程丛电编著的《实变函数引论》以n维欧氏空间及其上的实函数为对象，讲授勒贝格测度理论与勒贝格积分理论，全书共7章，第1章导言，简单介绍勒贝格测度与勒贝格积分的起源及其基本理念；第2～6章分别为集合、n 维欧氏空间、测度论、可测函数、积分论；第7章有界变差函数与绝对连续函数，除了介绍有界变差甬数与绝对连续函数这两项内容之外，还简单地介绍了斯蒂尔切斯积分和勒贝格-斯蒂尔切斯测度与积分，每一章的末尾均配有相当数量的例题选讲和习题。 《实变函数引论》可作为高等院校数学专业及其他相关专业“实变函数论”课程的教材或教学参考书。
程丛电编著的《实变函数引论》这门课程的内容都比较抽象，所以对于大多数学生来说，学习这门课程有一定的困难，如果能够出版一本既可以全面、深入、系统地讲授“实变函数论”的内容，又适合于广大学生们接受的专业书，则其对于推动我国数学教育事业的发展将是很有意义的。
前言
第1章导言
1. 1黎曼积分与勒贝格积分
1. 2例题选讲
习题
第2章集合
2．1基础知识
2．2对等与基数
2．3可列集
2．4连续系统
2．5例题选讲
习题二
第3章n维欧氏空间
3．1度量空间与n维欧氏空间
3．2关联点与关联集
3．3开集与闭集
3．4紧致集与完备集
3．5开集和闭集的构造
3．6例题选讲
习题三
第4章测度论
4．1若尔当测度
4．2勒贝格测度的定义
4．3可测的充要条件
4．4勒贝格测度的性质
4．5可测集类
4．6例题选讲
习题四
第5章可测函数
5．1可测函数的定义
5．2函数可测的充要条件
5．3常规可测函数
5．4可测函数的性质
5．5几乎处处成立的命题
5．6叶果洛夫定理
5．7鲁津定理
5．8依测度收敛
5．9例题选讲
习题五
第6章积分论
6．1勒贝格积分的定义
6．2可积条件
6．3勒贝格积分的性质
6．4极限定理
6．5富比尼定理
6．6例题选讲
习题六
第7章有界变差函数与绝对连续函数
7．1有界变差函数
7．2有界变差函数的性质
7．3绝对连续函数
7．4斯蒂尔切斯积分
7．5例题选讲
习题七
参考文献
第1章 导言
实变函数论这个数学分支形成于19世纪末20世纪初，主要是由法国数学家勒贝格（Lebesgue，1875-1941）所创立的，其中心内容是勒贝格测度与勒贝格积分，它是黎曼（Riemann，1826-1866）积分的推广与发展，是在深入地研究实函数的黎曼积分性质与微分性质的基础上，为了克服牛顿（Newton，1642-1727）和莱布尼茨（Leibniz，1646-1716）所建立的微积分学中存在的不足，寻求一种更加完美的数学理论而发展起来的。由于它奠定了近代分析学的基础，所以近百年来，它一直被誉为“跨入近代数学的门槛”。学习这门课程不仅可以加深对于数学分析中各项内容的认识，还可以为进一步学习现代数学打下良好的基础。
下面通过大略地回顾相关的历史背景与黎曼积分，对勒贝格积分的形成及其理念作一简单的介绍，使大家对这门课程先有个初步的了解。
1.1 黎曼积分与勒贝格积分
1.1.1 历史背景
自从牛顿与莱布尼茨创立微积分开始，微积分因其重要性，引起了许多数学家的兴趣与进一步研究。数学分析中的许多重要内容，如黎曼积分、达布（Darboux）上和与达布下和等，都是在这一过程中形成的。由于黎曼积分的不足，这种研究很快被一系列分析问题阻挡住了。下述三个问题可以比较全面地表明出这一系列问题的本质内容。
1。微分运算与积分运算的关系问题
具体地说是下面的问题：
（1）设F（x）与f（x）是［a，b］区间上的两个实函数，若F′（x）＝f（x），是否橙x∈［a，b］都有F（x）＝∫xaf（t）dt+F（a）？
（2）设F（x）与f（x）是［a，b］区间上的两个实函数，若F（x）＝∫xaf（t）dt+F（a）（橙x∈［a，b］），是否有F′（x）＝f（x）？
实变函数引论
（3）F′（x）＝f（x）是否为F（x）＝∫xaf（t）dt+c的充要条件？根据数学分析的知识，当f（x）连续时，这一结论是正确的。“f（x）连续”这一条件还能够进一步扩展吗？
2.积分与极限的换序问题，即limfn（x）dxlimfn（x）dx的条件问题n→∞∫ba＝∫ban →∞
通过学习数学分析知道，当fn（x）在［a，b］上一致收敛于f（x），并且对于每一个自然数n，fn（x）在［a，b］上都连续时，这一等式是成立的。但是，在许多不满足上述条件的情况下，该等式也成立。这就引出了问题，它究竟在什么条件下成立？在什么条件下不成立？在生产实际中所遇到的许多函数都不是初等函数，当处理与非初等函数相关的一些问题时，通常的做法是用适当的初等函数去近似地代替这个非初等函数，这就像用有理数3。14去近似地代替无理数π一样。设f（x）是一个非初等函数，｛fn（x）｝是一个初等函数列，若limfn（x）＝f（x）且上述等式成立，当n→∞要求∫baf（x）dx时，就可以用适当的fn（x）去代替f（x），然后通过求∫bafn（x）dx而近似地求得∫baf（x）dx。由此，可以看出积分与极限换序问题的重要意义。
注 这种用适当的初等函数去代替一个非初等函数的做法，从本质上讲属于“逼近方法”，它是数学的一种基本方法，也是实变函数论的一种基本方法。
3.关于G（［0，1］，D）的求积问题
这里1 ， x ∈ Q ，D（x）＝0， x∈R-Q，而G（［0，1］，D）表示函数D（x）关于［0，1］区间的下方图形（见定义5。1。1）或曲边梯形，Q和R分别为有理数集和实数集。受用∫baf（x）dx求一个非负连续函数的面积的启发，自然会想到，通过求∫baD（x）dx来求mG（［0，1］，D），其中mG（［0，1］，D）表示G（［0，1］，D）的“面积”。但是，由于D（x）在［0，1］上不可积，所以这条路是走不通的。这就是本问题的瓶颈所在。这些障碍迫使数学家们不得不进行新的开拓。勒贝格积分就是在这样的开拓中建构起来的。
1.1.2 反思黎曼积分
由于上述三个代表问题都与积分有关，所以为了寻找新的思路，先对黎曼积分
第1章 导言
进行一番深入的思考是极其有益的。设f（x）是［0，1］上的黎曼可积函数，令f（x）， f（x）≥0， f -（x）＝-f（x）， f（x）≤0，f+（x）＝0，f（x）＜0，0，f（x）＞0，
则∫baf（x）dx＝∫baf + d x -∫baf -dx ＝mJG（［a，b］，f+ ）-mJG（［a，b］，f-），（1。1）其中mJE表示E的若尔当（Jordan，1838-1922）测度。由此可见，函数f（x）的可积性及其积分的值是由G（［a，b］，f+）和G（［a，b］，f-）的若尔当测度所决定的。也就是说，从一定意义上讲，可积性是由测度决定的，有什么样的测度就有什么样的积分，这样就找到了积分的“根源”――测度（或度量）。
注 由于f+（x）与f-（x）都是非负函数，∫xaf +（t）dt与∫xaf -（t）dt都是单调增的，从而通过式（1。1）可将F（x）＝∫xaf（t）dt表示为两个增函数的差。由于这种表示会带来很多方便，所以后面常用这种表示来研究积分。将一个复杂的对象用一些较简单的对象的某种运算表示出来或分解为一些较简单的对象的某种运算的形式是数学的一种基本方法，称之为“表示方法”或“分解方法”，分解质因数与分解因式就属于这种方法。
思考问题 （1）试考虑（Q∩［0，1］）的若尔当测度；
（2）设A＝｛（x，y）｜x，y∈（Q∩［0，1］）｝，B＝［0，1］×［0，1］-A，试考虑A与B的若尔当测度。
注 显然，［0，1］中有限个点所形成的集合的若尔当测度是0，［0，1］的若尔当测度是1，而（Q∩［0，1］）的若尔当测度应为多少却不是一个显然的问题。有趣的是，［0，1］与（Q∩［0，1］）都是无限集，这意味着无限集与无限集也是有区别的。［0，1］与（Q∩［0，1］）的元素一样多吗？该问题是“计数”的深入发展，它是实变函数论的一个基本问题，第2章主要讨论这个问题。
1.1.3 勒贝格测度与勒贝格积分的建立
由上可知，黎曼积分是在若尔当测度的基础上建立起来的，黎曼积分的不足归根结底在于若尔当测度的不足，那么可否建立一种新的测度，使其克服若尔当测度的弱点，从而在其上建立一种新的积分，使其优越于黎曼积分，为解决上述的三个代表问题找到突破口呢？勒贝格完成了这项任务。1902年，他在论文“积分、长度与面积”中所阐明的思想成为古典分析过渡到现代分析的转折点。勒贝格积分理论不仅蕴涵了黎曼积分所达到的成果，而且还在较大程度上克服了后者的局限性。在贝格以后，还有许多数学家，如里斯（Riesz，1880-1956），当茹瓦（Denjoy，1884-不详），拉东（Radon，1887-1956）都对积分理论的进一步发展作出了重要贡献。这些早期工作由后来的数学家们不断地改进，现在所要学习的就是这种经过了改进的勒贝格积分理论，其大致过程如下：
（1）建立一种新的测度――勒贝格测度。
（2）设f（x）是［a，b］上的函数。当mG（［a，b］，f+）和mG（［a，b］，f-）都存在时，通过将式（1。1）中的mJG（［a，b］，f+）和mJG（［a，b］，f-）分别地转换为mG（［a，b］，f+）和mG（［a，b］，f-）来定义一种新的积分――勒贝格积分，即
（L）∫baf（x）dx＝mG（［a，b］，f+）-mG（［a，b］，f）。
1.1.4 勒贝格积分的意义
勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建构起来的，与黎曼积分相比较，它有着许多的优势。例如，它不仅可以统一处理有界函数与无界函数的情形，不用像黎曼积分那样，通过建立广义积分来处理无界函数的积分问题，而且还可以允许被积函数定义在更一般的点集上，这样它就大大扩充了可积函数的范围，特别是它提出了比黎曼积分更加广泛而有用的收敛定理，成功地解决了上述的三个代表问题，扫除了阻挡分析学进步的障碍。勒贝格积分不仅克服了黎曼积分的弱点，摆脱了黎曼积分的困境，而且还提供了一些宝贵的数学思想和方法，为许多数学分支的发展奠定了基础。今天它已成为了分析数学、随机数学中不可缺少的工具。
注：计数、测度（度量）与积分（求和）都是最古老、最基本的数学问题，分解、逼近与积分都是最基本的数学方法，从一定意义上来讲，“实变函数论”加深了对于最基本的数学问题与数学方法的理解，并说明如何用它们解决某些困难的数学问题，从而极大地促进了许多新的数学研究方向的发展。
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