《矩阵理论及方法》介绍在工程实际中有应用价值的矩阵理论与方法。全书共7章，内容包括：线性空间与线性变换，矩阵的变换和分解，矩阵范数及其应用，矩阵分析，特征值的估计及对称矩阵的极性，几类特殊矩阵，矩阵的广义逆与直积及其应用。《矩阵理论及方法》内容丰富、阐述简明、推导严谨，为了便于读者学习，各章结合内容配备了一定数量的例题、习题，并在书后附有习题答案与提示。
《矩阵理论及方法》可作为理工科院校各专业研究生的教材，也可作为理工科和师范类院校高年级本科生的选修课教材，并可供有关专业的教师和工程技术人员参考。
前言
第1章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.1.1 线性空间的概念及基本性质
1.1.2 基、维数与坐标
1.1.3 基变换与坐标变换
1.2 线性子空间
1.2.1 子空间的概念
1.2.2 子空间的维数与基
1.2.3 子空间的交与和
1.2.4 子空间的直和与补子空间
1.3 线性变换及其矩阵
1.3.1 线性变换的概念
1.3.2 线性变换的运算
1.3.3 线性变换的矩阵表示
1.4 与线性变换有关的子空间
1.4.1 线性变换的值域与核
1.4.2 线性变换的不变子空间
1.4.3 特征值与特征向量
1.4.4 最小多项式
1.5 欧几里得空间与酉空间
1.5.1 欧几里得空间的定义与性质
1.5.2 标准正交基
1.5.3 正交变换与正交矩阵
1.5.4 对称变换与对称矩阵
1.5.5 酉空间介绍
习题1
第2章 矩阵的变换与分解
2.1 酉变换与酉矩阵
2.1.1 酉等价
2.1.2 Givens变换与Householder变换
2.2 Jordan标准形与谱分解
2.2.1 Jordan标准形
2.2.2 谱分解
2.3 Schur分解与正规矩阵
2.3.1 Schur分解
2.3.2 正规矩阵
2.4 Gauss变换与三角分解
2.4.1 Gauss变换
2.4.2 Gauss消元与三角分解
2.4.3 常用的直接三角分解法
2.5 QR分解
2.5.1 QR分解的概念
2.5.2 QR分解的实际求法
2.5.3 基于QR分解的参数估计问题
2.5.4 矩阵与Hessenberg矩阵的正交相似问题
2.6 最大秩分解
2.7 奇异值分解
习题2
第3章 矩阵范数及其应用
3.1 向量范数
3.2 矩阵范数
3.2.1 矩阵范数的定义与性质
3.2.2 算子范数
3.3 谱范数的性质和谱半径
3.4 矩阵的逆和线性方程组解的误差——范数的应用
3.4.1 矩阵的非奇异性条件
3.4.2 逆矩阵的扰动
3.4.3 误差分析与病态方程组
习题3
第4章 矩阵分析
4.1 向量序列与矩阵级数
4.1.1 向量序列的极限
4.1.2 矩阵级数
4.2 矩阵函数
4.2.1 矩阵函数的定义与性质
4.2.2 矩阵函数值的求法
4.3 矩阵的微积分
4.3.1 函数矩阵对实变量的导数
4.3.2 函数矩阵对实变量的积分
4.3.3 矩阵特殊的导数
4.3.4 矩阵的全微分
4.4 矩阵函数的一些应用
4.4.1 一阶常系数齐次线性微分方程组的解
4.4.2 一阶常系数非齐次线性微分方程组的解
习题4
第5章 特征值的估计及对称矩阵的极性
5.1 可约矩阵与对角占优矩阵
5.2 特征值的估计
5.2.1 特征值的界
5.2.2 特征值的包含范围与谱半径的估计
5.2.3 扰动理论中的特征值估计
5.3 对称矩阵特征值的极性
5.3.1 实对称矩阵的Rayleigh商的极性
5.3.2 矩阵奇异值的极小极大性质
习题5
第6章 几类特殊矩阵
6.1 非负矩阵
6.1.1 Perron-Frobenius定理
6.1.2 非负矩阵谱半径的界
6.1.3 本原矩阵与循环矩阵
6.2 随机矩阵与双随机矩阵
6.3 M矩阵与Stieltjes矩阵
6.3.1 M矩阵
6.3.2 Stieltjes矩阵
6.4 广义对角占优矩阵
6.5 Toeplitz矩阵与Hankel矩阵
习题6
第7章 矩阵的广义逆与直积及其应用
7.1 矩阵的几种广义逆
7.1.1 广义逆矩阵的基本概念
7.1.2 减号逆
7.1.3 自反减号逆A-r
7.1.4 极小范数广义逆A-m
7.1.5 最小二乘广义逆A-l
7.1.6 加号逆A+
7.2 广义逆与线性方程组的解
7.2.1 相容方程组的通解与减号逆A-
7.2.2 相容方程组的极小范数解与广义逆A-m
7.2.3 矛盾方程组的最小二乘解与A-1
7.2.4 矛盾方程组的极小范数最小二乘解与A+
7.3 矩阵的直积及其应用
7.3.1 直积的概念
7.3.2 直积的性质
7.3.3 线性矩阵方程的可解性
习题7
习题答案与提示
参考文献
第1 章线性空间与线性变换
线性空间与线性变换是学习矩阵理论时经常用到的两个极其重要的概念,它们是研究物理、力学中满足叠加原理的系统的数学模型.线性空间是对集合的元素在线性运算方面所表现的共性加以概括而形成的新概念.线性变换则是用来研究线性空间的元素之间的联系.本章论述这两个概念及其有关理论.所有论述是在假定读者已经具备线性代数初步知识基础上进行的.
1.1 线性空间
1.1.1 线性空间的概念及基本性质
1. 线性空间
线性空间是n维向量空间概念的抽象和推广,为了便于理解这个抽象概念,先回忆一下n维向量空间中的向量在加法及数与向量的乘法方面的运算性质.
在n维向量空间Rn = {(a1,a2,??? ,an)|ai ∈ R} 中,向量x=(x1,x2,??? ,xn),
y=(y1,y2,,yn)定义的加法和数量乘法为
???
(x1,x2,,xn)+(y1,y2,,yn)=(x1+y1,x2+y2,,xn+yn),
?????????
k(x1,x2,,xn)=(kx1,kx2,,kxn),
??????
它们对向量的加法及数与向量乘法是封闭的(指运算结果都是Rn 中的向量).
考虑全体定义在区间[a,b]上的连续函数集合,由于连续函数的和是连续函数,连续函数与实数的数量乘积还是连续函数.它们的加法运算和数乘运算都满足下列定义中的8条性质.
定义1.1.1设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合V的元素之间定义了一种运算,称为加法：即对于V中任意两个元素α与β,在V中都有唯一的一个元素γ与之对应,称为α与β的和,记为γ=α+β.在数域P与集合V中的元素之间还定义了一种运算,称为数量乘法：即对于数域P中任一数k与集合V中任一元素α,在V中都有唯一的一个元素δ与它们对应,称为k与α的数量乘积,记为δ=kα,如果两种运算满足如下性质：
(1) 加法交换律, .α, β ∈ V 有α + β = β + α;
(2) 加法结合律, .α, β, γ ∈ V,有(α+β)+γ=α+(β+γ);
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