本书是“工业和信息化部‘十二五’规划教材”。本书针对理工科学生的特点和人才培养的需要编写，体现内容的完备性、易懂性、应用性、实践性、文化性和前沿性。全书共6章，主要内容包括：曲线与曲面论，张量代数和外形式，微分流形，切向量场、单参数变换群与切丛，张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络，流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调。本书提供配套电子课件、MATLAB程序代码等。

孙和军，副教授，博士毕业于中国科学院数学与系统科学研究院，现任教于南京理工大学。美国数学会(AMS)会员，美国工业与应用数学会 (SIAM)会员；国际权威数学刊物美国《数学评论》(Mathematical Reviews)评论员；中国兵工学会会员。长期讲授研究生基础课现代微分几何、黎曼几何导论，本科生公共基础课高等数学、线性代数等。本课程被评为江苏省2010年研究生精品课程“现代微分几何”，“现代微分几何”多媒体课件在国家教育部举办的第十届全国多媒体课件大赛高教理科组中获得三等奖。

第1章 曲线与曲面论1
1.1 度量空间与欧氏空间2
1.1.1 度量空间2
1.1.2 向量空间4
1.1.3 仿射空间6
1.1.4 欧氏空间6
1.1.5 等距变换7
1.2 三维欧氏空间中的向量代数和向量分析7
1.2.1 三维欧氏空间中的向量及其运算8
1.2.2 向量函数和向量分析8
附录1.2 笛卡儿生平及学术贡献10
1.3 曲线论概述12
1.3.1 曲线的表示12
1.3.2 空间曲线的基本三棱形14
1.3.3 曲线的曲率、挠率和费雷内公式16
附录1.3 欧拉生平及学术贡献19
1.4 曲面论概述21
1.4.1 曲面的表示21
1.4.2 曲面的定向24
1.4.3 曲面的**基本形式26
1.4.4 曲面的第二基本形式28
1.4.5 曲面的曲率30
附录1.4 高斯生平及学术贡献34
1.5 基于MATLAB的几何图形绘制和数值计算36
1.5.1 MATLAB用户环境介绍36
1.5.2 基于MATLAB的平面曲线绘制37
1.5.3 基于MATLAB的空间曲线绘制38
1.5.4 基于MATLAB的曲面绘制39
1.5.5 基于MATLAB的微分几何数值计算44
习题145
第2章 张量代数和外形式46
2.1 对偶空间与多重线性函数46
2.1.1 对偶空间46
2.1.2 多重线性函数48
2.2 张量与张量代数49
2.2.1 张量及其表示49
2.2.2 张量积和张量代数50
2.2.3 张量的缩并运算53
2.2.4 度量张量、指标的提升和下降54
2.3 对称张量和反对称张量55
2.3.1 对称与反对称张量55
2.3.2 对称化与反对称化算子57
2.4 外形式与外代数59
2.4.1 外形式59
2.4.2 外积60
2.4.3 外形式空间和外代数62
2.4.4 外形式的性质63
附录2.4 嘉当生平及学术贡献65
习题267
第3章 微分流形68
3.1 拓扑学基本概念69
3.1.1 拓扑空间69
3.1.2 拓扑空间的子集70
3.1.3 拓扑空间的映射71
3.1.4 拓扑不变性72
3.2 微分流形74
3.2.1 拓扑流形74
3.2.2 微分流形75
3.2.3 微分流形的例子76
附录3.2 黎曼生平及学术贡献79
3.3 光滑映射和微分同胚81
3.3.1 流形间的光滑映射81
3.3.2 微分同胚82
附录3.3 惠特尼生平及学术贡献84
3.4 切向量与余切向量85
3.4.1 切向量与切空间85
3.4.2 余切向量和余切空间89
3.4.3 诱导切映射和诱导余切映射90
3.5 子流形和带边流形92
3.5.1 浸入与嵌入92
3.5.2 开子流形和闭子流形95
3.5.3 嵌入定理96
3.5.4 带边流形和闭流形97
附录3.5 纳什生平及学术贡献97
习题399
第4章 切向量场、单参数变换群与切丛102
4.1 切向量场和泊松括号积102
4.1.1 切向量场103
4.1.2 李代数与泊松括号积104
4.1.3 微分流形上的对合分布107
4.1.4 诱导切映射与泊松括号积运算的可交换性109
4.2 单参数变换群和李导数109
4.2.1 单参数变换群110
4.2.2 单参数变换群的诱导光滑切向量场110
4.2.3 李导数112
4.3 向量丛和切丛113
4.3.1 向量丛113
4.3.2 切丛和余切丛115
附录4.3 陈省身生平及学术贡献118
习题4121
第5章 张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络122
5.1 光滑张量场123
5.1.1 光滑张量场123
5.1.2 张量场的李导数125
5.2 单位分解定理、黎曼流形和伪黎曼流形126
5.2.1 单位分解定理126
5.2.2 黎曼流形126
5.2.3 伪黎曼流形128
附录5.2 爱因斯坦、广义相对论与黎曼几何130
5.3 外微分式及外微分132
5.3.1 外微分式132
5.3.2 外微分133
5.3.3 流形间光滑映射的诱导映射138
5.4 仿射联络和列维-齐维塔联络141
5.4.1 仿射联络和仿射联络空间141
5.4.2 挠率张量和挠率形式143
5.4.3 列维-齐维塔联络145
5.4.4 协变微分147
附录5.4 列维-齐维塔生平及学术贡献150
5.5 黎曼曲率和结构方程151
5.5.1 平行移动和测地线151
5.5.2 仿射联络的曲率张量和曲率形式152
5.5.3 黎曼曲率张量、截曲率和常曲率空间154
5.5.4 黎曼流形的结构方程157
5.5.5 里奇曲率和数量曲率159
5.5.6 爱因斯坦流形和卡拉比-丘流形160
习题5161
第6章 流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调164
6.1 流形的定向、流形上的积分和斯托克斯定理165
6.1.1 流形的定向165
6.1.2 光滑流形上的积分167
6.1.3 黎曼流形上的积分169
6.1.4 斯托克斯定理170
6.2 黎曼流形上的微分算子174
6.2.1 霍奇星算子175
6.2.2 散度算子和梯度算子176
6.2.3 余微分算子179
6.3 霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子及其特征值182
6.3.1 霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-贝尔特拉米算子183
6.3.2 拉普拉斯算子的特征值187
附录6.3 贝尔特拉米生平及学术贡献190
6.4 德拉姆上同调和霍奇分解定理192
6.4.1 德拉姆上同调192
6.4.2 霍奇分解定理及其应用193
6.4.3 庞加莱对偶定理195
附录6.4 德拉姆生平及学术贡献197
习题6199
名词索引201
人名索引208
参考文献213