本教材是北京市精品课程的配套教材, 从解决实际工程问题的角度出发, 内容涵盖数学的基本原理及基本方法, 从复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数及其应用、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换及应用等9个方面进行阐述, 注重数学理论体系的同时, 强调工程应用, 既独立又相互联系, 既有理论也有实践; 内容逻辑上由浅入深、层层递进; 既注重突出重点、又侧重工程应用。
目录
前言
引言1
第1章复数与复变函数3
1.1复数3
1.1.1复数的基本概念3
1.1.2复数四则运算与共轭复数4
1.1.3复数的表示6
1.1.4复数的乘幂与方根10
1.2复平面上的曲线和区域16
1.2.1复平面上的曲线16
1.2.2复平面上的点集18
1.2.3扩充复平面与复球面20
1.3复变函数的极限和连续性21
1.3.1复变函数的概念21
1.3.2复变函数的极限24
1.3.3复变函数的连续性27
复变函数论的发展简况29
本章小结30
习题131
第2章解析函数34
2.1解析函数的定义34
2.1.1复变函数的导数与微分34
2.1.2解析函数的定义36
2.1.3求导运算法则38
2.2函数解析性判别39
2.2.1可导和解析的条件39
2.2.2柯西黎曼条件的极坐标形式45
2.2.3解析函数的性质47
2.3初等解析函数48
2.3.1指数函数49
2.3.2对数函数50
2.3.3幂函数53
2.3.4三角函数54
2.3.5反三角函数59
2.3.6双曲函数与反双曲函数60
2.3.7初等多值函数的解析性62
本章小结63
习题263
复变函数与积分变换第3章复变函数的积分66
3.1复变函数积分的定义和性质66
3.1.1复变函数积分的定义66
3.1.2积分存在的条件67
3.1.3复变函数的积分性质69
3.1.4复变函数积分的计算例题70
3.2柯西定理及其推广72
3.2.1柯西基本定理73
3.2.2原函数74
3.2.3多连通区域的柯西定理76
3.3柯西积分公式78
3.3.1单连通区域中的柯西公式78
3.3.2多连通区域的柯西公式80
3.4解析函数的高阶导数83
3.4.1高阶导数公式83
3.4.2柯西公式和高阶导数公式理论应用87
3.5解析函数与调和函数的关系88
3.5.1调和函数的定义88
3.5.2利用调和函数构造解析函数88
3.5.3利用解析函数的导数求调和函数的稳定点92
柯西古尔萨定理证明94
本章小结98
习题399
第4章复级数102
4.1复数项级数103
4.1.1复数列103
4.1.2复数项级数104
4.2幂级数108
4.2.1复变函数项级数108
4.2.2幂级数的概念及性质109
4.3泰勒级数117
4.3.1泰勒定理117
4.3.2解析函数的泰勒展开120
4.4洛朗级数123
4.4.1双边幂级数123
4.4.2解析函数的洛朗展开125
本章小结129
习题4130
第5章留数133
5.1孤立奇点及其分类134
5.1.1孤立奇点的概念及分类134
5.1.2函数的零点与极点的关系139
5.1.3解析函数在无穷远点的性态141
5.2留数的概念及计算144
5.2.1留数定义与留数定理144
5.2.2留数的计算146
5.2.3解析函数在无穷远点的留数150
5.3留数在定积分计算中的应用151
5.3.1形如∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ的积分152
5.3.2形如∫+∞－∞R（x）dx的积分154
5.3.3形如∫+∞－∞R（x）eiλxdx（λ>0）的积分156
5.3.4杂例157
5.4对数留数与辐角原理160
5.4.1对数留数160
5.4.2辐角原理162
5.4.3儒歇定理163
本章小结164
习题5165
第6章保形映射169
6.1保形映射的概念169
6.1.1解析函数导数的几何意义169
6.1.2保形映射的概念173
6.1.3单叶解析函数的映射性质174
6.2分式线性映射176
6.2.1分式线性映射的概念176
6.2.2分式线性映射的性质179
6.3唯一确定分式线性映射的条件183
6.3.1唯一确定分式线性映射的条件183
6.3.2分式线性映射应用举例186
6.4几个初等函数构成的映射189
6.4.1幂函数w=zn（n≥2为整数）189
6.4.2指数函数w=ez190
本章小结191
习题6192
复变函数与积分变换第7章傅里叶变换194
7.1傅里叶积分194
7.1.1傅里叶积分195
7.1.2傅里叶积分定理196
7.2傅里叶变换的概念198
7.3单位脉冲函数广义傅里叶变换200
7.3.1单位脉冲函数的概念200
7.3.2δ函数的性质201
7.3.3广义傅里叶变换204
7.4傅里叶变换的性质206
7.4.1傅里叶变换的重要性质206
7.4.2乘积定理209
7.4.3帕塞瓦尔定理210
7.5卷积211
7.5.1卷积定义及基本性质211
7.5.2卷积定理212
7.6Rn上的傅里叶变换215
7.6.1L1(Rn)中的傅里叶变换216
7.6.2L2(Rn)中的傅里叶变换220
本章小结222
习题7224
第8章拉普拉斯变换227
8.1拉普拉斯变换的概念227
8.1.1拉氏变换的定义227
8.1.2拉氏变换的存在定理228
8.2拉氏变换的性质233
8.2.1拉氏变换的性质233
8.2.2初值和终值定理240
8.3卷积242
8.3.1卷积的定义242
8.3.2卷积性质242
8.3.3卷积定理243
8.4拉氏逆变换244
8.4.1反演积分公式245
8.4.2拉氏逆变换的求法246
8.5拉氏变换的应用249
本章小结253
一、拉氏变换的概念253
二、拉氏变换的性质254
三、卷积255
四、拉氏逆变换256
五、拉氏变换的应用256
习题8256
第9章Z变换260
9.1Z变换的基本概念260
9.1.1序列、差分和差分方程260
9.1.2Z变换的定义262
9.1.3Z变换存在性定理263
9.1.4Z变换的收敛域264
9.1.5常用序列的Z变换举例265
9.2Z变换的性质266
9.2.1线性性质266
9.2.2左移性质266
9.2.3右移性质267
9.2.4初值定理268
9.2.5终值定理269
9.2.6z域微分性质269
9.2.7z域尺度变换性质270
9.2.8时域卷积定理271
9.3Z逆变换272
9.3.1Z逆变换的定义272
9.3.2求Z逆变换的常用方法272
9.4Z变换的应用276
本章小结277
习题9277
参考文献280
附录Ⅰ傅氏变换简表281
附录Ⅱ拉氏变换简表284
引言
高等数学中研究的函数主要是针对实数范围内变量之间的相互依赖关系.随着实际问题的需要和数学理论的发展，数的研究范围逐步由实数推广到复数，函数也随之推广到变量为复数的复变函数.
1545年，意大利学者卡尔达诺（Cardano）在解三次方程时，首先引进负数开平方的思想，把40看成5+－15与5－－15的乘积，当时只是一种纯形式的表示.事实上，在解实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，如果判别式Δ=b2－4ac<0，就会遇到负数开平方，最简单的例子是解x2+1=0，遇到－1开平方，为了使方程有解，需要负数开平方有意义.
复数的引入是数系的又一次扩充，是在实数系的基础扩充而得的，最初由于对复数的有关概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，长期以来，人们把复数看成不能接受的“虚数”，直到17~18世纪，随着微积分的发明和发展，并且这个时期复数有了清晰的几何解释，把复数与平面向量对应起来解决了一些实际数学问题，复数才渐渐被人们承认并广泛使用.例如，用复变函数理论很容易证明一元n次方程
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