《凝聚态电磁学和引力中的多值场论/现代物理基础丛书》编著者哈根 ·克莱纳特。 《凝聚态电磁学和引力中的多值场论/现代物理基础丛书》内容提要：本书给出了多值场论的基本框架，并通过在不同领域的应用对此理论加以了详尽的阐述．本理论的一个重要特性是它包含一个新的具有奇异性的规范场这个规范场为某个曲面上的占函数，该曲面的形状是任意的，只有该曲面的边界具有物理意义。理论在曲面形变下的不变性可看作是一种新的规范对称性。 在本理论中多值映射起了十分重要的作用正是由此，我们可以从自由物质的物理定律推导出与规范场耦合的物质的物理定律以及带挠率的引力理论。 本书可作为研究人员、研究生学习掌握相变理论、量子场论、引力理论以及微分几何的参考书。

    《凝聚态电磁学和引力中的多值场论/现代物理基础丛书》编著者哈根·克莱纳特。 在本理论中多值映射起了十分重要的作用正是由此，我们可以从自由物质的物理定律推导出与规范场耦合的物质的物理定律以及带挠率的引力理论。 本书可作为研究人员、研究生学习掌握相变理论、量子场论、引力理论以及微分几何的参考书。

译者的话
序言
第1章 基础知识
1.1 牛顿力学的伽利略不变性
l.1.1 平移
1.l.2 转动
1.l.3 伽利略推进
1.1.4 伽利略群
1.2 麦克斯韦方程的洛伦兹不变性
1.2.1 洛伦兹推进
1.2.2 洛伦兹群
1.3 无穷小洛伦兹变换
1.3.1 群变换的生成元
1.3.2 群乘积和李代数
1.4 矢量、张量和标量场
1.4.1 离散洛伦兹变换
1.4.2 庞加莱群
1.5 洛伦兹变换的微分算子
1.6 矢量和张量算子
1.7 有限洛伦兹变换下矢量和张量的行为
1.7.1 转动
1.7.2 洛伦兹推进
1.7.3 洛伦兹群
1.8 相对论性点粒子力学
1.9 量子力学
1.10 电磁场中的相对论性粒子
1.11 狄拉克粒子和场
1.12 能动张量
1.12.1 点粒子
1.12.2 理想流体
l.12.3 电磁场
1.13 角动量和自旋
1.14 依赖时空的洛伦兹变换
1.14.1 角速度
l.14.2 角梯度
附录
1A张量恒等式
文献与注记

第2章 作用量方法
第3章 连续对称性和守恒定律、Noether定理
第4章 静磁场中的多值规范变换
第5章 潮流和超导中的多值场论
第6章 超流动力学 
第7章 带点超流动力学及超导
第8章 相对论性磁单极和电荷禁闭
第9章 从理想晶体到含缺晶体的多值映射
第10章 缺陷的熔解
……

 

第1 章基础知识
Basic research is what I am doing
when I don't know what I am doing.
Wernher von Braun （1912?1977）
一本关于多值场论的专著首先必须要对经典力学和单值场理论中的一些基本
概念进行回顾，这将在本书的前三章中予以完成. 对这部分内容已经十分熟悉的读
者可以直接从第4 章开始.
在关于理论力学的奠基性著作《原理》（Principia） 中，牛顿（1642?1727） 假定
了绝对时空的存在. 空间由矢量x = （x1；x2；x3） 来参数化，而点粒子在其中的运动
由轨迹x（t） 来描述，轨迹的分量qi（t） （i = 1；2；3） 则确定了粒子沿其轨迹随时间运
动时的坐标xi = qi（t）. 在牛顿的绝对时空中，一个自由粒子的运动是不带有任何
加速度的. 数学上，这可由以下微分方程来表达：
?x
（t） ′
d2
dt2 x（t） = 0；（1.1）
其中，点表示对时间求导.
一组N 个带有质量mn （n = 1；… ；N） 的点粒子xn（t） 会受到万有引力的作
用，这使得它们的运动方程变为
mn?xn（t） = GN Xm6=n
mnmm
xm（t） ? xn（t）
jxm（t） ? xn（t）j3 ；（1.2）
其中，GN 为牛顿万有引力常数
GN ? 6:67259（85） ￡ 10?8cm3=（g ￠ s2）: （1.3）
1.1 牛顿力学的伽利略不变性
以上提到的绝对时空的参数化方案并不是唯一的，坐标的选择其实有很大的
自由.
1.1.1 平移
坐标值x 总可以通过下面给出的坐标平移而加以改变
x0 = x ? x0: （1.4）
很明显，平移后的轨迹x0n（t） = xn（t） ? x0 同样满足运动方程（1.2）. 对于时间平移
t0 = t ? t0；（1.5）
这些方程同样是正确的，亦即，轨迹
x0（t） ′ x（t + t0） （1.6）
满足方程（1.2）. 牛顿方程（1.2） 的这种性质被称作时空中的平移对称性.
另一种对此不变性的等价的阐述则是保持坐标系不动，同时将物理系统在时空
中做一个整体的移置，将所有的粒子移动到新的位置x0 = x+x0 和时间t0 = t+t0.
在这种情况下，运动方程同样不变. 以上两种对同一物理体系的再参数化方案是等
价的，第一种称为被动对称变换，第二种称为主动对称变换. 可以任选一个对体系
的对称性进行讨论. 本书中，我们将根据实际情况选用主动式或者被动式变换进行
讨论.
1.1.2 转动
对于更多的将不同方向坐标值进行线形组合的变换，运动方程同样是不变的.
例如，对于转动：
x0i = Ri
jxj ；（1.7）
其中，Ri
j 是转动矩阵
Ri
j = cos μ ±ij + （1 ? cos μ） ^μi ^μj + sin μ 2ijk ^μk ；（1.8）
其中，^μi 表示转轴的单位方向矢量. 此矩阵满足正交关系
RTR = 1: （1.9）
在方程（1.7） 中，重复指标j 意味着从1 到3 的求和，这就是所说的爱因斯坦求和
约定，本书中将全部采用此种约定. 对于变换而言，转动同样可用于被动情形和主
动情形.
主动式转动可通过改变μ 的正负号从上面所讲的被动情形得到. 例如，绕z 轴
的具有转动矢量^' = （0；0；1） 的主动式转动可由如下正交矩阵给出：
R3（'） =0BB@
cos ' ?sin ' 0
sin ' cos ' 0
0 0 1
1CCA
: （1.10）
1.1.3 伽利略推进
下面一组更进一步的变换
x0i =xi ? vit；（1.11）
t0 =t （1.12）
则会将空间坐标和时间坐标混合在一起. 这称为纯伽利略变换或伽利略推进（Galilei
boost）. 坐标值x0i 和t0 是从以速度v ′ （v1；v2；v3） 匀速穿过绝对时空的参考系中
观察到的粒子所处的位置和时间. 在主动性描述中，变换x0i = xi + vit 确定了以
速度v 匀速掠过观察者的物理系统的坐标值.
1.1.4 伽利略群
将所有的这些变换结合起来
x0i =Ri
jxj ? vit ? xi
0；（1.13）
t0 =t ? t0；（1.14）
就构成了群. 群乘积可由接连执行相应变换来定义. 这样定义的乘积律很显然是具
有结合性的，并且每个群元素都有一个逆元. 这组变换式（1.13） 和式（1.14） 称作
伽利略群.
所有在其中粒子的运动方程取式（1.2） 简单形式的坐标系，牛顿称之为惯
性系.
1.2 麦克斯韦方程的洛伦兹不变性
当麦克斯韦（1831?1879） 在1864 年创立了他的电磁场理论后，牛顿理论就出
现问题了. 麦克斯韦关于真空中电场E（x） 和磁通密度或磁感应强度B（x） 的方程
r￠ E = 0 （库仑定律）；（1.15）
r￡ B ?
1
c
@E
@t
= 0 （安培定律）；（1.16）
r￠ B = 0 （磁单极不存在）；（1.17）
r￡ E +
1
c
@B
@t
= 0 （法拉第定律）；（1.18）
可以进一步组合而得到二阶微分方程
μ1
c2 @2
t ?r2?E （x；t）=0；（1.19）
μ1
c2 @2
t ?r2?B（x；t）=0: （1.20）
这组方程中很明确地包含了光速
c ′ 299 792 458m=s；（1.21）
并且这组方程在伽利略群（1.14） 的作用下并非不变. 事实上，这是与牛顿的绝对时
空存在的假设相矛盾的. 如果光以速度c 在绝对时空中传播，则它在其他相对于绝
对时空以非零速度运动的惯性系中必不会如此. 因此，对光速的一个精确的测量就
应该可以挑选出那个绝对的时空. 然而，所有的这方面的实验尝试均告失败. 迈克
耳孙（1852?1931） 和莫雷（1838?1923） 在1887 年所进行的实验显示，在§5 km/s
的误差范围内，光沿着平行和垂直于地球运动轨道方向传播的速度是相同的[1, 2].
这导致Fitzgerald （1851?1901）[3]、洛伦兹（1855?1928）[4]、庞加莱（1854?1912）[5]
以及爱因斯坦（1879?1955）[6] 等设想并认为牛顿关于绝对时空的假设是非物
理的[7].
1.2.1 洛伦兹推进
上述矛盾可以通过对伽利略变换式（1.11） 和式（1.12） 进行修正以使麦克斯韦
方程在其下也保持不变来解决. 这可由如下坐标变换来实现：
x0i =xi + （° ? 1）vivj
v2 xj ? °vit；（1.22）
t0 =°t ?
1
c2 °vixi；（1.23）
其中，° 是一个依赖于速度的参量
° =
1
p1 ? v2=c2
: （1.24）
变换式（1.22） 与式（1.23） 被称为纯洛伦兹变换或洛伦兹推进（Lorentz boost）. 参
数° 具有这样的效应：在以不同速度运动的参考系内，时间的流逝是不同的. 这对
于保持光速在所有参考系中均相等是十分必要的.
将纯洛伦兹变换用四维矢量表示法写出来会比较方便. 引入4-矢量xa（指标a
取值0；1；2；3），
xa =0BBBB@
ct
x1
x2
x3
1CCCCA；
（
1
.
2
5
）
我们可将式（1.22） 和式（1.23） 重新写为如下形式：
x0a = ¤a
bxb；（1.26）
其中，¤a
b 是如下4 ￡ 4- 矩阵：
¤a
b ′0@
° ?°vi=c
?°vi=c ±ij + （° ? 1）vivj=v21A : （1.27）
注意，对于重复指标a；b；c；… = 0；… ；3，我们依然采用了爱因斯坦求和约定. 这
个矩阵¤a
b 满足赝正交关系[请对照式（1.9）]
¤T
a
c gcd ¤d
b = gab；（1.28）
其中，gab 是闵可夫斯基度规
gab =0BBBB@
1
?1
?1
?1
1CCCCA
: （1.29）
由方程（1.28） 可以给出这样的结果，即由闵可夫斯基度规定义的两个4-矢量
xa 和ya 的标量积
xy ′ xagabyb （1.30）
在洛伦兹变换下是不变的.
为了验证方程（1.28） 这一关系，我们引入一个被称作快度（rapidity） 的无量纲
矢量3，它指向速度v 的方向并且具有由下式决定的长度3 ′ j3j：
cosh 3 = °；sinh 3 = °v=c: （1.31）
我们同时定义三维空间的单位矢量
^3 ′ 3=3 = ^v ′ v=v；（1.32）
于是
3 = 3 ^3 = arctanhv
c
^v
: （1.33）
这样一来，洛伦兹变换式（1.27） 的矩阵¤a
b 就取如下形式：
¤a
b = Ba
b（3） ′
0BBBBB@
cosh 3 ?sinh 3 ^31 ? sinh 3 ^32 ? sinh 3 ^33
?sinh 3 ^31
? sinh 3 ^32 ±ij + （cosh 3 ? 1） ^3i ^3j
?sinh 3 ^33
1CCCCCA
: （1.34）
符号Ba
b（3） 强调此变换为推进. 赝正交性质（1.28） 可由恒等式^32 = 1 和cosh2 3 ?
sinh2 3 = 1 直接导出.
对于物理系统的主动式变换，上述变换需要倒转过来. 例如，对于具有指向
z- 方向的快度3 = 3（0；0；1） 的主动式推进，它的赝正交矩阵为
¤a
b = B3（3） =0BBBB@
cosh 3 0 0 sinh 3
0 1 0 0
0 0 1 0
sinh 3 0 0 cosh 3
1CCCCA
: （1.35）
1.2.2 洛伦兹群
式（1.34） 中的洛伦兹推进可通过转动扩展并构成洛伦兹群. 在4 ￡ 4 - 矩阵表
示中，转动矩阵（1.8） 具有如下分块形式：
¤a
b（R） = Ra
b ′
0BBBB@
1 0 0 0
0
0 Ri
j
0
1CCCCA
: （1.36）
很容易验证这些矩阵满足关系式（1.28），这里它变成了正交关系式（1.9）.
对于绕z 轴并具有转动矢量^' = （0；0；1） 的主动式转动（1.10），其四维形式由
如下正交矩阵给出：
¤b
a = R3（'） =0BBBB@
1 0 0 0
0 cos ' ?sin ' 0
0 sin ' cos ' 0
0 0 0 1
1CCCCA
: （1.37）
转动矩阵（1.37） 和推进矩阵（1.35） 的区别主要在于用三角函数取代了双曲函
数. 同时，当考虑到度规（1.29） 中的时间和空间部分取相反正负号，换位后会有一
个正负号的转换.
当把所有可能的洛伦兹推进和转动依次结合的组合集合起来，就形成了一个
群，称作洛伦兹群.
1.3 无穷小洛伦兹变换
连续群――转动群和洛伦兹群――的变换规律可以十分方便地用无穷小变
换形式写出. 通过将许多无穷小变换依次组合起来的方式，我们总是可以从其中重