本书介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换这两类积分变换的基本概念、性质及应用.每章章末都配有精选的习题和测试题,方便读者检验学习效果.书中性质等相关证明过程详细,注重数学思想、方法和技巧的运用，有利于培养灵活多样、举一反三的科学素养.书末附有常用函数的积分变换简表,可供学习时查用.
本书可供高等学校理工科相关专业作为教材使用,也可作为任课教师的教学参考书,还可供有关工程技术人员参考使用.
《积分变换》介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换，既注重基础应用，又面向专业拓展，计算方法多样，论证详细，能够培养学生举一反三的能力。本书每章附精选习题和测试题，并针对不同层次学生的需要，书中部分内容标记“*”，，可根据需求自由选学。本书可供高等学校理工科相关专业作为教材使用，也可作为工程技术人员参考使用。
积分变换是高等学校理工科的一门重要的专业基础理论课程，它不仅是学习后续专业课程和在各学科领域中进行科学研究及实践的必要基础,而且在培养符合现代社会发展的高素质应用型人才方面起着重要作用.为适应教学及课程改革发展的新形势,编者按照高等学校理工类积分变换课程的教学基本要求,精心策划,组织在教学一线多年的教师编写此书.
在编写过程中,编者参考了国内外众多同类优秀教材和书籍,借鉴和吸收相关成果.尽可能用直观、形象的方法来讲解数学概念，并结合工程技术上的实例来理解数学概念的本质内容.力求做到由浅入深,循序渐进,通俗易懂,突出重点,论证详细,注重数学思想、方法和技巧的运用,注重培养学生运用数学工具解决实际问题的能力和创新能力,有利于培养学生灵活多样、举一反三的科学素养.
本书的主要特点如下.
（1）知识脉络清晰,结构合理.
（2）既注重基础应用,又面向专业拓展.
（3）计算方法多样,论证详细,培养学生举一反三的能力.
（4）每章末除精心选配习题外,还附有测试题,参考答案见清华大学出版社官方网站，方便学生自我检测学习效果.
（5）为满足不同专业、不同层次学生的需要,书中部分内容标记“*”,可根据需求自由选学.
（6）书末附有积分变换简表,以备需要时查用.
阅读本书需要具备一定的高等数学和复变函数的知识.本书可供高等学校理工科相关专业作为教材使用，也可作为任课教师的教学参考书，还可供有关工程技术人员参考使用.
本书中,孙立伟编写了第一章,汪宏远编写了第二章，邢志红为主审.本书的编写和出版得到了学校相关部门、同行和出版社的大力支持与帮助，谨在此表示诚挚的感谢.
由于编者水平有限,书中难免存在缺点与不妥之处,敬请读者多提宝贵意见.
编者
2017年4月
引言
第一章傅里叶变换
第一节傅里叶变换概述
一、 周期函数fT(t)的傅里叶级数
二、 非周期函数f(t)的傅里叶积分
三、 傅里叶变换的概念
四、 傅里叶变换的物理意义——频谱
第二节单位脉冲函数及其傅里叶变换
一、 迪拉克函数(δ函数)
二、 δ函数的性质
三、 δ函数的傅里叶变换
第三节傅里叶变换的性质
一、 线性性质
二、 对称性质
三、 位移性质
四、 相似性质
五、 微分性质
六、 积分性质
*七、 乘积定理
*八、 帕塞瓦尔（Parseval）定理
第四节卷积和卷积定理
一、 卷积及其性质
二、 卷积定理
*三、 相关函数
第五节傅里叶变换的应用
一、 微分、积分方程的傅里叶变换解法
*二、 偏微分方程的傅里叶变换解法
章末总结
傅里叶变换习题
傅里叶变换测试题
第二章拉普拉斯变换
第一节拉普拉斯变换的概念
一、 问题的提出
二、 拉普拉斯变换的定义及存在定理
第二节拉普拉斯变换的性质
一、 线性性质
二、 相似性质
三、 微分性质
四、 积分性质
五、 位移性质
六、 延迟性质
七、 周期函数的拉普拉斯变换
*八、 初值定理与终值定理
第三节拉普拉斯变换的卷积
一、 卷积的概念及性质
二、 卷积定理
第四节拉普拉斯逆变换
一、 拉普拉斯反演积分公式
二、 拉普拉斯逆变换的求解方法
第五节拉普拉斯变换的应用
一、 微分、积分方程的拉普拉斯变换解法
*二、 偏微分方程的拉普拉斯变换解法
*三、 线性系统的传递函数
章末总结
拉普拉斯变换习题
拉普拉斯变换测试题
参考文献
附录Ⅰ傅里叶变换简表
附录Ⅱ拉普拉斯变换简表
引言
在自然科学和工程技术中,为把较复杂的运算简单化,人们常常采用变换的方法.如17世纪,航海和天文学积累了大批观测数据,需要对它们进行大量的乘除运算.在当时,这是非常繁重的工作,为克服这个困难,1614年纳皮尔（Napier)发明了对数,它将乘除运算转化为加减运算,通过两次查表,便完成了这一艰巨的任务.
18世纪,微积分学中,人们通过微分、积分运算求解物体的运动方程.到了19世纪,英国著名的无线电工程师海维赛德（Heaviside）为求解电工学、物理学领域中的线性微分方程,逐步形成了一种所谓的符号法,后来就演变成了今天的积分变换法.即通过积分运算把一个函数经过某种可逆的积分方法变成另一个函数.在工程数学里，积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算,简单、快速地完成复杂、耗时的运算.正是积分变换的这一特性,使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一.
积分变换的理论和方法不仅在数学的许多分支中,而且在其他自然科学和各种工程技术领域中都有着广泛的应用.
第一章傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier变换）是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系.它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等),又具有明确的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),因而在许多领域被广泛地应用.
第一节傅里叶变换概述
一、 周期函数fT(t)的傅里叶级数
在高等数学中,我们学习了傅里叶级数,知道若fT(t)是以T为周期的周期函数,并且fT(t)在－T2,T2上满足狄利克雷（Dirichlet）条件,即在－T2,T2上满足：
（1） 连续或只有有限个第一类间断点；
（2） 至多只有有限个极值点.
则在－T2,T2内,函数fT(t)可以展成傅里叶级数.
在fT(t)的连续点处,级数的三角形式为
fT(t)=a02+∑∞n=1(ancosnωt+bnsinnωt).（1.1）
其中,ω=2πT，a0=2T∫T2－T2fT(t)dt，an=2T∫T2－T2fT(t)cosnωtdt,n=1,2,3，…，bn=2T∫T2－T2fT(t)sinnωtdt,n=1,2,3，….
为今后应用上的方便,下面将傅里叶级数的三角形式即式（1.1）转化为复指数形式.根据欧拉（Euler）公式：
cosθ=ejθ+e－jθ2，
sinθ=ejθ－e－jθ2j.
可得
fT(t)=a02+∑∞n=1(ancosnωt+bnsinnωt)=a02+∑∞n=1an－jbn2ejnωt+an+jbn2e－jnωt.
……
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