《概率论与数理统计》是普通高等院校非数学专业“概率论与数理统计”基础课教材。全书共9章，主要内容包括：随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、概率统计在经济中的应用。《概率论与数理统计》每节配有习题，每章末（第9章除外）均有本章小结并配有相应的自测题，书后附有参考答案。
    《概率论与数理统计》可供高等院校工科、经济、管理、金融、旅游等专业的学生使用，也可作为工程技术人员、自然科学工作者和社会科学工作者的自学用书。

陈文英、吴志丹、王艳芳、王涛、丁巍、张洪阳、耿莹、杨淑辉、王亚男

前言
绪论
第1章 随机事件与概率
1.1 随机事件和样本空间
1.1.1 随机现象和随机试验
1.1.2 样本空间与随机事件
1.2 事件间的关系与运算
1.2.1 事件间的关系与运算
1.2.2 事件的运算性质
1.3 随机事件的概率
1.3.1 概率的公理化定义
1.3.2 概率的性质
1.3.3 概率的三种计算方法
1.4 条件概率与乘法公式
1.4.1 条件概率
1.4.2 乘法公式
1.5 全概率公式与贝叶斯公式
1.6 事件的独立性与伯努利概型
1.6.1 事件的独立性
1.6.2 伯努利概型
本章小结
自测题1
第2章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
2.2 离散型随机变量及其概率分布
2.2.1 离散型随机变量及其分布律
2.2.2 几种常见的离散型随机变量及其分布律
2.3 随机变量的分布函数
2.4 连续型随机变量及其概率密度
2.4.1 连续型随机变量的定义
2.4.2 几个重要的连续型随机变量及其密度函数
2.5 随机变量函数的分布
2.5.1 离散型随机变量函数的分布
2.5.2 连续型随机变量函数的分布
本章小结
自测题2
第3章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量及其分布函数
3.1.1 二维随机变量
3.1.2 联合分布函数
3.1.3 边缘分布函数
3.2 二维离散型随机变量
3.3 二维连续型随机变量
3.3.1 二维连续型随机变量的联合分布与边缘分布
3.3.2 常见的二维连续型随机变量
3.4 条件分布
3.4.1 二维离散型随机变量的条件分布
3.4.2 二维连续型随机变量的条件分布
3.5 随机变量的独立性
3.5.1 二维离散型随机变量的独立性
3.5.2 二维连续型随机变量的独立性
3.6 两个随机变量函数的分布
3.6.1 二维离散型随机变量函数的分布
3.6.2 二维连续型随机变量函数的分布
本章小结
自测题3
第4章 数字特征
4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望
4.1.2 连续型随机变量的数学期望
4.1.3 随机变量函数的数学期望
4.1.4 数学期望的性质
4.2 方差
4.2.1 方差的定义及其计算公式
4.2.2 方差的性质
4.2.3 切比雪夫不等式
4.3 常见分布的数学期望和方差
4.3.1 两点分布
4.3.2 二项分布
4.3.3 泊松分布
4.3.4 均匀分布
4.3.5 指数分布
4.3.6 正态分布
4.4 协方差与相关系数
4.4.1 协方差的定义与性质
4.4.2 相关系数的定义与性质
4.4.3 独立和不相关的关系
4.4.4 矩
4.4.5 协方差阵
本章小结
自测题4
第5章 大数定律与中心极限定理
5.1 大数定律
5.1.1 依概率收敛的概念
5.1.2 大数定律的定义
5.1.3 几个重要的大数定律
5.2 中心极限定理
5.2.1 中心极限定理的客观背景
5.2.2 两个常用的中心极限定理
本章小结
自测题5
第6章 数理统计的基本概念
6.1 引言
6.1.1 数理统计的思想方法
6.1.2 数理统计的内容
6.2 总体与样本
6.2.1 总体及其分布
6.2.2 简单随机样本
6.3 统计量及其分布
6.3.1 统计量
6.3.2 三大统计分布
6.3.3 抽样分布定理
6.4 分位数
本章小结
自测题6
第7章 参数估计
7.1 点估计
7.1.1 点估计的概念
7.1.2 矩估计
7.1.3 极大似然估计
7.2 估计量的评选标准
7.2.1 无偏性
7.2.2 有效性
7.2.3 一致性
7.3 区间估计
7.3.1 置信区间的概念
7.3.2 置信区间的求法
7.4 正态总体均值的区间估计
7.4.1 单个正态总体均值μ的置信区间
7.4.2 两个正态总体均值差μ₁-μ₂的置信区间
7.5 正态总体方差的区间估计
7.5.1 单个正态总体方差σ₂的置信区间
7.5.2 两个正态总体方差比σ²₁/σ²₂的置信区间
7.6 单侧区间估计
本章小结
自测题7
第8章 假设检验
8.1 假设检验的基本概念
8.1.1 假设检验基本问题的提法
8.1.2 假设检验的基本思想
8.1.3 假设检验的步骤
8.1.4 假设检验的两类错误
8.2 正态总体均值的假设检验
8.2.1 单个正态总体均值μ的检验
8.2.2 两个正态总体均值μ₁;μ₂的检验
8.3 正态总体方差的假设检验
8.3.1 单个正态总体方差σ₂的检验
8.3.2 两个正态总体方差σ²₁,σ²₂的检验
8.4 单侧假设检验
8.4.1 正态总体均值的检验
8.4.2 正态总体方差的检验
8.5 假设检验与区间估计之间的关系
本章小结
自测题8
第9章 概率统计在经济中的应用
9.1 回归分析
9.1.1 回归模型和回归方程
9.1.2 参数β₀;β₁的最小二乘估计
9.1.3 预测问题
9.2 质量管理的统计方法
9.2.1 统计过程管理
9.2.2 控制图
9.3 统计决策简介
9.3.1 统计决策概述
9.3.2 期望值准则决策法
9.3.3 最大可能性决策法
9.3.4 决策树
9.3.5 贝叶斯决策法
参考答案
附录
附表1 泊松分布表
附表2 正态分布表
附表3 χ²分布上侧分位数表
附表4 t分布上侧分位数表
附表5 F分布上侧分位数表

第1 章随机事件与概率
“概率论与数理统计”是以数量化的方法来研究随机现象及其规律性的一门应用数学学科.20世纪以来,概率论向各个领域的渗透已成为近代科学技术发展的重要特征之一,并被广泛地应用到生产、生活的各个方面,其理论和方法正在为时代发展和社会建设发挥着不可替代的独特作用.
本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.其主要内容包括：随机事件和样本空间,事件间的关系与运算,概率的定义、性质及计算方法,条件概率与乘法公式,全概率公式与贝叶斯公式,事件的独立性与伯努利概型.
1.1 随机事件和样本空间
1.1.1 随机现象和随机试验
我们所指的试验是一个广义的概念,它可指对某个过程的记录、对一个问题的调查、各种科学实验等.
1. 随机现象
什么是随机现象？这可以用两个简单的试验来阐明：
试验1 一袋装有3 个外形完全相同的白球, 从中任取一球; 
试验2 一袋装有3 个外形完全相同但颜色不同的球, 从中任取一球. 
对于试验1,根据其条件,我们就能断定取出的必是白球.像这样在试验之前能断定结果的现象称为确定性现象.确定性现象非常广泛.例如,同种电荷互相排斥;标准大气压下,水加热到100.C会沸腾;边长为a,b的矩形,其面积必为ab.诸如此类都是确定性现象.? 
对于试验2,根据其条件,在球没有取出之前,不能断定取出的是哪种颜色的球.我们把在试验之前无法知道确切结果的现象称为随机现象.随机现象更是广泛地存在于客观世界之中.例如,抛一枚硬币,落地后可能出现正面,也可能出现反面;新生婴儿可能是男孩,也可能是女孩;将来某日某种股票的价格可能涨,可能跌,也可能价格不变.诸如此类都是随机现象.
2. 随机试验
试验常用大写字母E,E1,E2,表示.下面看几个试验的例子：
E1：掷一枚骰子,观察朝上出现的点数;
1.1 随机事件和样本空间5 
E2：先后抛两次硬币,观察正面与反面出现的情况;E3：记录一部热线电话在2分钟内接到电话的次数;E4：按户调查农村居民年购买食品、家电的支出.以上试验具有三个特点：
(1) 试验可以在相同条件下重复进行; 
(2) 每次试验的可能结果不唯一, 但能事先明确试验的所有可能结果; 
(3)试验前不能确定哪一个结果会发生.满足上述三个特点的试验称为随机试验.以后我们所说的试验均指随机试验.
1.1.2 样本空间与随机事件
1. 样本空间
为了研究随机试验E,首先需要知道E的一切可能出现的结果.我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记作Ω.其中每一个可能的结果称为样本点,记作ω.
例1写出1.1.1小节中随机试验E1,E2,E3,E4对应的样本空间Ω1,Ω2,Ω3,Ω4.解Ω1={1, 2, 3, 4, 5, 6}; Ω2 ={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)};
Ω3 = {0, 1, 2, ? ? ?}; Ω4 = {(x,y)|x.0,y.0} , 
其中Ω1,Ω2中样本点的个数为有限个,称为有限样本空间;Ω3,Ω4中样本点的个数为无限个,称为无限样本空间;又因为Ω3中的样本点可以按一定顺序排列,又称为可列样本空间.
2. 随机事件
进行随机试验时,人们常关心某一类结果是否发生.如调查农村每户居民年购买食品、家电的支出是否分别大于5000元和3000元,记A={(x,y)| x>5000,y>3000},显然A是Ω4的子集.一般地,样本空间Ω的任意子集称为随机事件,简称事件.事件一般用大写的字母A,B,C,A1,A2等表示.
随机事件发生是常用的一个术语,规定：随机事件A发生. 随机试验时A中的一个样本点出现.由一个样本点组成的单点集称为基本事件.样本空间Ω有两个特殊的子集：一
个是空集.,它不包含任何样本点,因此在每次试验中都不会发生,称为不可能事件;另一个是Ω本身,由于它包含了试验所有可能的结果,所以在每次试验中它总是会发生,称为必然事件.
例2在公路上随机抽查10辆汽车,考察其中公有车辆数,写出样本空间并将下列事件用列举法表示为集合的形式：
第1 章随机事件与概率
A = {没有公车},
B = {有1 辆或2 辆公车},
C = {公车不超过3 辆},
D = {公车多于2 辆}.

解Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, 
A = {0},B = {1, 2},
C = {0, 1, 2, 3},D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

注(1)对于一个随机试验而言,当试验的目的不同时,样本空间往往是不同的.如把篮球运动员投篮作为随机试验时,若以考察是否命中为目的,试验的样本空间Ω={中, 不中};若以考察投篮的得分情况为目的,试验的样本空间Ω={0, 1, 2, 3}, 所以我们应从试验的目的来确定样本空间. 
(2)必然事件和不可能事件本来没有随机性可言,但为了研究问题的需要,常把它们看成随机事件的极端情况.
习题1.1
1. 判断下列试验是否为随机试验：
(1)在一定条件下进行射击,观察是否击中靶上红心;
(2) 在恒力作用下一质点做匀速运动; 
(3)在4个同样的球(标号1,2,3,4)中,任取一只,观察所取球的标号.
2.有五件产品,其中有一件次品(记为a),四件正品(记为b1,b2,b3,b4).从中一次取出两件,观察结果.写出样本空间.
3.连续投三枚硬币,观察正面与反面出现的情况.写出样本空间及下列事件中的样本点：
A = {第一枚出现正面,第三枚出现反面B={第二枚出现反面}; }; C = {至少出现一个正面}. 
4. 写出下列随机试验的样本空间：
(1)将一枚骰子连投四次,观察点数出现是6的次数.
(2)丢甲、乙两枚骰子,观察出现点数之和.
(3)袋中有标号为1,2,3的三个球.
①随机取两次,一次一个,取后不放回,观察取到球的序号;
②随机取两次,一次一个,取后放回,观察取到球的序号;
③一次随机取两个,观察取到球的序号.
5. 写出下列随机试验的样本空间：
(1)记录一个小班(30人)一次概率考试的平均分数(以百分制记分);
(2)生产某产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数.
6. 写出下列随机试验中的随机事件：
(1)由1,2,3三个数组成没有重复数字的三位数;
(2)10个零件,其中有2件次品,随机的取5件.A={正品个数多于次品个数},B={正品个数不多于次品个数}.

1.2 事件间的关系与运算
事件是一个集合,事件间的关系和运算就是集合间的关系和运算,只是在概率论中从事件的角度给出了新的术语.
1.2.1 事件间的关系与运算
1. 事件的包含与相等
若事件A发生必然导致事件B发生,即A的每一个样本点都是B的样本点,则称事件A包含于事件B,或称事件B包含事件A,记作A. B 或者B . A.图1.1是其文氏图.
若A . B 且B . A,即A与B含有相同的样本点,则称事件A与事件B相等,记作A=B.
2.互斥事件(互不相容事件)
若事件A与事件
B 不能同时发生, 即A 
与B没有公共的样本点,则称事件A与事件B是互斥事件或互不相容事件.图1.2是其文氏图.互斥事件包含三种情形：①A发生B不发生;②B发生A不发生;③A与B都不发生.
图1.1图1.2
若事件A1,A2,,An中的任意两个事件都互斥,则称这些事件两两互斥.同一
??? 
样本空间中的基本事件是两两互斥的. 
3. 对立事件
“事件A不发生”这一事件称为事件A的对立事件,记作A.事件A的对立事件A 就是A的补集.图1.3是其文氏图.一个事件与它的对立事件中有且只有一个发生.对立事件一定是互不相容事件,互不相容事件不一定是对立事件.
第1 章随机事件与概率
4.事件的并(或和)
事件A 与B 
至少有一个发生,称为事件
A与B的并(或和),记作A∪ B(或A+B).事件A∪ B发生意味着要么事件A发生,要么事件B发生,要么事件A与B都发生.图1.4是其文氏图.
图1.3图1.4
事件的和可以推广到多个事件的情形.n个事件A1,A2,,An的和事件记作
??? 
nAi,它表示A1,A2,,An中至少有一个发生.
??? 
i=1
5.事件的交(或积)
事件A与B同时发生,称为事件A与B的交(或积)事件,记作A∩ B,也简记作AB.图1.5是其文氏图.n
类似于n个事件的和事件,n个事件A1,A2,,An的积记作.Ai,它表示
??? 
i=1A1,A2,,An同时发生
事件A发生B不发生,称为事件A与B
的差,记作A. B.图1.6是其文氏图.
图1.5图1.6
1.2.2 事件的运算性质
下面仅列出事件运算所满足的法则：
(1) 交换律A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A. 
(2)结合律(A∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);(A∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(3) 分配律A ∩ (B ∪ C)=(A∩ B) ∪ (A ∩ C);A∪ (B ∩ C)=(A∪ B) ∩ (A ∪ C).
(4) 对偶律A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B. 
对偶律也称德摩根律.上述运算律可以推广到有限个或可数个事件的情形.另外可以验证下列各式的正确性：
A ∪ .=A,A.=.,A∪ Ω=Ω,AΩ=A,
A ∪ A = Ω, AA =.,A=A,A. B = AB = A . AB, A ∪ B = B ∪ AB = A ∪ BA.

例1从一堆产品(正、次品数都多于2件)中任取2件,判断下列事件A,B是否互斥？是否对立?
(1)A={恰有一件次品},B={恰有两件次品}; 
(2)A={至少有一件次品},B={至少有一件正品}. 
解(1)因为A,B不能同时发生,所以事件A,B互斥,又因为A,B可能都不发生,所以事件A,B不对立;
(2)因为A,B可能同时发生,所以事件A,B不对立也不互斥.例2设A,B,C是同一试验中的三个事件,则
(1)事件“A发生,B,C不发生”可表示为ABCˉ; 
(2)事件“A,B,C恰有一个发生”可表示为ABC∪ ABC ∪ ABC; 
(3)事件“A,B,C至少有一个发生”可表示为A∪ B ∪ C; 
(4)事件“A,B,C至少有两个发生”可表示为ABC∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC; 
(5)事件“A,B,C至多有两个发生”可表示为ABC. 
习题1.2
1.指出下列命题哪些正确,哪些不正确：
(1) A ∪ B = AB ∪ B; (2) A = AB ∪ AB; (3) AB = A ∪ B; 
(4)(AB)(AB)=.;(5)若A. B, 则A = AB; (6) 若A . B, 则A ∪ B = A; 
(7) 若A . B, 则B . A;(8)若AB=.,则AB = .. 
2.甲、乙、丙三位射手向同一目标各射击一次.设A,B,C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A,B,C表示下列事件：
(1)甲与乙命中,丙未命中;
(2) 甲、乙、丙都命中; 
(3) 甲、乙、丙都未命中; 
(4) 甲、乙、丙未都命中; 
(5) 甲、乙、丙至少有两个命中; 
(6) 目标被命中. 
3.说出下列各对事件A与B之间的关系：
(1)A={ 2 次投篮全投中},B={2 次投篮恰有一次未投中}; 
(2)A={ 2 次投篮全投中},B={2 次投篮至少一次未投中};