本书从面向高等教育大众化的角度出发, 介绍古典概型、条件概率、事件的独立性、随机变量、数字特征、样本与统计量、参数估计、假设检验及线性回归分析的基础知识, 帮助养学生掌握概率论与数理统计的基本理论和基本解题方法, 提高解决问题的能力。

　　本书是根据教育部《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》的精神和要求，总结作者多年讲授概率论与数理统计课程的实践经验编写而成的。本书具有如下几个特点。
　　(1)重视基本概念
　　概率论与数理统计内容虽然抽象，但其中每个基本概念都有自己的实际应用背景，力求从身边的实际问题出发，自然地引出基本概念，以激发学生的学习兴趣和求知欲。
　　(2)强调实际应用
　　本着学习数学是为了使用数学这一宗旨，并考虑到本课程的实际应用，书中较多地选择了工程和信息方面的例题和习题，以提高运用概率论与数理统计的知识解决实际问题的意识和能力。
　　(3)侧重计算、解题能力
　　本书内容深入浅出、论证简明易懂，侧重于运算、解题能力的训练，让学生在弄清基本概念的基础上熟悉运算过程，掌握解题方法，提高解题能力。
　　本书共9章，可分为两个部分。第一部分由第1～5章组成，讲授概率论的基础知识，包括随机事件、随机变量、随机向量及其分布、随机变量的数字特征和极限定理。第二部分由第6～9章组成，讲授样本与统计量、参数估计、假设检验、方差分析与线性回归分析。本书各章配有适量习题，书后附习题提示和解答。本书可作为不同专业有关概率论与数理统计课程的教材。

　　概率论与数理统计是研究随机现象数量规律性的一门科学。它作为现代数学的重要分支，已广泛应用于自然科学与社会科学的各个领域，它是大学理、工、农、医、经济、管理等学科所有专业必修的一门重要基础课。通过本课程的学习，希望学生掌握概率论与数理统计的基本思想与方法，并且具备一定的分析与解决实际问题的能力。
　　本书第2版是对本书2015年4月第1版的修订，修正了第1版的一些错误与不妥之处，基本保持了第1版的风格与体系。
　　本书是根据教育部《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》的精神和要求，总结作者多年讲授概率论与数理统计课程的实践经验编写而成的。本书具有如下几个特点。
　　(1)重视基本概念
　　概率论与数理统计内容虽然抽象，但其中每个基本概念都有自己的实际应用背景，力求从身边的实际问题出发，自然地引出基本概念，以激发学生的学习兴趣和求知欲。
　　(2)强调实际应用
　　本着学习数学是为了使用数学这一宗旨，并考虑到本课程的实际应用，书中较多地选择了工程和信息方面的例题和习题，以提高运用概率论与数理统计的知识解决实际问题的意识和能力。
　　(3)侧重计算、解题能力
　　本书内容深入浅出、论证简明易懂，侧重于运算、解题能力的训练，让学生在弄清基本概念的基础上熟悉运算过程，掌握解题方法，提高解题能力。
　　本书共9章，可分为两个部分。第一部分由第1～5章组成，讲授概率论的基础知识，包括随机事件、随机变量、随机向量及其分布、随机变量的数字特征和极限定理。第二部分由第6～9章组成，讲授样本与统计量、参数估计、假设检验、方差分析与线性回归分析。本书各章配有适量习题，书后附习题提示和解答。本书可作为不同专业有关概率论与数理统计课程的教材。
　　本书由马毅、王竞波、岳晓宁任主编，黄光、牟桂彦任副主编。参加第2版修订工作的有教师岳晓宁(执笔第1～2章)、教师王竞波(执笔第3～5章)、教师牟桂彦(执笔第6～7章)、教师黄光(执笔第8～9章)，书末5个附表，由王竞波整理给出，最后由马毅和纪德云共同修改定稿。
　　由于编者水平有限，书中难免有不妥之处，恳请读者批评指正。
　　编者

第1章 随机事件 1 
1.1 基本概念 1 
1.1.1 随机试验与随机事件 1 
1.1.2 事件的关系与运算 2 
1.2 事件的概率 5 
1.2.1 事件的频率 5 
1.2.2 概率的统计定义 6 
1.2.3 概率的公理化定义 6 
1.3 古典概率模型 8 
1.4 条件概率 11 
1.4.1 条件概率 11 
1.4.2 乘法公式 13 
1.4.3 全概率公式 15 
1.4.4 贝叶斯公式 16 
1.5 事件的独立性 17 
1.5.1 两个事件的独立性 17 
1.5.2 多个事件的独立性 18 
习题1 20 
第2章 随机变量 24 
2.1 随机变量的定义 24 
2.2 离散型随机变量 25 
2.2.1 离散型随机变量的概率分布 25 
2.2.2 常见的离散型随机变量的概率分布 26 
2.3 连续型随机变量与随机变量的分布函数 30 
2.3.1 概率密度函数 30 
2.3.2 随机变量的分布函数 32 
2.3.3 常见的连续型随机变量的概率分布 35 
2.4 随机变量函数的分布 40 
2.4.1 离散型随机变量函数的分布 40 
2.4.2 连续型随机变量函数的分布 41 
习题2 43 
第3章 随机向量 46 
3.1 二维随机向量及其分布函数 46 
3.2 二维离散型随机向量 47 
3.3 二维连续型随机向量及其分布函数 50 
3.3.1 二维连续型随机向量 50 
3.3.2 均匀分布 51 
3.3.3 二维正态分布 52 
3.4 边缘分布 52 
3.4.1 边缘分布密度 52 
3.4.2 二维离散型随机向量边缘分布 53 
3.4.3 二维连续型随机向量的边缘概率密度 54 
3.5 条件分布 56 
3.5.1 条件分布的概念 56 
3.5.2 离散型随机向量的条件分布 56 
3.5.3 连续型随机向量的条件概率密度 59 
3.6 随机向量的独立性 62 
3.7 随机向量函数的分布 64 
3.7.1 Z=X+Y的分布 64 
3.7.2 Z =max{X,Y}和Z =min{X,Y}的分布 66 
3.8 n维随机向量 68 
3.8.1 定义和分布函数 69 
3.8.2 n维连续型随机向量 69 
3.8.3 n维随机向量函数的分布 70 
习题3 71 
第4章 随机变量的数字特征 75 
4.1 数学期望 75 
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 75 
4.1.2 连续型随机变量的数学期望 78 
4.1.3 随机变量函数的数学期望 79 
4.1.4 数学期望的性质 81 
4.2 方差 83 
4.2.1 方差的定义 83 
4.2.2 方差的性质 85 
4.2.3 几种常用随机变量分布的方差 86 
4.3 协方差与相关系数 88 
4.3.1 协方差 88 
4.3.2 相关系数 89 
4.4 矩与协方差矩阵 92 
4.4.1 矩 92 
4.4.2 协方差矩阵 92 
习题4 93 
第5章 极限定理 97 
5.1 大数定律 97 
5.1.1 切比雪夫不等式 97 
5.1.2 大数定律 98 
5.2 中心极限定理 99 
习题5 102 
第6章 样本与统计量 103 
6.1 总体与样本 103 
6.1.1 总体与个体 103 
6.1.2 样本 104 
6.2 统计量及其分布 105 
6.2.1 统计量与抽样分布 105 
6.2.2 样本均值及其抽样分布 106 
6.2.3 样本方差与样本标准差 107 
6.2.4 样本矩及其函数 108 
6.2.5 正态总体的抽样分布 108 
习题6 112 
第7章 参数估计 113 
7.1 参数的点估计 113 
7.1.1 矩法估计 114 
7.1.2 极大似然估计 116 
7.2 点估计的评价标准 118 
7.2.1 无偏性 118 
7.2.2 有效性 118 
7.2.3 一致性 119 
7.3 参数的区间估计 120 
7.3.1 置信区间的概念 120 
7.3.2 单个正态总体参数的置信区间 122 
习题7 125 
第8章 假设检验 127 
8.1 假设检验的基本概念 127 
8.2 正态总体均值的假设检验 131 
8.2.1 单个正态总体均值的假设检验 131 
8.2.2 两个正态总体均值的比较 132 
8.2.3 成对数据的假设检验 134 
8.3 正态总体方差的假设检验 135 
8.3.1 单个正态总体方差的假设检验 135 
8.3.2 两个正态总体方差的检验 137 
8.4 分布的拟合检验 138 
习题8 141 
第9章 方差分析与回归分析 143 
9.1 单因子试验的方差分析 143 
9.2 一元线性回归分析 146 
9.2.1 一元线性回归模型 146 
9.2.2 、最小二乘估计 147 
9.2.3 回归方程的显著性检验 150 
9.2.4 预测问题 150 
习题9 151 
附录1 重要分布表 153 
附录2 各章习题参考答案 172 
参考文献 183 

　　第3章随机向量
　　在实际问题中，有些试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述，如射击试验弹着点的具体位置要由它的横坐标和纵坐标来确定。又如，为了考察炼出的每炉钢的质量，需要考虑含碳量、含硫量和硬度等基本指标，这就涉及3个随机变量——含碳量、含硫量和硬度；如果还需要考察其他指标，则应引入更多的随机变量。在研究的问题中，由于这些随机变量之间通常存在着某种内部联系，因此需要把这些随机变量看作一个整体来加以研究。
　　若和都是随机变量，则由、组成的一个整体称为二维随机向量。二维随机向量中，、均称为它的分量。在讨论二维随机变量时，可以把看作是平面上具有随机坐标的点。
　　一般来说，对某一随机试验涉及的n个随机变量，记为，称为n维随机向量或n维随机变量。
　　显然，第2章所讨论的随机变量是一维随机变量。和一维随机变量类似，二维随机向量也可分为连续型和离散型等几类。为了叙述方便，本章主要讨论二维随机向量，至于多维随机向量不难类推。
　　3.1二维随机向量及其分布函数
　　二维随机向量中的两个随机变量和是有联系的，它们是定义在同一样本空间上的两个随机变量。其性质不仅与的性质及的性质有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系，因此仅仅逐个研究和的性质是不够的，必须把作为一个整体加以研究。
　　首先引入其分布函数的概念。
　　定义3.1设是二维随机向量，对于任意实数，称二元函数
　　()(3.1)
　　为的分布函数。
　　分布函数表示事件和事件同时发生的概率。如果将看成平面上随机点的坐标，取定,就是点落在平面上，以为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率，如图3.1所示。
　　由上面的几何解释可知，随机点落在矩形区域、内的概率为
　　(3.2)
　　分布函数的性质如下。
　　(1)是变量x、y的不减函数，即对于任意固定的y，当x1《x2时，≤；对于任意固定的x，当y1《y2时，≤。
　　(2)0≤≤1(＜x＜,＜y＜)。(3.3)
　　(3)对于固定的y，有
　　F()=
　　对于固定的x，有
　　F(x,)=
　　还有
　　F(,)=
　　F(,)=
　　由以上可知,当变量时，在图3.1中随机点落在矩形内这一事件趋于不可能事件，其概率为零；而当时，图3.1中的矩形扩展到全平面，随机点落在矩形内这一事件趋于必然事件，其概率为1。
　　二维随机向量也分为离散型与连续型，下面分别加以讨论。
　　3.2二维离散型随机向量
　　如果二维随机向量的每个分量都是离散型随机变量，则称是二维离散型随机向量。因为离散型随机变量只能取有限或可列无穷个值，因此二维离散型随机向量所有可能取的值也是有限或可列无穷个。
　　定义3.2设二维离散型随机向量所有可能取的值为，记为
　　()(3.4)
　　称式(3.4)为二维离散型随机向量的概率分布或联合分布律。
　　的联合分布律如表3.1所示。
　　表3.1的联合分布律
　　的联合分布律具有下列性质。
　　(1)。(3.5)
　　(2)。(3.6)
　　二维离散型随机变量的分布函数与概率分布之间具有如下关系式
　　(3.7)
　　其中和式对一切满足的i和j求和。
　　例3.1一盒中有3个球,它们依次标有数字1、2、2。从这盒中任取一球后，不返回盒中，再从盒中任取一球。设每次取球时，盒中各球被取到的可能性相同。以、分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求的联合分布律。
　　解可能取的值为(1,2)、(2,1)、(2,2)，对应的概率分别为：
　　第一次取1的概率是，第一次已取得1后，第二次取得2的概率是1。按乘法定理，得。
　　第一次取2的概率是，第一次已取得2后，第二次取得1(或2)的概率是。
　　即；。
　　的联合分布律如表3.2所示。
　　表3.2的联合分布律
　　Y
　　X
　　1
　　2
　　1
　　0
　　2
　　例3.2设有10件产品，其中7件正品、3件次品。现从中任取两次，每次取一件产品，取后不放回。令
　　X=1，若第一次取到的产品是次品；
　　X=0，若第一次取到的产品是正品；
　　Y=1，若第二次取到的产品是次品；
　　Y=0，若第二次取到的产品是正品。
　　求二维随机向量的概率分布。
　　解所有可能取的值是(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)。
　　先求，即第一次取到正品、第二次也取到正品的概率，这是古典概型，易得
　　同理，可分别求得
　　的联合分布律如表3.3所示。
　　表3.3的联合分布律
　　Y
　　X
　　0
　　1
　　0
　　1
　　3.3二维连续型随机向量及其分布函数
　　3.3.1二维连续型随机向量
　　与一维连续型随机变量类似，对于二维连续型随机向量，也用一个“密度”函数来全面描述它的取值概率。
　　定义3.3对于二维随机向量，若存在一个定义于全平面(,)的非负可积的二元函数，为任意平面区域，都有
　　(3.8)
　　则称为二维连续型随机向量,并称为的联合概率密度,简称联合密度。
　　可见，如果知道二维连续型随机变量的联合密度，那么它落入区域内的概率只需计算一个二重积分即可。其几何意义是以曲面为顶、以区域为底的曲顶柱体的体积，如图3.2所示。
　　与一维随机变量类似，联合密度具有如下基本性质。
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