数值分析的若干问题与方法介绍数值分析的若干问题与新方法，是作者对近年来数值计算方法研究工作的系统整理和总结。其主要内容包括：高精度数值积分公式的构造及加速；数值积分公式的对偶公式；Cotes校正公式及其误差估计；数值积分的Monte Carlo方法；改进数值积分公式的两种新策略；高精度数值积分公式的重构及渐近性；数值积分公式误差的X优估计；一类含中介值定积分等式证明题的构造；数值微分公式的构造及其应用；Newton迭代公式的改进等。本书可供计算数学工作者、从事科学与工程计算的科研人员，以及相关专业的研究生和本科高年级学生参考。
在科学与工程计算、信号处理、小波分析、系统工程理论等领域的实际问题建模中，经常会遇到定（重）积分的计算、表格表示函数的微分计算、线性方程组的求解、非线性方程和方程组的求解等问题。由于实际数学模型问题的复杂性，一般情况下计算和得到其准确值十分困难，只能考虑求其近似解（即数值解）。因此，相应的用于近似求解的数值计算方法的研究和选择就显得尤为重要。随着科学技术的飞速发展，特别是计算机技术的大量普及，求解各种数学问题的数值方法越来越多地应用于科学技术与工程应用各领域，出现了一些新兴的计算性交叉学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算经济学、计算材料力学等。科学计算已成为继理论分析和实验之后的第三大科学论证手段。现在，实验、理论分析和科学计算“三足鼎立”，已成为当今科学活动的主要方式，而作为科学计算的基础和核心内容的数值计算方法已被广泛地应用于科学技术和国民经济的各个领域。数值分析课程，是目前许多高校都开设的课程，是工科各专业研究生的一门重要必修基础课，也是本科数学专业和工科相关专业高年级学生的一门重要的数学基础课程。它讲授的内容是计算数学的基本理论和方法。数值计算方法是学习理工科专业理论不可缺少的数学工具，也是培养学生的抽象思维能力、慎密概括能力、数值计算能力和初步的科学研究能力的重要手段。数值计算方法是工程数学与计算机应用的桥梁，它讨论的是如何设计算法，将连续的数学模型离散化，利用计算机程序在有限步骤内有效求得近似解的方法，是工程应用和科学研究领域非常重要的基础工具。数值分析课程的内容包括插值法、函数逼近、数值积分与数值微分、解线性方程组的直接法和迭代法、非线性方程与方程组的数值解法、矩阵特征值计算及常微分方程初值问题数值解法等。本书主要介绍数值分析的若干问题与新方法，是作者对近年来数值计算方法研究工作的系统整理和总结。其主要内容包括：高精度数值积分公式的构造及加速；数值积分公式的对偶公式；Cotes校正公式及其误差估计；数值积分的Monte Carlo方法；改进数值积分公式的两种新策略；高精度数值积分公式的重构及渐近性；数值积分公式误差的最优估计；一类含中介值定积分等式证明题的构造；数值微分公式的构造及其应用；Newton迭代公式的改进等。作者多年来一直从事工科各专业研究生及数学专业高年级本科生数值分析课程的教学及对数值计算方法的研究工作。本书汇集了作者多年来在数值计算方法研究中取得的若干成果。作者感谢所指导的研究生徐伟和明万元及本科生管林挺，他们参与了本书部分章节内容的部分工作，从不同角度作出了贡献。作者还要特别感谢家人多年来始终不渝的支持。本书得到了南昌航空大学学术文库及江西省研究生数值分析优质课程建设项目的资助，在此表示感谢。作者衷心感谢华中科技大学出版社编辑为本书付出的辛勤劳动。因作者水平有限及时间仓促，本书难免存在不足之处，恳请读者批评指正。
郑华盛
第1章高精度数值积分公式的构造与加速(1)
1.1高精度数值积分公式Ⅰ的构造(1)
1.1.1高精度单重数值积分公式Ⅰ的构造(1)
1.1.2高精度二重数值积分公式Ⅰ的构造(4)
1.2高精度数值积分公式Ⅱ的构造(9)
1.2.1高精度单重数值积分公式Ⅱ的构造(9)
1.2.2高精度二重数值积分公式Ⅱ的构造(11)
1.3一类高精度数值积分公式的加速算法(12)
1.4数值实验(15)
1.4.1数值积分公式Ⅰ的数值实验(15)
1.4.2数值积分公式Ⅱ及加速算法的数值实验(16)
1.5小结(19)
第2章数值积分公式的对偶公式(20)
2.1单重数值积分公式的对偶公式(20)
2.1.1对偶公式的概念(20)
2.1.2几个低阶数值积分公式的对偶公式(21)
2.1.3三类高精度数值积分公式的对偶公式(26)
2.1.4三类复合数值积分公式的对偶公式(29)
2.2二重数值积分公式的高精度对偶公式(31)
2.2.1二重数值积分公式的对偶公式的概念(31)
2.2.2二重积分的高精度对偶公式的构造(31)
2.2.3一般区域上二重积分的高精度对偶公式构造(37)
2.3数值实验(37)
2.4小结(42)
第3章Cotes校正公式及其误差估计(43)
3.1Cotes校正公式及其误差估计(43)
3.2复合Cotes校正公式及其加速公式(45)
3.3数值实验(47)
3.4小结(49)
第4章数值积分的MonteCarlo方法(50)
4.1一维数值积分的MonteCarlo方法(50)
4.1.1原始的平均值法(51)
4.1.2两类新的MonteCarlo型数值积分方法(51)
4.2高维数值积分的MonteCarlo方法(55)
4.2.1二重积分的MonteCarlo方法(56)
4.2.2k维积分的MonteCarlo方法(63)
4.3数值算例(69)
4.4小结(73)
第5章改进数值积分公式的新策略(74)
5.1预备知识(74)
5.2两种改进新策略(75)
5.2.1第一种改进策略(75)
5.2.2第二种改进策略(78)
5.3应用实例(78)
5.4小结(86)
第6章高精度数值积分公式的重构及渐近性(87)
6.1数值积分公式的重构及其余项(87)
6.1.1一个低阶数值积分公式的重构及其余项(87)
6.1.2一类高精度数值积分公式的重构及其余项(89)
6.2一些数值积分公式渐近性的讨论(90)
6.3两个数值积分公式的反问题(97)
6.4小结(98)
第7章数值积分公式误差的最优估计(99)
7.1主要结论(99)
7.2实例(100)
7.3小结(104)
第8章一类含中介值定积分等式证明题的构造(105)
8.1定义及引理(105)
8.2主要结果(106)
8.3应用实例(107)
8.4小结(115)
第9章数值微分公式的构造及其应用(116)
9.1数值微分公式的构造及其余项(116)
9.1.1数值微分公式的构造方法Ⅰ(116)
9.1.2数值微分公式的构造方法Ⅱ(119)
9.1.3数值微分公式的重构实例(120)
9.2数值微分公式中介值点的渐近性(135)
9.3数值微分公式的校正公式及其余项(139)
9.4几个有关数值微分公式的反问题(145)
9.5小结(147)
第10章Newton迭代公式的改进(148)
10.1Newton迭代公式的几个改进(148)
10.1.1定义及引理(148)
10.1.2迭代公式的构造及收敛性(149)
10.2基于Newton迭代改进的新的三阶预估校正格式(152)
10.2.1基本定义(152)
10.2.2预估校正格式及其收敛阶(153)
10.3数值实验(154)
10.3.1迭代格式Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的数值实验(154)
10.3.2预估校正格式的数值实验(155)
10.4小结(157)
参考文献(158)
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