本教材分为上下两册。上册内容包括函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分, 定积分及定积分的应用、常微分方程。下册内容包括向量代数与空间解析几何、多元函数的微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等部分。本书为上册。该课程基于学生的初等数学基础, 引入高等数学的理念、思想和方法, 提高学生学习高等数学的兴趣和应用高等数学知识解决相关问题的意识和能力。
本教材基于学生的初等数学基础，引入高等数学的理念、思想和方法，提高学生学习高等数学的兴趣和应用高等数学知识解决相关问题的意识和能力。
高等数学是高等学校的一门重要基础课程，更是理工科学生接受高等教育不可或缺的一部分。已获得公众认知的是：高等数学不仅为理工科学生学习后续专业课程提供所必需的数学知识；而且为工程技术人员处理科学问题提供必要的理论依据.然而，高等数学本身不仅仅是一门科学，更重要的是，通过分析、归纳、推理等各项数学素养的训练，能够使学生具备理性思维能力、逻辑推理能力以及综合判断能力.
为了适应高等教育的发展，顺利完成精英化教育向大众化教育的转型，本着“以人为本、因材施教、夯实基础、创新应用”的指导思想，大连民族大学理学院组织了具有丰富教学经验的一线教师编写本教材.
本书以教育部高等学校大学数学课程教学指导分委员会制定的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》为依据，在知识点的覆盖面与“基本要求”相一致的基础上，对课程内容体系进行了整体优化，强化了高等数学与后续专业课程的联系，使之更侧重于培养学生的基础能力和应用能力，以适应培养应用型、复合型本科人才的培养目标.与传统教材相比，我们在编写时特别注意了以下3个方面：
1.在知识体系的编排上，突出基础的重要地位.对教材的内容进行了适当的优化和调整，减少课程内容的重复讲授.例如，在传统教材中，函数和数列极限是几乎被忽略的内容，只用很少的篇幅进行介绍，并且在授课时也只是泛泛讲解，这对学生学习高等数学是非常不利的.一方面，函数是微积分的研究对象，极限是微积分的研究工具，淡化了这些基础内容，不利于学生完成从初等数学到高等数学的思维方式的跨越；另一方面，学生从高考结束到进入大学学习，空闲了至少2个月的时间，淡化了这些内容，对学生学习后续的内容影响很大.本书中，我们将函数和数列极限分别作为一章讲述；将定积分及定积分的应用合并成一章；由于定积分在物理方面的应用与大学物理课程的内容重复，故将其删去；为了便于学生学习和掌握，将常微分方程一章中的所有应用题单列一节讲授.
2.在课程内容的编写上，注重知识点的使用方法和技巧.在给出重要的定义和定理时，对其进行必要的说明，指出了在使用定义和定理解决相关问题时的误区，列举了一些典型反例；对典型例题进行先分析提示，再引导求解，逐步使学生在学习“规则”时，能够正确理解并合理使用这些“规则”，做题时有理可依、有据可查.
3.在例题、习题的选配上，注重不同的层次和类别.为了满足不同专业、不同层次学生的需求，将例题分为三个层次.第一层次注重的是定义和定理，使学生能够正确合理使用这些知识点解决一些基本问题；第二层次注重的是数学的方法和技巧，使学生能够灵活运用这些知识点解决一些相对复杂的问题，培养学生的逻辑推理和计算能力；第三层次注重的是应用，使学生能够综合运用所学的知识解决一些较为困难的问题，从而提高学生的数学素质.此外，对于同一类型题，我们选配了多个例题，教师可以有选择地讲授，其余的学生可以自学.将习题分为A和B两类，学生通过学习第一、第二层次的例题便可以解决A类题中的内容，而B类题的内容相对复杂，求解较为困难，主要是为了满足部分专业和部分考研学生对高等数学的实际需求.
本书在编写过程中，各位参与编写的教师能够统一思想、团结协作，历经了充分调研、反复论证、独立撰写、相互审阅、及时修补等环节，使本书从初稿、统稿到定稿能够分阶段顺利完成.其中，第1，9章由谢丛波编写；第2，3，8章由焦佳编写；第4，5，11，12章由董丽编写；第6，7，10章由张文正编写；第13章由楚振艳编写.谢丛波为本书绘制了图形.最后由袁学刚和张友负责全书的统稿及修改定稿，并对各个章节及课后习题进行了适当的修改.
本书的顺利出版，离不开大连民族大学各级领导的关心和支持，在此表示感谢.还要特别感谢清华大学出版社的刘颖编审，他对本书的初稿进行了认真的审阅，给予了具体的指导，提出了宝贵的建议.本书在编写过程中，我们参阅了大量的国内外各种版本的同类教材，并借鉴了这些教材的一些经典例题和习题，由于难以一一列举出处，深感歉疚，只能在此一并表示由衷的谢意.
尽管我们投入了大量的精力，但由于水平有限，书中还会存在某些不足或错误，恳请广大同行、读者批评指导，以期进一步修正和完善.
编者2017年7月
第1章函数
1.1基本概念
1.1.1集合、区间、绝对值和邻域
1.1.2函数的定义
1.1.3具有某种特性的函数
1.1.4函数的四则运算、复合函数和反函数
习题1.1
1.2初等函数
1.2.1基本初等函数
1.2.2初等函数的定义及其范例
习题1.2
1.3函数关系的几种表示方法
1.3.1函数的分段表示
1.3.2函数的隐式表示
1.3.3函数的参数表示
习题1.3
复习题1
第2章数列及其极限
2.1数列的极限
2.1.1数列
2.1.2收敛数列
2.1.3数列和子数列之间的关系
2.1.4数列中的无穷小量和无穷大量
2.1.5数列极限的基本性质
习题2.1
2.2数列极限的运算法则
2.2.1四则运算法则
2.2.2夹逼准则
2.2.3单调有界原理和一个重要的极限
习题2.2
复习题2
第3章函数的极限与连续
3.1函数的极限
3.1.1函数极限的定义
3.1.2无穷小量和无穷大量
习题3.1
3.2函数极限的性质和运算法则
3.2.1函数极限的基本性质
3.2.2函数极限的运算法则
3.2.3夹逼准则和两个重要的极限
习题3.2
3.3无穷小量的比较
3.3.1无穷小量的阶
3.3.2等价无穷小的替换原理
习题3.3
3.4连续函数
3.4.1连续函数的定义
3.4.2函数的间断点
习题3.4
3.5连续函数的运算和性质
3.5.1连续函数的运算
3.5.2初等函数的连续性
3.5.3闭区间上连续函数的性质
习题3.5
复习题3
第4章导数与微分
4.1基本概念
4.1.1两个典型问题
4.1.2导数的定义
4.1.3导数的几何解释
4.1.4可导与连续的关系
习题4.1
4.2导数的运算法则
4.2.1导数的四则运算法则
4.2.2反函数的导数
4.2.3复合函数的导数
4.2.4初等函数的导数
习题4.2
4.3高阶导数
4.3.1高阶导数的定义
4.3.2高阶导数的运算法则
习题4.3
4.4隐函数的导数
4.4.1由一个方程确定的隐函数的导数
4.4.2由参数方程确定的函数的导数
习题4.4
4.5函数的微分
4.5.1引例
4.5.2微分的定义
4.5.3微分的几何解释
4.5.4微分的运算法则和公式
4.5.5微分在近似计算中的应用
习题4.5
复习题4
第5章微分中值定理及其应用
5.1微分中值定理
5.1.1罗尔定理
5.1.2拉格朗日中值定理
5.1.3柯西中值定理
习题5.1
5.2洛必达法则
5.2.100型未定式的极限
5.2.2∞∞型未定式的极限
5.2.3其他未定式的极限
习题5.2
5.3泰勒公式
5.3.1泰勒定理
5.3.2泰勒公式的应用
习题5.3
5.4函数的性态(Ⅰ)——单调性与凸性
5.4.1函数的单调性
5.4.2函数的凸性及其拐点
习题5.4
5.5函数的性态(Ⅱ)——极值与最值
5.5.1函数的极值
5.5.2最大值与最小值
5.5.3应用举例
习题5.5
5.6函数图形的描绘
5.6.1曲线的渐近线
5.6.2函数的性态表与作图
习题5.6
5.7曲率
5.7.1弧微分
5.7.2曲率及其计算公式
5.7.3曲率圆与曲率半径
习题5.7
复习题5
第6章不定积分
6.1基本概念及性质
6.1.1原函数
6.1.2不定积分的定义
6.1.3不定积分的几何解释
6.1.4基本积分公式
6.1.5不定积分的性质
习题6.1
6.2换元积分法
6.2.1第一类换元积分法
6.2.2第二类换元积分法
习题6.2
6.3分部积分法
习题6.3
6.4有理函数的积分及其应用
6.4.1有理函数的积分
6.4.2简单的无理函数的积分
6.4.3三角函数有理式的积分
习题6.4
复习题6
第7章定积分及其应用
7.1定积分的概念
7.1.1引例
7.1.2定积分的定义
7.1.3定积分的几何解释
习题7.1
7.2定积分的存在条件及其性质
7.2.1定积分的存在条件
7.2.2定积分的性质
习题7.2
7.3微积分基本公式
7.3.1积分上限的函数及其导数
7.3.2牛顿莱布尼茨公式
习题7.3
7.4换元积分法和分部积分法
7.4.1定积分的换元法
7.4.2定积分的分部积分法
习题7.4
7.5反常积分
7.5.1无穷区间上的反常积分
7.5.2无界函数的反常积分
习题7.5
7.6定积分在几何中的应用
7.6.1定积分的微元法
7.6.2平面图形的面积
7.6.3旋转体的体积
7.6.4平行截面面积为已知的立体的体积
7.6.5平面曲线的弧长
习题7.6
复习题7
第8章常微分方程
8.1微分方程的基本概念
8.1.1引例
8.1.2基本概念
习题8.1
8.2常微分方程的初等积分法（Ⅰ）
8.2.1分离变量方程
8.2.2一阶线性微分方程
8.2.3伯努利方程
习题8.2
8.3常微分方程的初等积分法（Ⅱ）
8.3.1齐次方程
8.3.2可降阶的二阶微分方程
8.3.3其他类型的常微分方程
习题8.3
8.4高阶线性微分方程
8.4.1二阶线性微分方程解的性质
8.4.2二阶线性微分方程的通解
习题8.4
8.5高阶常系数线性微分方程
8.5.1n阶常系数齐次线性微分方程的解法
8.5.2高阶常系数非齐次线性微分方程的解法
习题8.5
8.6微分方程的应用举例
复习题8
习题答案及提示
第1章函数Functions
1.1基本概念Basic concepts
第1章
函数
Functions
在中学数学中，我们虽然已经学习了函数的概念以及一些简单的函数，但都是基于初等数学的范畴.在以微分学和积分学为核心的高等数学中，各类函数及其变化性态是主要的研究对象.为了更好地学习微积分学的知识，本章将首先介绍与函数相关的一些基本概念和必备知识；然后列出基本初等函数及其特性；最后引入函数的几种常用表示方法以及一些特殊函数.
1.1基本概念
Basic concepts
在给出函数的定义之前，首先简要地介绍集合、区间、绝对值和邻域等一些基本概念.
1.1.1集合、区间、绝对值和邻域〖*2〗
1. 集合
由于函数都是定义在某些集合上的，因此讨论函数离不开集合这个概念.一般地，具有某种特定性质的事物汇集的总体称为一个集合（set），组成这个集合的事物被称为集合的元素（element）.如: 一个班级可以认为是一个集合，班级的每一位同学就是这个集合的元素；直线方程y=x+2上的所有点组成了一个集合.通常情况下，集合用大写字母A，B，C,…表示，集合的元素用小写字母a，b，c,…表示.
集合与元素之间的关系为: 若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，则称a不属于A，记作aA.
表示集合的方法通常有两种: 一种是列举法，即把集合的全体元素一一列举出来，如由元素a1,a2,…,an组成的集合A可以表示为A={a1,a2,…,an}；另一种是描述法，即利用集合的某种特征来描述其元素，如xOy平面中单位圆周上点的集合B可以表示为B={(x,y)|x2+y2=1}.
若一个集合的元素个数有限，则称这个集合为有限集（finite set），否则称为无限集（infinite set）.不含任何元素的集合称为空集（empty set），记作.
最常遇到的数集有:
全体自然数（natural number）的集合，记作N；全体整数（integer）的集合，记作Z；全体有理数（rational number）的集合，记作Q；全体实数（real number）的集合，记作R；全体复数（complex number）的集合，记作C.
此外，正整数、正有理数和正实数的集合分别记作Z+，Q+和R+.如果没有特殊声明，本书中用到的数都是实数.
下面给出集合间的关系和运算.
设A和B是两个集合，若集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集（subset），记作AB（或BA），读作A包含于B（或者B包含A）.若AB，且存在元素a∈B且aA，则称A是B的真子集（proper subset），记作AB（或者BA）.若AB，且BA，则称集合A和B相等（equality），记作A=B.
规定: 空集是任何集合A的子集，即A.
对于前面给出的各种数集，显然有如下关系成立:
NZQRC和Z+Q+R+.
给定两个集合A和B，可以定义如下运算:
交集（intersection of sets）A∩B={x|x∈A且x∈B}；
并集（union of sets）A∪B={x|x∈A或x∈B}；
差集（difference of sets）A＼B={x|x∈A且xB}；
余集（complementary set）BcA=A＼B，其中BA.
集合间的各种运算及其结果可以用图1.1来表示，其中阴影部分表示运算的结果.
图1.1
2. 区间
区间（interval）是高等数学课程中经常遇到的一类数集.各种区间的符号、名称、集合表示及在数轴上的图形表示如表1.1所示.
表11
符号名称集合表示图形表示
(a,b)
［a,b］
(a,b］
［a,b)
有限区间
开区间{x|a 闭区间{x|a≤x≤b}
半开区间{x|a 半开区间{x|a≤x (a,+∞)
［a,+∞)
(-∞,a)
(-∞,a］
无限区间
开区间{x|x>a}
闭区间{x|x≥a}
开区间{x|x 闭区间{x|x≤a}
关于表中记号的几点说明：
(1) 表中的各个区间与集合的记法是严格对应的，不能混淆，特别是开区间(open interval)和闭区间(closed interval)的记法.
(2) 在有限区间(finite interval)和无限区间(infinite interval)中，a,b∈R，且a (3) 无限区间中的+∞和-∞分别读作“正无穷”和“负无穷”，它们仅仅是一种符号，并不表示数，可以分别想象为沿着数轴的正向和负向无限延伸.详细的定义将在后面章节中给出.特别地，全体实数组成的集合R记为R=(-∞,+∞).
3. 绝对值
实数a的绝对值（absolute value）记作|a|，它的定义为
|a|=a,a≥0,
-a,a<0.
该定义表明，实数a的绝对值|a|是非负的，它的几何意义是数轴上的点到原点的距离.对于任意给定的实数a,b,c∈R，不难证明如下等式或不等式成立:
(1) |a-b|≥0；(2) |a-b|=|b-a|；(3) |a·b|=|a|·|b|；
(4) |a+b|≤|a|+|b|；(5) |a-c|≤|a-b|+|b-c|（三角不等式）；
(6) |a-b|≥||a|-|b||.
4. 邻域
设a∈R，δ>0，数集{x||x-a|<δ}称为以点a为中心,δ为半径的邻域（neighborhood），简称a的δ邻域，记作U(a,δ)，即
U(a,δ)={x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).
当不需要注明邻域的半径δ时，常把它表示为U(a)，简称点a的邻域.
……
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