)f(x)=x，g(x)= x2：(2)f(x)=21nx，g(x)=1nx2：(3)f(x)=sinx，g(u)=sinu。
解(1)不同，因为值域不同。
(2)不同，因为定义域不同。
(3)相同，因为定义域、值域、对应法则都相同。
3.分段函数
有时一个函数要用几个式子来表示。这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数通常称为分段函数。
例1.1.3函数，这是一个分段函数，如图1.2所示，其定义域为
D=[0，1]U(1，十∞)=[0，十∞)，当01时，y=1+x。
例如，
例1.1.4函数y=x=- 函数也称为绝对值函数，如图1.3所示的定义域为(-∞，十∞)，值域为[0，十∞)，这个
例1.1.5设x为任意实数，[x]表示不超过x的最大整数。例如，[2，5]=2，[3，d]=3，[0]=0，[-3，1]=-4，我们把函数y=[x]，称为取整函数，定义域为R，它的图形如图1.4所示。
例1.1.6函数y=sgnx=-<0，x=0，称为符号函数，其定义域为(-∞，十∞)，值域为{-1，0，1}，其图形如图1.5所示。
4.函数的四种特性
1)函数的单调性
定义1.1.2{函数的单调性)设函数f(x)的定义域为D，区间ICD，若对于区间I上任意两点x1，x2，当x1 例如，函数y=x2在区间[0，十∞)上单调增加，在区间(-∞，0]上单调减少;函数y=x3在R上单调增加。
又如，指数函数y=αx(α是常数且α>0，α=1)，它的定义域是(-∞，十∞)，当α>1时，指数函数y=αx是单调增加的;当0<α<1时，指数函数y=αx是单调减少的。
再例如对数函数y=10gαx(α是常数且α>0，α=1)，它的定义域是(0，十∞)，当α>1时，对数函数y=10gαx是单调增加的;当0<α<1时，对数函数y=10gαx是单调减少的。
2)函数的奇偶性
定义1.1.3{函数的奇偶性)设函数f(x)的定义域为D，若对于任意xεD，有-xεD，且f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))，则称函数f(x)是奇函数(偶函数)。
例如，函数f(x)=sinx在其定义域中的任何对称区间上都是奇函数，而函数f(x)=c0sx在其定义域中的任何对称区间上都是偶函数。
又如，双曲正弦函数y=f(x)=为奇函数，如图1.6所示，定义域是R，双曲余弦函数：y=f(x)=数，如图1.7所示，定义域是R，为偶函2再如，双曲正切函数y==也是奇函数，如图1.8所示。