本书主要介绍了现代应用随机过程理论中部分经典的理论，主要内容包括预备知识、随机 过程的基本概念、泊松过程、布朗运动、条件数学期望与鞅、更新过程、马尔可夫链、随机积 分与随机微分、更新过程、马尔可夫链、随机积 分与随机微分方程以及它们在破产理论和金融衍生产品定价方面的应用.本书选材精简实用，内容安排得当，论述简洁明澈, 语言平易流畅，具有很好的可读性.此外，每小节之后都配有精选的习题，便于掌握和巩固知识. 本书可以作为高等院校统计、经济、金融、管理以及理工科各相关专业的高年级本科生学习随机过程的教材或教学参考书，也可作为有关专业硕士研究生的教材和教学参考书，对 广大从事与随机现象相关工作的科技工作者也具有参考价值.

精简随机过程的内容，分散随机过程的难点，注重内容的可读性，以满足数学基础不是太强的读者也可以学懂的教材。

随机过程是一族随机事件动态关系的定量描述. 作为概率论的延伸和发展, 随机 过程论与数学、物理等许多学科的分支有着密切的联系, 并己广泛应用于物理、化学、 生物、气象、天文、经济、金融、运筹决策、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科 学等诸多领域, 己经成为自然科学、工程科学和社会科学各领域研究随机现象的重要 工具.目前, 国内外有关随机过程的教材己有很多, 其中一些需要读者具备实变函数、泛 函分析和高等概率论的基础知识, 其主要阅读对象是数学系概率论与数理统计专业和 精英型的统计学专业的学生; 另一些则只需读者具备高等数学、线性代数和初等概率 论的知识, 其主要阅读对象是侧重应用的统计学类各专业和其他理工科及经管类相关 专业的学生. 随着我国招生制度的变化, 大部分高校的统计学及其相关专业的培养目 标逐步转为复合应用型人才的培养. 在人才培养过程中, 既强调具备一定的理论基础, 又强调应用能力的提高. 显然那些需要过多数学基础, 讲述过于抽象的教材和重点放 在直观理解、叙述不严谨的教材都己经不能适应这一变化.为适应培养要求的转变, 满足更多专业学生的学习需求, 本书在借鉴国内外相关 优秀教材的基础上, 着重突出三个特色. 第一是内容精简实用. 本书在保留了几类常用 的经典随机过程的基础上, 力求讲清楚最基本的概念、性质和方法, 去掉过于专门化的 讨论, 使得绝大多数内容能够在课程规定的学时内完成. 第二是内容的安排上, 尽量在 保持理论体系的同时将难点分散; 同时, 兼顾不同专业讲授时选题的需要. 例如, 我们 在 1.2 节讲完随机过程的基本概念之后, 在 1.3 节和 1.4 节就安排了两类重要的平稳独 立增量过程 泊松过程和布朗运动. 目的是, 一方面让学生尽快感受具体随机过程 的研究方法; 另一方面将难点分散, 便于学生掌握. 又如, 我们将条件数学期望和鞍论 合在一起放在第 2 章, 这是考虑到, 一方面大多数初等概率论对条件数学期望的讲解 偏少, 甚至忽略, 需要专门的篇幅讲解; 另一方面这两块知识联系紧密, 便于学生迅速 将条件数学期望的知识应用于鞍论, 从而更好地掌握这两部分知识. 再如, 我们在第 6 章专门安排了随机过程在保险和金融中的两个应用, 便于需要这部分知识的专业去选 题. 其实, 6.1 节破产理论, 在讲完第 3 章更新过程之后就可以讲授了. 第三是力求增
强可读性. 教材的可读性体现在, 要有严谨的理论, 准确的语言, 明晰的脉络, 简练、生 动而明达的表述, 不能让读者感到冗繁与艰涩. 诚然, 上述种种是本教材努力追求的.本书主要包括以下内容. 第 1 章在总结复习概率论相关知识的基础上, 介绍随机 过程的基本概念, 同时较为系统地介绍两类重要的平稳独立增量过程泊松过程和 布朗运动. 第 2 章分别介绍条件数学期望和鞍论的知识以及它们简单的应用. 第 3 章 介绍更新过程的概念、性质、更新方程、更新定理以及更新过程的几个推广. 第 4 章 介绍离散时间马尔可夫链的概念、性质、状态的分类、状态空间的分解、极限定理、平 稳分布以及连续时间马尔可夫链的概念和基本性质. 第 5 章介绍伊藤积分的概念和性 质、伊藤积分过程、伊藤公式以及随机微分方程. 第 6 章简要地介绍随机过程在破产 理论和金融衍生产品定价方面的应用. 学习本书的内容, 只需要具备高等数学、线性 代数和初等概率论的基础知识就可以了. 此外, 本书在每小节之后还自备了一定数量 的习题. 目的是通过这些习题的演练, 希望读者尽快掌握相应章节的基本理论和方法.本书可以作为高等院校统计、经济、金融、管理以及理工科各相关专业的高年级 本科生学习随机过程的教材或教学参考书, 也可作为有关专业硕士研究生的教材和教 学参考书, 对广大从事与随机现象相关工作的科技工作者也具有参考价值.本书在写作过程中参考了国内外许多优秀的教材和论著, 在此向他们表示感谢和 敬意. 本书能够及时出版, 还要感谢清华大学出版社刘颖编审的大力支持和帮助. 本书 内容在大连民族大学统计学专业、数学与应用数学专业以及信息与计算科学专业讲授 多次, 感谢同学们对课程内容的浓厚兴趣和热烈讨论, 同时纠正了一些打印错误.

白晓东

目录 第 1 章引论 11.1 预备知识 11.1.1 概率空间 11.1.2 随机变量5 1.1.3 黎曼-斯蒂尔切斯积分10 1.1.4 数字特征13 1.1.5 矩母函数、特征函数15 1.1.6 几个重要的极限定理17 习题 1.1. 191.2 随机过程的基本概念 191.2.1 随机过程的定义 191.2.2 随机过程的有限维分布族和数字特征 211.2.3 平稳过程23 习题 1.2.241.3 泊松过程25 1.3.1 泊松过程的概念25 1.3.2 指数流与泊松过程29 1.3.3 指数流的条件分布33 1.3.4 剩余寿命与年龄35 1.3.5 非时齐泊松过程37 习题 1.2.24 1.3 泊松过程25 1.3.1 泊松过程的概念25 1.3.2 指数流与泊松过程29 1.3.3 指数流的条件分布33 1.3.4 剩余寿命与年龄35 1.3.5 非时齐泊松过程37 习题 2.1.57 2.2 条件数学期望的基本性质与应用58 2.2.1 条件数学期望的基本性质58 2.2.2 复合泊松过程59 2.2.3 条件泊松过程60 2.2.4 反正弦律62 2.2.5 其他例子63习题 2.2.642.3 鞍的基本概念65 2.3.1 鞍的概念与举例66 2.3.2 上鞍与下鞍70 2.3.3 鞍的分解定理72 2.3.4 关于鞍的两个不等式74 习题2.3.75 2.4 停时与停时定理76 2.4.1 停时的概念77 2.4.2 停时定理78? 2.4.3 停时定理的补充82 习题 2.4.83 2.5 鞍收敛定理85 2.5.1 上穿不等式85 2.5.2 鞍收敛定理86 习题 2.5.88 2.6 连续鞍初步 89习题 2.6.91 第 3 章更新过程92 3.1 更新过程的概念92 3.1.1 更新过程的定义92 3.1.2 更新次数的极限93 3.1.3 卷积及其性质95 3.1.4 更新函数及其基本性质96 习题 3.1.97 3.2 更新方程和更新定理98 3.2.1 更新方程及其基本性质98 3.2.2 更新定理102 习题 3.2.106 3.3 更新过程的推广107 3.3.1 交替更新过程107 3.3.2 延迟更新过程109 3.3.3 更新回报过程 109习题 3.3. 111第 4 章马尔可夫链113 4.1 马尔可夫链及其转移概率113 4.1.1 基本概念113 4.1.2 查普曼-柯尔莫戈洛夫方程 115习题 4.1.118 4.2 状态的分类及其性质119 4.2.1 互通119 4.2.2 常返与非常返状态120 4.2.3 正常返和零常返状态124 4.2.4 周期与遍历状态125 习题4.2.12 74.3 状态空间的分解129 4.3.1 闭集129 4.3.2 分解定理130 习题 4.3.132 4.4 极限定理与平稳分布135 4.4.1 极限定理135 4.4.2 平稳分布136 习题 4.4.140 4.5 连续时间马尔可夫链142 4.5.1 概念和基本性质142 4.5.2 转移概率的性质143 4.5.3 柯尔莫戈洛夫向前向后微分方程145 习题 4.5.148第 5 章随机积分与随机微分方程149 5.1 伊藤积分的定义149 5.1.1 简单过程的伊藤积分149 5.1.2 适应过程的伊藤积分152习题 5.1.15 55.2 伊藤积分过程1555.2.1 伊藤积分的鞍性155 5.2.2 伊藤积分的二次变差和协变差156 5.2.3 伊藤积分与高斯过程158 习题 5.2.15 95.3 伊藤公式159 5.3.1 关于布朗运动的伊藤公式159 5.3.2 伊藤过程与随机微分16 25.3.3 关于伊藤过程的伊藤公式165 习题 5.3.169 5.4 随机微分方程171 5.4.1 随机微分方程的定义171 5.4.2 随机指数和对数173 5.4.3 线性随机微分方程的解176 5.4.4 随机微分方程解的存在唯一性177 习题 5.4.178第 6 章随机过程在金融保险中的应用举例179 6.1 破产理论1796.1.1 风险过程与破产概率的相关概念179 6.1.2 安全负荷与调节系数182 6.1.3 破产概率的估计184 习题 6.1.188 6.2 金融衍生产品的定价18 86.2.1 金融术语和基本假定189 6.2.2 定价方法190 习题 6.2.192 参考文献193