第2版前言
高等数学（微积分）是学习如何解决问题的一门课程.尽管有些人可能在工作之后再也用不到微积分，但是他们仍然可以从微积分的学习中受益，因为学习微积分的好处不仅体现在专业上，而且还体现在智力上.我们编写本书的目的正是期望读者能够更顺利地完成微积分的学习.本书延续了第1版逻辑简约，语言科学、平易的优点，取国内外众多优秀教材之长，秉承透彻研究、简单呈现的原则，对微积分的内容及叙述方式做了进一步的梳理. 本次修订的最大变化是增加了网络支持功能，这是传统教材与现代化教育手段有机结合的一次尝试.网络（手机）视频、音频或文本支持重点知识讲解、图形演示、习题答案或提示、扩展阅读、讨论等，实现移动学习的功能，并将不断升级、扩展和完善.本次修订得到了众多支持与帮助.感谢吴斌副校长、郭福处长.感谢黄秋梅、邢秀侠、韩敏、彭娟、张真宁、杨蓉老师及大数数学教育教学研究中心的所有同事.北京服装学院谢伟献、董庆华、刘蓉、侯志萍老师提出了习题分级及其他有益的建议，并完成了习题分级工作，在此表示感谢. 对关心并支持我们的朋友和出版社的朋友们一并表示感谢！
由于编者水平所限，对书中不妥之处，敬请广大读者批评指正.编者2016年春于北京工业大学高等数学教程上册第2版前言第1版前言高等数学（微积分）是大学各工科专业最重要的公共基础课程，具有周期长、课时多、内容多、难点多等特点.一套好的教材应该用科学、平易的语言阐明微积分的主要内容，并且应该易教易学.为了实现这一目标，我们长期致力于高等数学教材的建设工作，先后有范周田、张汉林、平艳茹、杨晓华、丁津、唐兢、王术、田鑫、张方、李贵斌、胡京兴、徐大川等十余位教师参与其中.在教材的写作过程中，我们有幸得到了林群院士的指导.林群院士指出：“擒贼先擒王，无穷小就是微积分的王.抓住了无穷小就可以学会微积分.”同时，我们学习了张景中院士的教育数学理论，即要“通过对数学本身的研究来化解数学的难点”，知识的结构与表达要做到“逻辑结构尽可能简单，概念引入要平易直观，要建立有力而通用的解题工具”.《高等数学教程》的写作充分借鉴了这些思想和理论.《高等数学教程》具有以下特点：
1化解障碍，平易衔接.极限理论是微积分理论的重要基础，也是微积分入门的主要障碍.我们首先从自变量的变化趋势出发，直观地介绍了三个基本的无穷小，然后用极限的εδ定义证明了无穷小的比较定理.以此为基础，我们从正面诠释极限理论，避开了极限定义中“颠倒因果关系”造成的学习困难.这样既能表达极限εδ语言的意境和作用，又和初学者已有的知识水平和思维习惯相适应，在一定程度上降低了极限理论的学习难度.2重点突出，难点分散.例如，中值定理是导数应用的理论基础，也是一元微积分教学的重点和难点，我们从便于学习者加深理解并掌握的角度对其进行了重新设计.每一节都只有一个重点或难点，从定理证明、思想方法、应用等多侧面由易到难进行介绍.3对重点概念或定理的表述更加科学，更加平易直观.例如，函数、不定积分和曲率等概念的表述，以及复合函数的导数公式、积分换元法、牛顿莱布尼兹公式的证明等.4突出数学的思想方法，用数学思想解决实际问题.例如，教材中借助求解常微分方程过程中经常使用的变量替换的思想，简化了二阶常系数线性微分方程的求解过程.又如，对坐标的曲面积分是为解决物理中的场论问题产生的，我们从物理问题出发建立对坐标的曲面积分的概念，并从概念中产生了计算方法.《高等数学教程》整套教材的写作得到了韩云瑞教授、李心灿教授、郭镜明教授等多位专家的热心支持与无私帮助，其中韩云瑞教授认真审阅了本书的全部书稿，李心灿教授审阅了部分书稿，并提出了许多宝贵意见.专家们广博深厚的知识、严谨治学的风范以及乐于助人的美德深刻地影响了我们.正是在他们的帮助和鼓励下本书才得以顺利完成，在此向他们表示崇高的敬意！
在《高等数学教程》成书之际，诚挚感谢林群院士和张景中院士！
感谢我校蒋毅坚副校长、教务处及数理学院的相关领导们长期以来对我们的关心和支持！
对我们的同事，关心并支持我们的朋友和出版社的朋友们一并表示感谢！
由于编者水平和时间所限，书中难免有不妥之处，敬请广大读者批评指正.编者
序本书是北京工业大学数理学院的范周田、张汉林等教师经过数年总结探索，结合自身教学实践而编写出来的公共数学教材，在概念和方法上都很有创新.高等数学几乎是所有大学生的必上之课，恐怕也是最重要的一门基础课了.现在的高等数学教材种类繁多，内容大同小异，那么选什么教材就变得尤为关键，而本书确实是一本内容翔实，易教易学的高等数学教材.本书从无到有，由浅入深，抓住了微积分的牛鼻子，从无穷小入手，进而引入极限的一般概念，循序渐进地将学生引入微积分的殿堂.书中有很多评注和要点总结，这是学生最希望看到的.值得一提的是，在第2章中引入无穷小时，书中话语通俗易懂、平易直观，摆脱了以往教材生硬、古板、上来就是εδ语言的讲法，而是一语中的，抓住了“无穷小”的本质.生动之后又将其数学化，老师易教，学生也易学.将复杂的内容，抓住实质讲得明白，使学生觉得自然亲切，真正是以一个例子说清了最不易说清楚而又不得不说的无穷小问题.微积分的教学改革既举足轻重，又颇具难度.本书对微积分的教学改革是一个很大的推动.应该说，微积分的教学改革是一场攻坚战，我们仍需努力，将它进行到底！
中国科学院院士林群
序
第2版前言
第1版前言
第7章常微分方程
71常微分方程的基本概念
习题71
72一阶微分方程
721可分离变量的微分方程
722齐次微分方程
723一阶线性微分方程
*724伯努利方程
习题72
73可降阶的高阶微分方程
731y（n）=f(x)型的微分方程
732y″=f(x,y′)型的微分方程
733y″=f(y,y′)型的微分方程
习题73
74高阶线性微分方程
741函数的线性相关与线性无关
742线性微分方程解的结构
*743线性微分方程解的存在唯一性
习题74
75常系数齐次线性微分方程
751二阶常系数齐次线性微分方程
752n阶常系数齐次线性微分方程
习题75
76常系数非齐次线性微分方程
761二阶常系数非齐次线性微分方程
*762欧拉方程
习题76
综合习题7
第8章无穷级数
81常数项级数的概念和性质
811常数项级数的概念
812收敛级数的基本性质
习题81
82常数项级数的审敛法
821级数收敛的必要条件
822正项级数及其审敛法
823交错级数
824绝对收敛与条件收敛
习题82
83幂级数
831函数项级数的概念
832幂级数及其收敛性
833幂级数的性质及幂级数的和函数
习题83
84泰勒级数
841泰勒级数的概念
842函数展开为幂级数
843幂级数的应用
习题84
85傅里叶级数
851三角函数系
852周期为2π的函数的傅里叶级数
853函数在［-π,π］上的傅里叶级数
854函数在［0,π］上的正弦级数或余弦级数
855周期为2l的函数的傅里叶级数
*856傅里叶级数的复数形式
习题85
综合习题8
第9章空间解析几何与向量代数
91空间向量及其运算
习题91
92空间平面和直线方程
921空间平面方程
922空间直线方程
习题92
93空间曲面和曲线
习题93
第10章多元函数微分学及其应用
101多元函数的极限与连续
1011n维空间
1012多元函数的极限
1013多元函数的连续性
习题101
102偏导数
1021偏导数的概念及其计算
1022偏导数的几何意义
1023高阶偏导数
习题102
103全微分及其应用
习题103
104多元复合函数的求导法则
习题104
105隐函数及其求导法
习题105
106多元微分在几何上的应用
1061空间曲线的切线与法平面
1062空间曲面的切平面与法线
习题106
107多元函数的极值
1071无条件极值
1072条件极值拉格朗日乘数法
习题107
108方向导数与梯度
1081方向导数
1082梯度
习题108
综合习题10
第11章重积分
111二重积分的概念与性质
1111二重积分的概念
1112二重积分的性质
习题111
112二重积分的计算
1121直角坐标系下二重积分的计算
1122极坐标系下二重积分的计算
1123对称性与二重积分
*1124二重积分的变量替换
习题112
113三重积分
1131三重积分的概念
1132空间直角坐标系下三重积分的计算
*1133利用球坐标系计算三重积分
习题113
114重积分的应用
1141几何应用
1142物理应用
习题114
综合习题11
第12章曲线积分与曲面积分
121第一型曲线积分
1211第一型曲线积分的概念和性质
1212第一型曲线积分的计算
习题121
122第二型曲线积分
1221第二型曲线积分的概念与性质
1222第二型曲线积分的计算
1223两类曲线积分的关系
习题122
123格林公式及其应用
1231格林公式
1232平面上的曲线积分与路径无关的条件
1233全微分方程
习题123
124第一型曲面积分
1241第一型曲面积分的概念与性质
1242第一型曲面积分的计算
习题124
125第二型曲面积分
1251双侧曲面及其法向量
1252第二型曲面积分的概念
习题125
126高斯公式通量与散度
1261高斯公式
1262通量与散度
习题126
127斯托克斯公式环流量与旋度
1271斯托克斯公式
1272环流量与旋度
习题127
综合习题12
附录研究与参考
1关于常微分方程的注记
2关于多元函数极值的充分条件
参考文献
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