医药高等数学学习辅导（第3版）是普通高等教育“十二五”规划教材、全国高等医药院校规划教材《医药高等数学》（第4版）的配套教材，也是医药高等数学学习辅导（第3版）的第3版。全书分10章，包括一元函数微积分、空间解析几何、多元函数微积分、微分方程与无穷级数。《医药高等数学》侧重于理论，医药高等数学学习辅导（第3版）侧重于理论知识的归纳总结、各类各层次习题的分析与解法，它有利于学生对高等数学的概念与理论的理解，有利于培养学生归纳总结、分析解决问题的能力，有利于学生对运算和方法的掌握，也有利于沟通教与学两个教学环节。
  医药高等数学学习辅导（第3版）可供高等医药院校各专业层次的学生使用。

  《医药高等数学学习辅导(第3版全国高等医药院校规划教材)》(作者杨松涛、钱微微)是《医药高等数学》(第4版)的配套教材，相应地也有10章。每章包括三大部分：一、内容提要与基本要求；二、习题解答(该章习题的解答过程)；三、增补习题解答(增补一些有代表性，有适当难度的习题)；书的最后编入一些院校有代表性的试卷。本辅导教材有利于学生对高等数学的概念与理论的理解，有利于对运算和方法的掌握，帮助学生在学好高等数学的同时培养自己分析解决问题的能力，也有利于教师的教学工作。

第3版编写说明
第一章 函数与极限
第二章 导数与微分
第三章 导数的应用
第四章 不定积分
第五章 定积分及其应用
第六章 空间解析几何
第七章 多元函数微分学
第八章 多元函数积分学
第九章 微分方程
第十章 无穷级数
医药高等数学试题及答案

一、内容提要与基本要求
本章介绍了函数的概念、性质与表示法；数列的极限、函数的极限；函数的增量；函数的连续性．函数是高等
数学中研究的主要对象，极限方法是高等数学的主要方法．极限是从量变认识质变，从近似认识精确，从有限认
识无限的一种数学方法．本章必须掌握下面几方面的内容：
1.正确理解函数的概念、性质，会求函数的定义域，能将复合函数分解为若干简单函数．
2.正确理解函数的极限，能用ε-δ定义刻画函数的极限，理解xl→imx0
f（ x）是否存在与f（ x） 在x0 是否有定义
无关，了解极限的一些性质．
3.熟练掌握极限运算法则，正确理解并熟练应用两个重要极限lxi→m0 sinx
x ＝ 1 ，xli→m∞ 1 + 1
x
x
＝ e ．
4.了解无穷小量、无穷大量，掌握函数的极限与无穷小量的关系．
5.正确理解函数y ＝ f（ x） 在x0 点处连续的概念，会判断函数的连续性与间断点，了解初等函数的连续
性，掌握闭区间上连续函数的性质．
二、习题一解答
1.判断下列各对函数是否相同，并说明理由：
（1） y ＝ x + 1 与y ＝ x2 - 1
x - 1 ；　　　　　　（2） y ＝ lnx2 与y ＝ 2lnx ；
（3） y ＝ f（ x） 与x ＝ f（ y） ； （4） y ＝ 1 + 1
x2 与y ＝ 1 + x2
x ；
（5） y ＝ 3 x4 - x3 与y ＝ x ? 3 x - 1 ； （6） y ＝ ax 与y ＝ ex?lna ．
解　（1） 不同． y ＝ x + 1 的定义域为（ - ∞ ，+ ∞ ） ， y ＝ x2 - 1
x - 1 的定义域为（- ∞ ，1） ∪ （1 ， + ∞ ） ．
（2） 不同． y ＝ lnx2 的定义域为（ - ∞ ，0） ∪ （0 ， + ∞ ） ， y ＝ 2lnx 的定义域为（0 ， + ∞ ） ．
（3） 相同．定义域和对应关系都相同．
（4） 不同．对应关系不同．
（5） 相同．定义域和对应关系都相同．
（6） 相同．定义域和对应关系都相同．
2.设f（ x） ＝ x
x + 1 ，求f 1
2 ， f 3
2 ， f 1
x ，［ f（ x）］2 ， f［ f（ x）］ ， f｛ f［ … f（ x）］｝
n个f
．
解　f 1
2 ＝ 1
3 ，　f 32
＝ 3
5 ，　f 1
x ＝ 1
x + 1 ，　［ f（ x）］2 ＝ x2
（ x + 1）2 ．
由于
f［ f（ x）］ ＝
x
x + 1
x
x + 1 + 1
＝ x
2 x + 1 ，
又
f｛ f［ f（ x）］｝ ＝
x
2 x + 1
x
2 x + 1 + 1
＝ x
3 x + 1 ，
假定对n ＝ k 均有
f｛ f［ … f（ x）］｝
k个f
＝ x
kx + 1 ，
对于n ＝ k + 1 ，
f｛ f［ … f（ x）］｝
k+ 1个f
＝
x
kx + 1
x
kx + 1 + 1
＝ x
（ k + 1） x + 1 ，
故对于所有的n ，均有
f｛ f［ … f（ x）］｝
n个f
＝ x
nx + 1 ．
3.设f（ x） ＝
1 - x2 ， - ∞ ＜ x ≤ 0 ，
- 2x ， 0 ＜ x ＜ + ∞ ， 求f（ - 1） ， f（0） ， f（1） ， f［ f（ - 1）］ ， f［ f（0）］ ， f［ f（1）］ ．
解　f（ - 1） ＝ 0 ，　f（0） ＝ 1 ，　f（1） ＝ - 2 ，　f［ f（ - 1）］ ＝ 1 ，　f［ f（0）］ ＝ - 2 ，　f［ f（1）］ ＝ - 3 ．
4.求下列函数的反函数及其定义域：
（1） y ＝ 1 - x2 　（0 ≤ x ≤ 1） ；　　　　　　　　（2） y ＝ 2sin3 x 　x ∈ - π
6 ，π
6 ；
（3） y ＝ 2x
2x + 1 ； （4） y ＝ aln（ bx - c） ；
（5） y ＝ ax + b
cx + d 　（ ad - bc ≠ 0） ．
解　（1） y ＝ 1 - x2 　（0 ≤ x ≤ 1） ． （2） y ＝ 1
3 arcsin x
2 　（ - 2 ≤ x ≤ 2） ．
（3） y ＝ log2 x
1 - x 　（0 ＜ x ＜ 1） ． （4） y ＝ 1
b （c + ex
a ） 　（ - ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（5） y ＝ b - dx
cx - a 　x ≠ a
c ．
5.求下列各题中所给函数构成的复合函数，再指出其定义域：
（1） y ＝ eu ， u ＝ sinx ； （2） y ＝ u - 1 ， u ＝ lgx ；
（3） y ＝ u2 ， u ＝ cosv ， v ＝ x - 1
x2 - 5 x + 6 ； （4） y ＝ au ， u ＝ arctanv ， v ＝ 3 w ， w ＝ t2 - 1 ；
（5） y ＝ arcsinu ， u ＝ 1 + ex
解　（1） y ＝ esinx 　（ - ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（2） y ＝ lgx - 1 　（10 ≤ x ＜ + ∞ ） ．
（3） y ＝ cos2 x - 1
x2 - 5 x + 6 　（ - ∞ ＜ x ＜ 2） ∪ （2 ＜ x ＜ 3） ∪ （3 ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（4） y ＝ aarctan 3 x2 - 1 　（ - ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（5） 由于无论x 取什么值， u ＝ 1 + ex ＞ 1 ，此时u 值对y ＝ arcsinu 没有意义．因此， y ＝ arcsinu 与u ＝
1 + ex 不能复合成复合函数．
6.设f（ x） ＝
0 ，　x ≤ 0 ，
x ，　x ＞ 0 ，
g（ x） ＝
0 ，　　x ≤ 0 ，
- x2 ，　x ＞ 0 ，求f［ g（ x）］ ，g［ f（ x）］ ，f［ f（ x）］ ，g［ g（ x）］ ．
解　f［ g（ x）］ ＝ 0 ，　g［ f（ x）］ ＝ g（ x） ，　f［ f（ x）］ ＝ f（ x） ，　g［ g（ x）］ ＝ 0 ．
　7.下列函数中，哪些是复合函数？ 如是，它们是怎样合成的？
（1） y ＝ arccos（5 + x3 ） ； （2） y ＝ x3 ? 3x ；
（3） y ＝ cos3 x2 + 1
2 ； （4） y ＝ lg x - 1
x + 1 ；
（5） y ＝ x
3 1 - x2 + 12
arcsinx ； （6） y ＝ lnsin 3 x2 + π
4 ．
解　（1） 是． y ＝ arccosu ， u ＝ 5 + x3 ．
（3） 是． y ＝ u3 ， u ＝ cosv ， v ＝ x2 + 1
2 ．
（4） 是． y ＝ lgu ， u ＝ v ， v ＝ x - 1
x + 1 ．
（6） 是． y ＝ lnu ， u ＝ sinv ， v ＝ w ， w ＝ 3 x2 + π
4 ．
（2） 、（5）题的函数不是复合函数。
倡8.根据极限定义证明（打“ 倡”的是可选题，以下各章同）
（1） nli→m∞
3 n + 1
2 n + 1 ＝ 3
2 （用“ε-N”语言证明） ； （2） xli→m∞
1 + x3
2 x3 ＝ 1
2 （用“ε-X”语言证明） ；
（3） lxi→m2
（5 x + 2） ＝ 12 （用“ε-δ”语言证明） ．
证　（1） 对任意给定的ε＞ 0 ，总存在正整数N ＝ 1
ε ．当n ＞ N 时，
3 n + 1
2 n + 1 - 32
＝ 1
2（2 n + 1） ＜ 1
n ＜ ε，
nli→m∞
3 n + 1
2 n + 1 ＝ 32
．
（2） 对任意给定的ε＞ 0 ，总存在正数X ＝
3 1
2ε ．当x ＞ X 时，
1 + x3
2 x3 - 1
2 ＝ 1
2 x3 ＝ 1
2 x 3 ＜ 1
2 X3 ＝ ε，
xli→m∞
1 + x3
2 x3 ＝ 1
2 ．
（3） 对任意给定的ε＞ 0 ，总存在正数δ ＝ ε
5 ．当0 ＜ x - 2 ＜ δ时，
5 x + 2 - 12 ＝ 5 x - 2 ＜ 5δ ＝ ε，
lxi→m2
（5 x + 2） ＝ 12 ．
9.求下列极限：
（1） xl→im- 1
（3 x3 - 5 x + 2） ； （2） lim x → 2
x2 + 1
x4 - 3 x2 + 1 ；
（3） lxi→m2
x2 - 3
x - 2 ； （4） lxi→m3
x2 - 2 x - 3
x - 3 ；
（5） lxi→m9
4 x - 3
x - 3
； （6） lhi→m0
（ x + h）3 - x3
h ；
（7） lxi→m0
x + 1 - （ x + 1）
x + 1 - 1
； （8） lxi→m4
2 x + 1 - 3
x - 2
；
（9） lxi→m1
xm - 1
xn - 1 （ m ，n 为自然数） ； （10） nli→m∞
2 n + 1
n2 + n
；
（11） xli→m∞
（2 x2 + 1）2
x2 + 3 ； （12） xli→m∞
（2 x + 1）3 （ x - 3）2
x5 + 4 ；
（13） xli→m∞
2 x2 - 6 x + 5
x3 - 8 x2 + 1 ； （14） xl→im+ ∞ eax - 1
eax + 1 （ a ＞ 0） ；
（15） nli→m∞
1
n2 + 2
n2 + … + n
n2 ； （16） nli→m∞
（ n + 1 - n） ；
（17） xl→im- 1
1
x + 1 - 3
x3 + 1 ； （18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x ．
解　（1） xl→im- 1
（3 x3 - 5 x + 2） ＝ 3 xl→im- 1 x3 - 5 xl→im- 1 x + 2 ＝ 4 ．
（2） lim x → 2
x2 + 1
x4 - 3 x2 + 1 ＝ lim x → 2
（ x2 + 1）
lim x → 2
（ x4 - 3 x2 + 1） ＝ 3
- 1 ＝ - 3 ．
（3） lxi→m2
x2 - 3
x - 2 ＝ ∞ 因为lxi→m2
x - 2
x2 - 3 ＝ 0 ．
（4） lxi→m3
x2 - 2 x - 3
x - 3 ＝ lxi→m3
（ x - 3）（ x + 1）
x - 3 ＝ 4 ．
（5） lxi→m9
4 x - 3
x - 3
＝ lxi→m9
4 x - 3
（4 x - 3）（4 x + 3）
＝ 1
2 3
．
（6） lhi→m0
（ x + h）3 - x3
h ＝ lhi→m0
（3 x2 + 3 xh + h2 ） h
h ＝ 3 x2 ．
（7） lxi→m0
x + 1 - （ x + 1）
x + 1 - 1
＝ lxi→m0
x + 1（1 - x + 1）
x + 1 - 1
＝ - lxi→m0 x + 1 ＝ - 1 ．
（8） lxi→m4
2 x + 1 - 3
x - 2
＝ lxi→m4
（ 2 x + 12 - 32 ）（ x + 2）
（ x2 - 22 ）（ 2 x + 1 + 3）
＝ lxi→m4
（2 x - 8）（ x + 2）
（ x - 4）（ 2 x + 1 + 3）
＝ lxi→m4
2（ x + 2）
2 x + 1 + 3
＝ 4
3 ．
（9） lxi→m1
xm - 1
xn - 1 ＝ lxi→m1
xm- 1 + xm- 2 + … + 1
xn- 1 + xn- 2 + … + 1 ＝ mn
（ m ，n 为自然数） ．
（10） nli→m∞
2 n + 1
n2 + n
＝ nli→m∞
2 + 1
n
1 + 1
n
＝ 2 ．
（11） xli→m∞
（2 x2 + 1）2
x2 + 3 ＝ ∞ ．
（12） xli→m∞
（2 x + 1）3 （ x - 3）2
x5 + 4 ＝ 8 ．
（13） xli→m∞
2 x2 - 6 x + 5
x3 - 8 x2 + 1 ＝ 0 ．
（14） xl→im+ ∞ eax - 1
eax + 1 ＝ xl→im+ ∞
1 - 1
eax
1 + 1
eax
＝ 1 （ a ＞ 0） ．
（15） nli→m∞
1
n2 + 2
n2 + … + n
n2 ＝ nli→m∞
n（ n + 1）
2 n2 ＝ 1
2 ．
（16） nli→m∞
（ n + 1 - n） ＝ nli→m∞
1
n + 1 + n
＝ 0 ．
（17） xl→im- 1
1
x + 1 - 3
x3 + 1 ＝ xl→im- 1
x2 - x + 1 - 3
x3 + 1 ＝ xl→im- 1
（ x + 1）（ x - 2）
（ x + 1）（ x2 - x + 1） ＝ - 1 ．
（18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x ＝ x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x x2 + 1 + x
x2 + 1 + x
＝ xl→im+ ∞
x
x2 + 1 + x
＝ xl→im+ ∞
1
1 + 1
x2 + 1
＝ 1
2 ．
10.下列函数在给定条件下，哪些是无穷小？ 哪些是无穷大？
（1） 1 + 2 x2
x 　（ x → 0） ； （2） sinx
x 　（ x → ∞ ） ；
（3） lgx 　（ x → 0+ ） ； （4） 2 x + 5 　（ x → - ∞ ） ；
（5） x + 1
x2 - 4 　（ x → 2） ； （6） 1 - cos2 t 　（ t → 0） ．
解　（2） ，（6）为无穷小；（1） ，（3） ，（4） ，（5）为无穷大．
11.x2 ， x2 - 1
x3 ，e- x 何时是无穷大？ 何时是无穷小？
解　x → ∞ 时， x2 → ∞ ， x2 - 1
x3 → 0 ；
x → + ∞ 时，e- x → 0 ；
x → - ∞ 时，e- x → ∞ ；
x → ± 1 时， x2 - 1
x3 → 0 ；
x → 0 时， x2 → 0 ， x2 - 1
x3 → ∞ ．
12.x → 1 时，下列函数中哪个是1 - x 的高阶无穷小？ 哪个是1 - x 的等阶无穷小？
（1） （1 - x） 3
2 ；　　　　　（2） 1 - x
1 + x ；　　　　　　（3） 2（1 - x） ．
解　（1） 因为lxi→m1
（1 - x） 3
2
1 - x ＝ lxi→m1
（1 - x） 1
2 ＝ 0 ，所以当x → 1 时，（1 - x） 3
2 较1 - x 为高阶无穷小．
（2） 因为lxi→m1
1 - x
1 + x
1 - x ＝ lxi→m1
1
1 + x ＝ 1
2 ，所以当x → 1 时，1 - x
1 + x 与1 - x 是同阶无穷小．
（3） 因为lxi→m1
2（1 - x）
1 - x ＝ lxi→m1
2
1 + x
＝ 1 ，所以当x → 1 时，2（1 - x） 与1 - x 等价，即2（1 - x） ~ （1 - x） ．
13.设有函数
f（ x） ＝
（ x + a）2 - a2
x ， x ＜ 0 ，
x - 2 ，　　　0 ＜ x ≤ 1 ，
x2 - 5 x + 4
x2 + x - 2 ， x ＞ 1 ．
（1） 求xl→im- ∞ f（ x） ，xl→im+ ∞ f（ x） ； （2） a 为何值时，lxi→m0 f（ x） 存在；
（3） 求lxi→m1 f（ x） ．
解　（1） x l→im- ∞ f（ x） ＝ x l→im- ∞
（ x + a）2 - a2
x ＝ x l→im- ∞
x2 + 2 ax
x ＝ x l→im- ∞
（ x + 2 a） ＝ - ∞ ，
x l→im+ ∞ f（ x） ＝ x l→im+ ∞
x2 - 5 x + 4
x2 + x - 2 ＝ 1 ．
（2） 因为
lim x → 0 + f（ x） ＝ lim x → 0 +
（ x - 2） ＝ - 2 ，
lim x → 0 - f（ x） ＝ lim x → 0 -
（ x + a）2 - a2
x ＝ lim x → 0 -
（ x + 2 a） ＝ 2 a ，
所以
a ＝ - 1 时，lxi→m0 f（ x） 存在．
（3） 因为
lim x → 1 + f（ x） ＝ lim x → 1 +
x2 - 5 x + 4
x2 + x - 2 ＝ lim x → 1 +
（ x - 1）（ x - 4）
（ x - 1）（ x + 2） ＝ - 1 ，
lim x → 1 - f（ x） ＝ lim x → 1 -
（ x - 2） ＝ - 1 ，
所以
lxi→m1 f（ x） ＝ - 1 ．
14.已知xli→m∞
x2 + 1
x + 1 - ax - b ＝ 0 ，试确定a ，b的值．
解　xli→m∞
x2 + 1
x + 1 - ax - b ＝ xli→m∞
（1 - a） x2 - （a + b） x - b + 1
x + 1 ．
因为极限存在，所以1 - a ＝ 0 ，即a ＝ 1 ，从而
原式＝ xli→m∞
- （1 + b） x - b + 1
x + 1 ＝ - （1 + b） ．
由给定条件知- （1 + b） ＝ 0 ，所以b ＝ - 1 ．
15.求下列极限：
（1） lxi→m0 sin3 x
sin4 x ； （2） lxi→m0 tan3 x
sin5 x ；
（3） xli→m∞ xsin 1
x ； （4） lxi→m0 xsin 1
x ；
（5） lxi→mπ sinx
π - x ； （6） lhi→m0
1 - cos2 x
xsinx ；
（7） nli→m∞
2n sin a
2n （ a ≠ 0） ； （8） lxi→m0
x + 2sinx
x + sinx ；
（9） xl→im- ∞ x sin 1
x2 ； （10） xli→m∞ 1 + k
x
x
；
（11） lxi→m0 1 + x
2
x - 1
x ； （12） lxi→m0
（1 + 2tanx）cotx ；
（13） lxi→m0
（cosx） 1
1 - cosx ； （14） xli→m∞
x + 3
x
x + 2
．
解　（1） lxi→m0 sin3 x
sin4 x ＝ lxi→m0
sin3 x
3 x ? 3 x
sin4 x
4 x ? 4 x
＝ 3
4 lxi→m0
sin3 x
3 x
sin4 x
4 x
＝ 3
4 ．
（2） lxi→m0 tan3 x
sin5 x ＝ lxi→m0
sin3 x
3 x ? 3 x
cos3 x
sin5 x
5 x ? 5 x
＝ 3
5 ．
（3） xli→m∞ xsin 1
x ＝ xli→m∞
sin 1
x
1
x
＝ 1 ．
（4） 因为lxi→m0 x ＝ 0 ，而sin 1
x 为有界函数，即sin 1
x ≤ 1 ，所以
lxi→m0 xsin 1
x ＝ 0
（5） lxi→mπ sinx
π - x ＝ lxi→mπ sin（π - x）
π - x ＝ 1 ．
（6） lxi→m0
1 - cos2 x
xsinx ＝ 2 lxi→m0 sin2 x
xsinx ＝ 2 lxi→m0 sinx
x ＝ 2 ．
（7） nli→m∞
2n sin a
2n ＝ nli→m∞
sin a
2n
a
2n
? a ＝ a（ a ≠ 0） ．
（8） lxi→m0
x + 2sinx
x + sinx ＝ lxi→m0
1 + 2 sinx
x
1 + sinx
x
＝ 3
2 ．
（9） xl→im- ∞ x sin 1
x2 ＝ xl→im- ∞
- sin 1
x2
1
x2
＝ - 1 ．
（10） xli→m∞
1 + k
x
x
＝ xli→m∞
1 + k
x
x
k k
＝ ek ．