现在偏微分方程是建立在工作空间Sobolev空间的理论，本书系统地介绍了这个空间的性质,并给出一般的Poincare不等式新的证明。而积分泛函的变分问题的存在性归结为下半连续性的研究，这直接导致了补偿紧定理的发现。然而积分泛函在群作用下丢失紧性，从而有Lions的集中紧定理。一些经典的变分方法也在本书中予以介绍，像PS条件与Ekeland变分原理与Nehari处理约束泛函极小点问题.在这些内容中包括了极小超曲面问题，特别是Plateau问题，Sobolev嵌入的最佳常数问题，等周不等式。《变分法与偏微分方程》是偏微分方程的基础，他对分析学方面：包括物理力学电子学、几何学方面的学生都是基本内容,本教材是自包含的，介绍了现代偏微分方程的基础内容：Sobolev空间极其性质,容量与有界平均震荡空间；积分泛函的极值问题中的经典方法:包括Euler-Lagrange方程，Jacobi场，Noether定理和条件极值问题。直接方法：下半连续性的充分必要条件，补偿紧性，集中紧性，Ekeland变分原理，和Nehari技巧。最后应用到极小曲面和等周不等式。

　　17世纪的欧洲，涌现出许多精妙的科学问题，奠定了变分法的重要性，例如，Fermat （1662）的几何光学问题：光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播，又称最小时间原理或极短光程原理．Galileo （1638）提出的最速下降线（brachistochrone curve）问题，由Bernoulli兄弟（1696），Leibniz和Newton所解决．对变分法的发展起到决定性作用的数学家是Euler和Lagrange.众多的数学家对变分法的发展起到了推动的作用，他们是Bliss，Bolza，Caratheodory，Clebsch，Hahn，Hamilton，Hilbert，Kneser，Jacobi，Legendre，Mayer，Weierstrass等，对变分法的发展具有里程碑意义的工作有以下三项．
　　（1）极小曲面问题的研究．Lagrange （1762）给出了问题的数学描述，一批数学家Ampere，Beltrami，Bernstein，Bonnet，Catalan，Darboux，Enneper，Haar，Korn，Legendre，Lie，Meusnier，Monge，Muntz，Riemann，H.A. Schwarz，Serret，Weierstrass，Weingarten等对这个问题进行了深入的探讨．Douglas和Rado （1930）给出了第1个完全的证明，Douglas因此获得Fields奖．
　　（2）19世纪Hilbert研究Dirichlet积分——简单的多重变分积分问题，将调和函数的研究归结为变分问题，并创造了所谓的直接方法．这个威力巨大的工具，被广泛用来研究偏微分方程在Sobolev空间内解的存在性．
　　（3）1900年，Hilbert在巴黎召开的国际数学家大会上提出了23个问题供20世纪重点发展的研究方向，其中有3个问题（第19，20，23）与变分法有关．
　　本书是给数学系高年级本科生和研究生讲授变分法的基本内容，希望能在Sobolev空间的框架下，讲授多重积分泛函的变分方法．内容包括泛函的一阶变分、二阶变分、下半连续性、补偿紧性、集中紧性、Ekeland变分、Nehari技巧等，并介绍了极小曲面的Douglas方法和等周不等式的证明，基本内容所需知识做到自包含，通过本书的学习，可以进入相关领域的研究，

前言
引言
第1章 函数空间
1．1 连续与Holder连续空间
1．2 Lp空间
1．3 Sobolev空间
1．4 Capacity
1．5 BMO空间
第2章 经典方法
2．1 Euler-Lagrange方程
2．2 泛函的二阶变分
2．3 Jacobi场
2．4 Hamilton-Jacobi方程
2．5 Noether定理
2．6 条件极值
第3章 直接方法
3．1 下半连续性
3．2 补偿紧
3．3 集中紧性原理
3．4 Ekeland变分原理
3．5 Nehari技巧
第4章 极小曲面
4．1 R3中的曲面理论和测地线
4．2 Douglas-Courant-Tonelli方法
第5章 等周不等式
5．1 R2中的等周不等式
5．2 Rn中的等周不等式
参考文献
索引