《普通高等教育“十二五”规划教材：大学数学（文科类）（下册）》是高等学校文科（包括经管类）各专业的数学教材，分上、下两册，上册含一元函数的微积分和线性代数部分，内容包括初等函数、极限与连续、变化率与导数、积分、线性代数初步、矩阵与线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型.下册含多元函数的微积分、常微分方程和概率统计部分，内容包括多元函数的微分、二重积分、无穷级数、常微分方程、随机事件的概率、随机变量及其概率分布、数理统计初步，各章均配有适当、适量的习题供读者学习巩固。
《普通高等教育“十二五”规划教材：大学数学（文科类）（下册）》既可作为高等学校文科（包括经管类）各专业大学数学课程的教材，也可作为相关专业的教学参考书和自学用书。
大学数学（文科类）（下册）是高等学校文科（包括经管类）各专业的数学教材，分上、下两册。上册含一元函数的微积分和线 性代数部分，内容包括初等函数、极限与连续、变化率与导数、积分、线性代数初步、矩阵与线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型。下册含多元函数的微积分、常微分方程和概率统计部分，内容包括多元函数的微分、二重积分、无穷级数、常微分方程、随机事件的概率、随机变量及其概率分布、数理统计初步。各章均配有适当、适量的习题供读者学习巩固。
大学数学（文科类）（下册）既可作为高等学校文科（包括经管类）各专业大学数学课程的教材，也可作为相关专业的教学参考书和自学用书。
连续思想篇（二）——多元函数微积分
第1章 多元函数的微分
1.1 空间解析几何简介
1.1.1 空间直角坐标系
1.1.2 空间任意两点间的距离
1.1.3 曲面与方程
1.2 多元函数的概念
1.3 二元函数的极限与连续
1.3.1 二元函数的极限
1.3.2 二元函数的连续性
1.4 偏导数的概念与计算
1.5 全微分
1.6 多元复合函数与隐函数的求导法则
1.6.1 复合函数的求导法则
1.6.2 全微分形式不变性
1.6.3 隐函数的求导法
1.7 多元函数的极值与数学模型
1.7.1 多元函数的极值
1.7.2 多元函数的最值
1.7.3 条件极值
1.7.4 数学模型
数学重要历史人物——拉格朗日
习题1
第2章 二重积分
2.1 二重积分的概念与性质
2.1.1 二重积分的概念
2.1.2 二重积分的性质
2.2 二重积分的计算
2.2.1 直角坐标系下二重积分的计算
2.2.2 极坐标系下二熏积分的计算
2.3 二重积分的应用
数学重要历史人物——牛顿
习题2
第3章 无穷级数
3.1 常数项级数的概念和性质
3.1.1 常数项级数的概念
3.1.2 收敛级数的基本性质
3.2 常数项级数的审敛法
3.2.1 正项级数及其审敛法
3.2.2 任意项级数及其审敛法
3.3 幂级数
3.3.1 函数项级数的概念
3.3.2 幂级数及其收敛区间
3.3.3 幂级数的运算
3.4 泰勒级数
3.4.1 泰勒级数的概念
3.4.2 函数展开成幂级数
3.5 级数的应用及数学模型
数学重要历史人物——傅里叶
习题3
第4章 常微分方程
4.1 微分方程的概念
4.2 一阶微分方程
4.2.1 可分离变量的微分方程
4.2.2 一阶线性微分方程
4.3 可降阶的二阶微分方程
……
随机思想篇
在自然科学和工程技术中经常会遇到多于一个自变量的函数, 这种函数称为多元函
数. 多元函数的微分学是一元函数微分学的推广, 它们有着许多类似之处, 但又有较大
的区别. 从一元函数到二元函数会产生许多新的问题, 但由二元函数到三元函数或更多
元函数是很自然的. 因此本章着重讨论二元函数的微分学. 作为二元函数微分学的预备
知识, 先简单介绍空间解析几何的内容.
1.1 空间解析几何简介
1.1.1 空间直角坐标系
平面解析几何中, 建立了平面直角坐标系, 并利用平面直角坐标系建立了平面上的
点与二元有序数组(即坐标) 之间的一一对应关系. 同样, 为了把空间任一点与有序数组
对应起来, 我们来建立空间直角坐标系.
过空间一定点O, 作三条相互垂直的数轴：x 轴, y
轴, z 轴, 统称为坐标轴. 它们的次序和方向一般按右
手法则规定, 即用右手握住z 轴, 四指从x 轴的正向旋
转90± 到y 轴正向时, 拇指的指向就是z 轴的正向. 不
加特别说明, 一般三条坐标轴的长度单位都相同. 这样,
得到空间直角坐标系, 一般称为右手系, 如图1.1 所示.
定点O 称为坐标原点, 由两条坐标轴确定的平面
称为坐标平面. 例如, 由x 轴和y 轴确定的坐标面称为图1.1
xOy 坐标面, y 轴和z 轴确定的坐标面称为yOz 坐标面, z 轴和x 轴确定的坐标面称为
zOx 坐标面. 如图1.2 所示, 通常将xOy 坐标面配置在水平面上. 三个坐标平面把空间
分成8 个部分, 每一部分称为一个卦限. 含有三个坐标轴正向的卦限称为第Ⅰ卦限, 在
xOy 平面上方由第一卦限依逆时针方向依次为Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ卦限. 在xOy 平面下方与第Ⅰ
卦限相对的为第Ⅴ卦限, 依逆时针方向依次为Ⅵ, Ⅶ, Ⅷ卦限, 如图1.3 所示.
给定空间任一点M, 过M 分别作x 轴, y 轴和z 轴的垂面, 分别交x 轴, y 轴, z
轴于点P; Q;R, 设P; Q;R 三点在三条坐标轴上的坐标依次为x; y; z, 则称点M 确定了
一个三元有序数组(x; y; z); 反之, 对任意一个三元有序数组(x; y; z), 在x 轴, y 轴和z
轴上分别取坐标为x; y; z 的三点P; Q;R, 然后过P; Q;R 分别作垂直于x 轴, y 轴和z
轴的平面, 这三个平面交于一点M, 则由三元有序数组(x; y; z) 唯一地确定了空间一点
M. 这样, 在空间建立了坐标系之后, 空间任一点M 与三元有序数组之间建立了一一对
应关系(图1.2), 称这个三元有序数组为点M 的坐标, 记为M(x; y; z).
坐标原点的坐标为O(0; 0; 0); x 轴, y 轴和z 轴上点的坐标分别为(x; 0; 0); (0; y; 0) 和
(0; 0; z) 的形式; xOy 坐标面, yOz 坐标面和zOx 坐标面上点的坐标分别为(x; y; 0); (0; y; z)
和(x; 0; z) 的形式.
1.1.2 空间任意两点间的距离
设M1(x1; y1; z1),M2(x2; y2; z2) 是空间任意两点, 过M1 和M2 分别作垂直于三个
坐标轴的平面得六个平面, 这六个平面围成一个以M1M2 为对角线的长方体, 如图1.4
所示.
jM1M2j2 = jM1Nj2 + jNM2j2 ;
又
jM1Nj2 = jM1Pj2 + jPNj2 ;
于是,
jM1M2j2 = jM1Pj2 + jPNj2 + jNM2j2 :
又
jM1Pj=jP1P2j=jx2 ? x1j ; jPNj=jQ1Q2j=jy2 ? y1j ; jNM2j=jR1R2j=jz2 ? z1j ;
因此
jM1M2j = p(x2 ? x1)2 + (y2 ? y1)2 + (z2 ? z1)2: (1:1)
这就是空间两点间的距离公式.
特殊地, 点M(x; y; z) 与坐标原点O(0; 0; 0) 的距离为
d = jOMj = px2 + y2 + z2:
1.1.3 曲面与方程
1. 曲面方程的概念
在日常生活中, 经常会遇到各种曲面, 如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等.
在平面解析几何中, 把平面曲线看成是动点的运动轨迹. 同样, 在空间解析几何中,
也把曲面看成是动点的运动轨迹.
设曲面S 与方程
F(x; y; z) = 0 (1:2)
有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程(1.2);
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(1.2),
那么方程(1.2) 就称为曲面S 的方程, 曲面S 称为方程(1.2) 的图形(图1.5).
下面建立几个常见曲面的方程.
例1.1 建立球心在点M0(x0; y0; z0)、半径为R 的球面的方程(图1.6).
解设M(x; y; z) 是球面上的任一点, 则有jM0Mj = R. 由于
jM0Mj = p(x ? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2;
所以
p(x ? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2 = R;
即
(x ? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2 = R2: (1:3)
这就是球面上任一点的坐标所满足的方程, 而不在球面上的点都不满足方程(1.3), 因此
方程(1.3) 就是以点M0(x0; y0; z0) 为球心、R 为半径的球面的方程.
如果球心在坐标原点, 则球面方程为
x2 + y2 + z2 = R2: (1:4)
例1.2 设有点A(1; 2; 3) 和B(2;?1; 4), 求线段AB 的垂直平分面的方程.
解由题意知道, 所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹. 设M(x; y; z)
为所求平面上的任一点, 根据题意, 有
jAMj = jBMj ;
即
p(x ? 1)2 + (y ? 2)2 + (z ? 3)2 = p(x ? 2)2 + (y + 1)2 + (z ? 4)2;
两边平方, 并化简得
2x ? 6y + 2z ? 7 = 0:
这就是所求平面上点的坐标所满足的方程. 不在此平面上的点的坐标都不满足这个方
程, 所以该方程就是所求平面的方程.
例1.3 求三个坐标面的方程.
解xOy 面上任何一点的坐标均为(x; y; 0) 的形式, 即任何一点的z 坐标都为0;
反过来, 满足z = 0 的点也必然在xOy 面上. 因此xOy 面的方程为z = 0.
类似地, yOz 面和zOx 面的方程分别为x = 0 和y = 0.
例1.4 研究方程z = c (c 为常数) 的图形.
解方程z = c 中不含x; y, 即对于z = c 所表示
图形上的任意一点, 其坐标都为(x; y; c) 的形式, z = c
表示的图形可以看成是由xOy 面向上(c > 0) 或向下
(c < 0) 平移jcj 个单位得到, 如图1.7 所示.
例1.2, 例1.3 和例1.4 所研究的方程都是一次方
程, 所考察的图形都是平面. 可以证明任何一个三元一
次方程
Ax + By + Cz + D = 0
图1.7
(A;B;C;D 均为常数, 且A;B;C 不全为0) 的图形都是一张平面; 反之, 任何一张平面
的方程都是三元一次方程.
2. 柱面
平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面S 称为柱面(图1.8). 定
曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.
例如, 方程x2 +y2 = R2 表示的图形是以xOy 面上的圆周x2 +y2 = R2 为准线, 母
线平行于z 轴的柱面, 称为圆柱面, 如图1.9 所示.
一般地, F(x; y) = 0 表示以xOy 面上的曲线F(x; y) = 0 为准线, 母线平行于z 轴
的柱面, 如图1.8 所示. H(y; z) = 0 表示以yOz 面上的曲线H(y; z) = 0 为准线, 母线平
行于x 轴的柱面. G(z; x) = 0 表示以zOx 面上的曲线G(z; x) = 0 为准线, 母线平行于
y 轴的柱面.
3. 旋转曲面
以一条平面曲线C 绕其平面上的一条直线L 旋转一周所成的曲面S 称为旋转曲
面. 平面曲线C 称为曲面S 的母线, 定直线L 称为曲面S 的轴, 如图1.10 所示.
可以求得, yOz 坐标面上的曲线C : f(y; z) = 0 绕z 轴旋转一周所得到的旋转曲面
S 的方程为
f(§px2 + y2; z) = 0:
曲线C 绕y 轴旋转一周所得到的旋转曲面S 的方程为
f(y; §px2 + z2) = 0:
其他类似.
例如, 圆锥面就是一旋转曲面. 它是一条直线L 绕另一条与之相交的直线旋转一周
所得. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角? 30 < ? <
2 ′ 称为圆锥面的半
顶角.
例1.5 试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z 轴, 半顶角为? 的圆锥面的方程.
解如图1.11 所示, 直线L 的方程为z = y cot ?. 将L 绕z 轴旋转一周所成的曲
面方程为
z = §px2 + y2 cot ?:
令a = cot ?, 于是得到圆锥面的方程
z2 = a2(x2 + y2):
常见的二次曲面还有椭球面
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1 (图1.12); 椭圆抛物面
x2
a2 + y2
b2 = z
(图1.13) 等. 一般地, 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
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