前 言
本书是在顺应教学改革发展的需求下,为与高等院校“高等数学”课程配合而编写的教学参考书和学习指导书,对于优化学生的知识结构、培养学生的逻辑思维能力、提高学生的数学素质起着重要的作用,同时也为后续课程的学习打下坚实的数学基础.
本书除具有基本知识点全面、阐述解释清楚易懂等特点外,还具有以下特色.
(1) 内容按章节展开,理论知识体系完整,按板块构建框架,条理清楚,层次分明,突出了辅导书的实用性功能;
(2) 知识点总结紧扣大纲,力求概念阐述准确,符号使用规范,公式书写简明;
(3) 例题的选编具有针对性,分析解答全面准确,对解题方法起到很好的示范作用;
(4) 课后习题分级选编,兼顾不同水平的读者需求.
本书由马燕任主编,章节具体编写分工是:马燕编写第1、4、5、6、9章;姚小娟编写第2、3章;任秋艳编写第7章;李建生编写第8章;蒙頔编写第10、11章;郭中凯编写第12章.
本书的编写得到了兰州理工大学技术工程学院的大力支持与帮助,在此表示衷心的感谢。
由于作者水平有限,时间比较仓促,书中难免有疏漏及错误之处,敬请读者及同行批评指正.
编 者
第8章 向量代数与空间解析几何
8.1 向量及运算
8.1.1 重要知识点
1.空间直角坐标系
(1) 坐标轴:三条过空间一定点O,且两两垂直的具有相同的长度单位的数轴,分别记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统称为坐标轴.
(2) 空间直角坐标系:由x轴、y轴、z轴构成的Oxyz坐标系. 通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线,数轴的正方向通常符合右手法则.
(3) 坐标面:在空间直角坐标系中,由任意两个坐标轴所确定的平面称为坐标面,分别为xOy面、xOz面、yOz面.
(4) 卦限:三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分称为卦限. 共八个卦限,依次记为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限.
2.向量的概念
(1) 向量:既有大小、又有方向的量称为向量. 起点为A点、终点为B点的向量记为.
(2) 向径:以坐标原点为始点的向量.
(3) 自由向量:与起点无关的向量,简称向量.
(4) 向量的模:向量的大小. 向量,的模记为,.
(5) 单位向量:模等于1的向量.
(6) 零向量:模等于0的向量,记作0. 零向量的方向可以看作是任意的.
(7) 向量相等:如果向量和的大小相等,且方向相同,则说向量和是相等的,记为=. 相等的向量经过平移后可以完全重合.
(8) 向量的平行:两个非零向量和,如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行. 记作∥. 零向量与任何向量都平行.
3. 向量的坐标
(1) 空间点M的坐标:过空间的一点M分别作垂直于轴、轴、轴的三个平面,它们与轴、轴、轴的交点在轴、轴、轴的坐标依次为、、,则M点在此空间直角坐标系中的坐标为(横坐标)、(纵坐标)、(竖坐标),记作M(,,). 空间点M与有序数组,,之间是一一对应的关系,所以,空间点M的坐标在同一坐标系中也是唯一的.
(2) 空间两点间的距离公式:设(,,),(,,)为空间两点,则两点距离为==.
(3) 基本单位向量:在空间直角坐标系中,记,,分别为沿,,轴方向的单位向量,称为这一坐标系的基本单位向量.
(4) 向量的坐标:设空间向量=,(,,), (,,),则向量=的坐标表达式为==﹢﹢ =.
4. 向量的模、方向角、投影
(1) 向量的模:.
(2) 向量的方向角:如果非零向量与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,,且0≤≤,0≤≤,0≤≤,则称,,为向量的方向角.
(3) 投影:向量在坐标轴上的投影为
即为的坐标.
(4) 方向余弦:称,,为向量的方向余弦,即为
,,
且
5. 向量的线性运算
(1) 向量的加法:设有两个向量与,平移向量使的起点与的终点重合,此时,从的起点到的终点的向量称为向量与的和,记作,两个向量与的差记为,向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则.