本书全面系统地介绍了与工程技术联系密切的矩阵理论及其应用，注重理论和应用的结合，具有工科教材的特点和方法。全书共6章，分别介绍了线性空间与线性变换、内积空间、矩阵的若尔当标准形及其分解、矩阵分析及应用、特征值的估计、广义逆矩阵。各章后面配有一定数量的习题。
本书可作为理工科院校硕士研究生和高年级本科生的教材，也可作为有关专业的教师及工程技术人员的参考书。

前言
第1章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.2 基变换与坐标变换
1.3 线性子空间
1.4 线性空间的同构
1.5 线性变换
1.6 线性变换的矩阵表示
1.7 特征值与特征向量
1.8 不变子空间
习题1
第2章 内积空间
2.1 实内积空间
2.2 正交基及正交补
2.3 两个特殊的线性变换 前言
第1章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.2 基变换与坐标变换
1.3 线性子空间
1.4 线性空间的同构
1.5 线性变换
1.6 线性变换的矩阵表示
1.7 特征值与特征向量
1.8 不变子空间
习题1
第2章 内积空间
2.1 实内积空间
2.2 正交基及正交补
2.3 两个特殊的线性变换
2.4 欧氏空间的同构
2.5 点到子空间的距离与最小二乘法
2.6 复内积空间
2.7 正规矩阵
2.8 Hermite二次型
习题2
第3章 矩阵的若尔当标准形及其分解
3.1 λ-矩阵及其标准形
3.2 矩阵的若尔当标准形
3.3 矩阵的最小多项式
3.4 矩阵的若干分解
习题3
第4章 矩阵分析及应用
4.1 向量的范数
4.2 矩阵的范数
4.3 矩阵序列及其极限
4.4 矩阵幂级数
4.5 矩阵函数
4.6 矩阵的微分和积分
4.7 矩阵函数的应用
习题4
第5章 特征值的估计
5.1 特征值的界的估计
5.2 圆盘定理
5.3 谱半径的估计
习题5
第6章 广义逆矩阵
6.1 ﹛1﹜-广义逆矩阵A^-
6.2 M-P广义逆矩阵A⁺
6.3 广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用
习题6
部分习题参考答案
参考文献

第1 章线性空间与线性变换
线性空间与线性变换是学习现代矩阵理论时经常用到的两个极其重要的概念.
本章简要地论述这两个概念及其有关理论， 论述是在假定读者已经具备了n 元数
组构成的向量空间的理论、矩阵的初步运算、线性方程组的理论等基础上进行的.
1.1 线性空间
我们知道， 数是数学的一个最基本的概念。在历史上， 数的概念经历了一个长
期发展的过程， 由自然数到整数、有理数， 然后是实数， 再到复数。这个过程反映了
人们对客观世界的认识的不断深入。按照所研究的问题， 通常需要明确规定所考虑
的数的范围。我们经常遇到的数的范围有全体有理数、全体实数和全体复数。有时
我们还会碰到一些其他的数的范围， 为了方便起见， 当我们把这些数当成整体来考
虑的时候， 常称它为一个数的集合， 简称数集。有些数集也具有有理数、实数、复数
的全体所共有的代数性质。为了在讨论中能够把它们统一起来， 我们引入一个一般
的概念。
定义1.1 设P 是由一些复数组成的集合， 其中包含0 和1. 如果P 对于加
法、减法、乘法、除法（除数不为0） 是封闭的， 那么P 就称为一个数域。
显然， 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都
是数域。这三个数域我们分别用字母Q， R， C 来代表。全体整数组成的集合就不
是数域， 因为任意两个整数的商未必是整数。
不难验证， 数集
Q?p2￠= fa + bp2 j a； b 2 Qg
构成一个数域. 事实上， 对任意的a + bp2； x + yp2 2 Q（p2）， 有
（a + bp2） § （x + yp2） = （a § x） + （b § y）p2 2 Q?p2￠；
（a + bp2）（x + yp2） = （ax + 2by） + （ay + bx）p2 2 Q?p2￠；
a + bp2
x + yp2
= ax ? 2by
x2 ? 2y2 + bx ? ay
x2 ? 2y2
p2 2 Q?p2￠：
关于数域我们有一个显然的性质： 任何数域均包含有理数域作为它的一部分，
即有理数