《艺术数学》共5章，包括数列的极限、函数与极限、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分等数学内容，涉及音乐、美术、雕塑等各个艺术学领域，以及股市艺术、分形艺术、建筑艺术等“艺术”知识。
本书以“艺术”中的数学元素为鸿线，发掘和建立艺术与数学彼此之间知识的融合、理念的沟通和思维的创新。
本书采用直观明了的几何论证和通俗易懂的逻辑推理的方法，强调知识性、趣味性、鉴赏性和可读性。
《艺术数学》可作为高等院校艺术系“数学”课程的教材，或文科其他各专业的数学参考书，也可作为提高学习兴趣、增强文化素养的课外读物。本书由马传渔、邵进、李栋宁编著。
《艺术数学》强调趣味性，从古代经典艺术作品到21世纪旷世杰作，涉及音乐、美术、建筑、雕塑等各个艺术学领域。本书是一本教材，同时，也是一本通俗读物，对提高人们的学习兴趣和对艺术作品的鉴赏能力可能会有帮助；它会使人们通晓数学和艺术中美的原则，它们是如此相似；它会给人们的艺术活动、艺术创作带来新的理念、新的方法和更加丰富的创作源泉。本书由马传渔、邵进、李栋宁编著。
马传渔
南京大学教授，1982～1984年师从法国M.Berger院士在巴黎第七大学访问学习两年。1993年获普通高等学校优秀教学成果二等奖，同年被录入第十五版《Who'swho in theworld》（《世界名人录》），并享受国务院政府特殊津贴。曾编著出版《空间解析几何学》和5本《微积分》教材，主编出版中小学数学奥林匹克科普读物100余册。2004年至今在南京大学金陵学院执教，任金陵学院督导委员会委员。
邵进
1969年6月生，江苏江阴人，南京大学副研究员，现为南京大学金陵学院副院长，教育部全国大学生创新创业训练计划专家组成员。长期从事高等教育管理研究，承担多项国家级、省级教学改革课题。近年来，在《江苏高教》、《中国大学教学》等核心期刊杂志发表文章数篇。曾获得2007年江苏省高等教育教学成果特等奖，2009年第六届高等教育国家级教学成果二等奖。
李栋宁
1971年7月出生，江苏南京人，副教授、艺术学博士，硕士生导师。发表学术论文20余篇，主持省部级课题多项。研究方向：电影学、设计学等。
前言
第1章 黄金数
1.1黄金分割与体型美
1.2《维纳斯》、《蒙娜丽莎》与黄金分割
1.3斐波那契数的闪光点
1.4黄金数与斐波那契数列的联系与应用
思考探究题
第2章 音乐与数学
2.1音阶与261.63Hz
2.2乐声与y=Asin（ωχ+φ）
2.3曲调与和谐性原理
2.4“无穷”的艺术
2.5对称美
思考探究题
第3章 黄金图形
3.1黄金三角形与图案设计
3.2黄金矩形与M.C.Escher的杰作
3.3大自然中迷人的螺线
思考探究题
第4章 图形艺术
4.1维数艺术
4.2图形的描绘
4.3视幻觉与不可能图形
4.4美术作品与默比乌斯带
思考探究题
第5章 雪花曲线与镶嵌艺术
5.1雪花曲线
5.2互逆运算
5.3镶嵌艺术
5.4雕塑艺术
思考探究题
参考文献
结束语
第1 章 黄 金 数
黄金数是希腊数学家欧多克斯（Eudoxus）发现的，然而，“黄金”两个字则是意
大利著名科学家、艺术家达? 芬奇最早冠以的美称，黄金数被当作美的信条，统治
着当时欧洲的建筑和艺术，并且这种影响一直延续到今天．用φ ＝ 0.618 033 988 ?
和Φ ＝ 1.618 033 618 ? 表示两个黄金数．
1.1 节引入黄金分割与黄金数的含义及黄金点的作法．黄金分割与黄金数有
广泛的应用：人体的黄金分割点能烘托出人的体型美，艺术作品中的黄金分割点屡
见不鲜．1.2 节从?维纳斯?和?蒙娜丽莎?两幅作品中，透彻说明黄金数的应用，道
出艺术与数学之间深入的关系．1.3 节从园林艺术花瓣或叶子的数目引入通常所
指的斐波那契数列1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，89 ，? ，该数列中的数称为斐波那
契数，同时还给出了数列极限的各种计算方法．1.4 节中的定理1.6 深刻阐明了黄
金数与斐波那契数之间的关系．本节介绍的探索、归纳法在各个领域中都是常用
的．另外，本章介绍的斐波那契数和定理1.6 在股票市场上的应用是值得一读的．
1.1 黄金分割与体型美
意大利数学家菲披斯注意到数学界不屑一顾的“冷门”――人体的黄金分割．
他认为：一般人在人体肚脐上下的长度比值为0.618 ，或者与此比值相近是人体上
下结构的最优比例．此外，他发现，人体结构还有三个黄金分割点：上肢的分割点在
肘关节、肚脐以下的分割点在膝盖、肚脐以上的分割点在咽喉．如果一个人各部分
的结构比都符合这个黄金分割律，那么他的体型就是最标准的．这一发现为评价体
型的优劣提供了科学依据．
公元前5 世纪，哲学家毕达哥拉斯认为：“凡是美的东西，都具有共同的特性，
图1.1
这就是部分与部分和部分与整体之间的协调一致．”
假定线段A B 上有一个分点C ，如图1.1 所示．要使部
分与部分和部分与整体之间协调，则有
一部分
另一部分
＝ 另一部分
整体
，
即
BC
A C ＝ A C
A B.
不妨令A B ＝ 1 ，A C ＝ x（0 ＜ x ＜ 1） ，则
1 - x
x ＝ x
1 ，
整理得x2 + x - 1 ＝ 0 ，解得
x1 ＝ 5 - 1
2 ≈ 0.618 033 988 ，
x2 ＝ - 5 - 1
2 ＝ - 1.618 033 988 ? （舍去）.
线段A B 的这一分割称为黄金分割，点C 称为黄金分割点，简称黄金点．比值
5 - 1
2 称为黄金分割比，简称黄金比或黄金数．
记φ ＝ 5 - 1
2 ≈ 0.618 ，则
BC
A C ＝ A C
A B ＝ φ. （1.1）
再记Φ ＝ 1
φ
，则得
Φ ＝ 2
5 - 1
＝ 2（ 5 + 1）
（ 5 - 1）（ 5 + 1）
＝ 5 + 1
2 ≈ 1.618 033 988.
若将（1.1）取倒式，于是有
A C
BC ＝ A B
A C ＝ 1
φ
，
即
A C
BC ＝ A B
A C ＝ Φ. （1.2）
因此，也称Φ 为黄金数．
由φ ＝ 5 - 1
2 ，Φ ＝ 5 + 1
2 知
Φ - φ ＝ 1 ，
Φ ? φ ＝ 1.
（1.3）
图1.2
下面介绍黄金点的作法．
公元前300 年左右，欧几里得就用圆规和直尺找
出了线段A B 的黄金分割点C ，如图1.2 所示．
设A B ＝ 1 ，过B 作A B 的垂线MB ，取BM ＝ 12
A B
＝ 12
，连接A M ，在A M 上截取DM ＝ BM ＝ 12
，再在
A B 上截取A C ＝ A D ，由于
A C
A B ＝ A D
A B ＝
A M - 12
A B
A B
＝
12 + 12
2
- 12
1 ＝ 5 - 1
2 ≈ 0.618 ，
因此，点C 就是A B 的黄金分割点．
黄金数在生活中有广泛的应用．在生活中穿衣时，
下装长
上装长+ 下装长
＝ φ ≈ 0.618.
下面描画了两种风格稍异的四层女式接裙（图1.3） ，你觉得哪一种更为可取
呢？ 当然，你会选右边逐层加深的那种．在那个设计中，每一层与其上一层深度的
比都恰为黄金分割比．
图1.3
购买衣服时，
（高档价- 低档价） × 0.618 + 低档价
是合理的价格．
人的体温是37 ℃ ，因为37 ℃ × 0.618 ≈ 23 ℃ ，所以空调的温度调到23 ℃ ，人
感到最舒服．
彼得? 脱普钦说：“在柏拉图的时代里，提出了黄金分割比例Φ ，这个比例是所
有数学关系中最具约束力者，目前也被视为解答宇宙物理学之论．”毕达哥拉斯兄
弟选了5 个指定的星球作为标志，标志的每一部分与其次小的部分均维持黄金比
例的关系．16 世纪，约翰尼斯? 开普勒写到黄金分割时说，它实际上描述了宇宙
万物，并且特别以“相似来自相似”作为神所创造的宇宙万物的象征．
两个黄金比Φ 和φ 同三角函数具有下面的关系：
（1） 2（sin45°）2 ＝ Φ - φ ；
（2） 4（sin18°）2 ＝ 1 - φ ；
（3） 4（cos36°）2 ＝ 1 + Φ.
早在16 世纪欧洲文艺复兴时期，德国画家丢勒有一幅名作，画面上仅有一双
手，但手的中心位置却不在画面中央，而是在靠左下3/5（接近0.618）处（图1.4）.
丢勒（1471 ― 1528）是德国宗教改革运动时期著名的油画家、版画家、雕塑家、
建筑家，也是一名著名的数学家.他的著作?圆规直尺测量法?，无论在艺术界还是
数学界，都产生过很大的影响.他发明的幻方具有深刻的历史意义和现实价值，堪
称稀世珍品（图1.5）.
图1.4
图1.5
什么叫幻方呢？ n 阶幻方就是把1 ，2 ，3 ，? ，n2 排成n 行n 列的一个数表，使
得每行每列以及两条对角线上n 个数之和都等于12
n（n2 + 1） ，并称此数为幻和.
丢勒给出的是4 阶幻方，幻和为34.
我国古代数学家称幻方为纵横图.在公元80 年成书的?大戴礼记?中就有了
3 阶幻方的记载，南宋数学家杨辉已构造出直至10 阶的幻方.
在丢勒的4 阶幻方中，中心的4 个数之和为
10 + 11 + 6 + 7 ＝ 34（幻和）.
四角上的4 个数之和
16 + 13 + 4 + 1 ＝ 34（幻和）.
下边一行中间的两个数15 ，14 合在一起，恰为丢勒作此幻方的年份1514 年.第一
行4 个数的平方和加上第三行4 个数的平方和是
162 + 32 + 22 + 132 + 92 + 62 + 72 + 122 ＝ 748 ，
它恰好等于第二行4 个数的平方和加上第四行4 个数的平方和.这一切绝不是偶
然的巧合，这是艺术家丢勒深厚的数学功底的见证.
在20 世纪雕刻家M.C.Escher（爱舍尔）的下面两幅作品（图1.6 ，图1.7）中，
C 都是线段A B 的黄金点，即
A B
A C ≈ 1.68 ≈ Φ.
图1.6
?水洼?，M.C.Escher 的木刻画，作于1952 年．太阳在水中的倒影，树木在水面
上的反射．图中的点C 是线段A B 的黄金分割点，点C 垂直向上正对着粗壮有
力的树干．画面上留下的脚印和车轮印具有浓厚的生活气息
图1.7
M.C.Escher 于1931 年的石板画作品，意大利南部卡拉布里亚?罗马帝国?．画
面上粗壮雄伟树干所在处的点C 恰好是线段A B 的黄金分割点
2011 年4 月29 日，英国威廉王子和平民女子凯特在英国伦敦威斯敏斯特大
教堂举行盛大婚礼，成为英国王室瑰丽的花朵．美国艺术家乔治? 维尔希耗时80
小时制作一幅威廉?凯特蚀刻素描肖像，如图1.8 所示．
图1.8
在这幅肖像图中，A B ＝ 73.5 cm ，A C ＝ 48 cm ，
A B
A C ＝ 73.5
48 ≈ 1.53 ，
比较接近黄金数Φ ≈ 1.618.点C 对上去的位置正好是凯特笔直高挺的鼻尖之处，
不管这是否是艺术家刻意安排的黄金分割点，还是偶然的巧合，现实的效果赋予人
们的是如此美妙和绚丽．
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