函数空间理论是泛函分析的重要内容，起源于对积分方程的求解和变分法的研究. 希尔伯特在积分方程的研究中洞察到函数空间的相关理论. 在用现代抽象术语表述希尔伯特思想的过程中，追随者们逐渐建立了抽象函数空间理论. 本书在积分方程的视角下，对函数空间理论产生的背景、形成的原因、发展的过程进行了论述，着重探究了希尔伯特与其追随者们之间的思想传承. 本书有助于更好地理解函数空间理论的历史发展进程，进而更全面地理解近现代数学思想.

李亚亚，甘肃会宁人，博士后，西安财经学院讲师，主要研究方向为近现代数学史。王昌，陕西泾阳人，博士，西北大学副教授，博士生导师，主要研究方向为近现代数学史。

目 录 第1章 弗雷德霍姆的积分方程理论 1 1.1 弗雷德霍姆积分方程思想的来源 1 1.1.1 沃尔泰拉的启发 2 1.1.2 科克的成果 4 1.2 弗雷德霍姆的积分方程理论 12 1.2.1 定义“系数行列式” 13 1.2.2 讨论“系数矩阵的秩” 15 1.2.3 分两种情形处理方程 17 第2章 希尔伯特对积分方程的早期探索 23 2.1 希尔伯特研究积分方程的原因 23 2.2 希尔伯特的特征值理论 26 2.2.1 希尔伯特的代数问题 26 2.2.2 定义特征值、特征函数 31 2.2.3 建立广义主轴定理 34 2.2.4 建立函数的展开定理 38 2.3 微分方程上的应用 40 第3章 希尔伯特的一般理论 45 3.1 希尔伯特的目标 45 3.2 希尔伯特的谱理论 46 3.2.1 有限维的情形 47 3.2.2 定义点谱、连续谱 50 3.2.3 有界无穷二次型的谱分解 54 3.2.4 全连续概念的引入 56 3.3 谱理论在积分方程上的应用 59 第4章 希尔伯特空间的诞生 68 4.1 希尔伯特序列空间的建立 68 4.1.1 施密特的早期工作 69 4.1.2 希尔伯特序列空间的诞生 75 4.2 里斯-费舍尔定理的建立 80 4.2.1 勒贝格积分的建立 80 4.2.2 里斯的相关工作 90 4.2.3 费舍尔的相关工作 93 第5章 抽象巴拿赫空间理论的开始 97 5.1 具体巴拿赫空间的发现 97 5.2 抽象算子理论的开端 103 5.3 紧算子理论的建立 106 5.4 巴拿赫空间理论的开始 111 5.4.1 巴拿赫空间的定义 111 5.4.2 巴拿赫空间上的算子 115 第6章 抽象希尔伯特空间理论的开始 120 6.1 抽象希尔伯特空间的定义 120 6.2 抽象希尔伯特空间的算子 126 人名列表 133 术语列表 136 参考文献 140