本书是为适应高等学校理工科和经济类专业的教学需要而编写的教材，内容包括：线性方程组与矩阵、方阵的行列式、矩阵与向量的运算、向量组与向量空间、矩阵的特征值与特征向量、二次型、Matlab软件在线性代数中的应用。每节内穿插有例题、练习题，每章末附有习题。书末附录包括用逆序法定义行列式的值及习题参考解答。
本书注意理论和实际相结合，选材适当，体系新颖，论述严谨，条理清楚，对概念的解释透彻并具有一定的可读性，便于教学和学生自学。
本书可作为高等学校理工类与经济类本、专科“线性代数”课程的教材用书。
本书以线性方程组为切入点，由线性方程组及高斯消元法引进矩阵及其初等变换的概念；第2章在行列式性质的证明中，强调了矩阵初等变换的作用，这使得矩阵及其初等变换背景清晰，加强了矩阵和行列式的联系；向量线性相关性，是读者较难理解的概念，本书中加了一个直观性较强的引例，同时将矩阵秩的性质较多地用在了线性相关性问题的讨论中，降低了理解上的难度；将向量的内积运算与矩阵乘法放在了一起，以期引起读者对二者关联性的注意；将向量空间改放在第4章，一方面利用了向量空间基与维数与向量组最大无关组和秩的相似性，叙述上简略一些，另一方面也便于叙述线性方程组解的理论，突出了向量空间的实用性。以上考虑，较少见于国内同类教材。每一章的最后，都给出了一个与内容有联系的阅读材料，以增加本书的可读性，也希望读者能够对线性代数的问题感兴趣。一些定理的证明和一些拓展性的内容，书中用小字排列、初学者可以略去，不影响对其他内容的理解。
前言
第1章 线性方程组与矩阵
1.1 线性方程组
1.1.1 线性方程组的概念
1.1.2 非齐次线性方程组的解法
1.1.3 齐次线性方程组的解法
1.2 矩阵与向量
1.2.1 矩阵与向量的概念
1.2.2 矩阵的初等变换
1.3 阅读材料经济数学中的线性模型
1.3.1 价格平衡模型
1.3.2 投入产出模型
习题1
第2章 方阵的行列式
2.1 n阶行列式的定义
2.2 n阶行列式的性质
2.2.1 代数余子式展开性质
2.2.2 初等变换性质
2.3 行列式的计算举例
2.4 行列式的应用
2.4.1 矩阵的秩
2.4.2 克拉默法则
2.5 阅读材料行列式的历史与发展
习题2
第3章 矩阵与向量的运算
3.1 矩阵与向量的线性运算
3.1.1 矩阵的加法和数乘
3.1.2 向量的加法和数乘
3.2 矩阵的乘法
3.2.1 矩阵乘法的定义
3.2.2 矩阵乘法的性质
3.2.3 方阵的幂与方阵的多项式
3.3 向量的内积与向量的正交性
3.3.1 向量的内积
3.3.2 向量的正交性与正交矩阵
3.4 逆矩阵
3.4.1 逆矩阵的概念
3.4.2 初等变换求逆矩阵
3.4.3 利用逆矩阵求解矩阵方程
3.5 矩阵的分块
3.5.1 分块矩阵及其运算法则
3.5.2 一些特殊的分块方法
3.6 阅读材料矩阵乘法的两个应用
3.6.1 矩阵乘法在计算机图形学中的一个应用
3.6.2 赌徒输光问题
习题3
第4章 向量组与向量空间
4.1 向量组的线性相关性
4.1.1 引例
4.1.2 向量组的线性相关性
4.2 向量组的秩
4.2.1 向量组的相互线性表示
4.2.2 向量组的最大线性无关向量组与向量组的秩
4.2.3 矩阵的行秩与列秩,向量组秩的求法
4.3 向量空间
4.3.1 向量空间和子空间
4.3.2 向量空间的基与维数
4.4 线性方程组解的结构
4.4.1 齐次线性方程组
4.4.2 非齐次线性方程组
4.5 阅读材料线性方程组的应用
4.5.1 化学反应方程式的平衡
4.5.2 网络流的管理
习题4
第5章 矩阵的特征值与特征向量
5.1 特征值和特征向量
5.2 相似矩阵与矩阵的对角化
5.2.1 相似矩阵的概念
5.2.2 矩阵的对角化
5.3 施密特正交化方法与实对称矩阵的对角化
5.3.1 施密特正交化方法
5.3.2 实对称矩阵对角化
5.4 阅读材料矩阵对角化的两则应用
5.4.1 人口迁移问题
5.4.2 线性微分方程组求解
习题5
第6章 二次型
6.1 二次型及其矩阵表示
6.2 二次型化为标准形
6.2.1 正交变换法
6.2.2 初等变换法和配方法
6.2.3 惯性定理
6.3 正定二次型与正定矩阵
6.4 阅读材料主成分分析法
习题6
第7章 Matlab软件在线性代数中的应用
7.1 Matlab软件基本介绍
7.1.1 Matlab的安装和启动
7.1.2 命令窗口与文本编辑窗口的使用
7.1.3 数组
7.1.4 循环语句介绍
7.2 用Matlab求解线性代数中的问题
7.2.1 行列式的计算
7.2.2 矩阵的基本运算
7.2.3 矩阵的初等变换及矩阵的秩
7.2.4 求解线性方程组
7.2.5 求矩阵的特征值和特征向量
7.2.6 将实对称矩阵的对角化
7.2.7 二次型的简化与正定化
附录A 用逆序法定义行列式的值
附录B 习题参考解答
参考文献
第1 章线性方程组与矩阵
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组.对线性方程组的研究,是线性代数的一个重要内容,也是科学计算中最常遇到的问题.例如,在应力分析、分子结构、电路分析和测量学中都会遇到线性代数方程组的求解问题.在数学问题的数值计算方法中,大量的问题,如最小二乘法、三次样条函数插值、微分方程边值问题的有限元法、差分法等,也都涉及线性方程组的求解.
在线性代数中,线性方程组的求解和矩阵及矩阵初等变换的理论密切相关.本章首先给出求解线性方程组的一个重要方法――高斯消元法,然后引进矩阵和矩阵初等变换的概念,并利用矩阵初等变换的方法讨论线性方程组的求解.
1.1 线性方程组
1.1.1 线性方程组的概念
n个自变量x1,x2,,xn的线性方程通常表示为
???
a1x1+a2x2++anxn=b,
???
其中系数a1,a2,,an和b为已知实数或复数,b称为常数项,n为任意正整数.m个方
???
程构成的方程组
..
. .
.
a11x1+a12x2++a1nxn=b1
???
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
??? (1.1.1)
??????
am1x1+am2x2++amnxn=bm
???
称为一个线性代数方程组,其中,aij表示第i个方程中第j个自变量xj的系数,i=1,2,,m,j=1,2,,n,bi为第i个方程的常数项.
??? 当常数项b1,b2,??? ,bm全为零时,方程组(1.1.1)中所有项均为一次项,方程组变为???
..
. .
.
a11x1+a12x2++a1nxn=0
???
a21x1+a22x2++a2nxn=0
??? , (1.1.2)
??????
am1x1+am2x2++amnxn=0
???
式(1.1.2)称为方程组(1.1.1)对应的齐次线性方程组,相应的式(1.1.1)称为非齐次线性方程组.
例1.1.13个自变量的线性方程组
3x1. 7x2+7x3=.5 x1 . 3x2+4x3=.44x1. 6x2+2x3=4
第1 章线性方程组与矩阵
..
. .
.
3x1. 7x2+7x3=0x1. 3x2+4x3=0.4x1. 6x2+2x3=0
定义1.1.1(方程组的解)当将方程组中的未知量x1,x2,,xn用一组常数c1,
???
c2,,cn代替时,若方程组两边的值相等,则称c1,c2,,cn是方程组的一组解.
??????
当方程组(1.1.1)有解时,称方程组是相容的,否则称方程组不相容.
对给定的一个线性方程组,它的解可能①有唯一解;②有无穷解;③无解.对于3个未知量,3个
方程的情形,每个方程表示一个平面.当方程组有唯一解时,表示3个平面有唯一的交点;方程组有
无穷多解时,表示3个平面重合或交于一条直线;方程组无解时,则表示3个平面没有共同的交点.
线性方程组的所有解构成的集合,称为方程组的解集.如果两个线性方程组有相同的解集,称这两个方程组是等价方程组,或称同解方程组.
求解线性方程组的方法,是利用同解变换的方法,将线性方程组化为相对较简单的同解方程组,逐步简化以得出线性方程组的解.
1.1.2 非齐次线性方程组的解法
设线性方程组(1.1.1)是相容的,下面介绍解线性方程组的基本方法――高斯消元法.
例1.1.2求解线性方程组
..
. .
.
3x1. 7x2+7x3=.5 x1 . 3x2+4x3=.4.4x1. 6x2+2x3=4
解将第一个方程与第二个方程对调位置,使对调后的第一个方程中x1的系数为
1, 得到
..
. .
.
x1 . 3x2+4x3=.43x1. 7x2+7x3=.5.(1.1.3)4x1. 6x2+2x3=4
为了消去第二、三个方程中的x1项,将第一个方程的两边乘以.3加到第二个方程上,两边乘以.4 加到第三个方程上, 得
..
. .
.
x1 . 3x2+4x3=.42x2 . 5x3 =7.(1.1.4)6x2. 14x3=20
消去式(1.1.4)中第三个方程的x2项,为此,将第二个方程两端乘以.3 后加到第三个方
程上, 得
x1 . 3x2+4x3=.42x2. 5x3=7.(1.1.5)x3=.1
1.1 线性方程组3
??
可以看到,式(1.1.3)~式(1.1.5)都是同解方程组,但式(1.1.5)的求解却要容易得多,形如式(1.1.5)的方程组称为梯形方程组(echelonformlinearsystem).由方程组(1.1.5)逐步回代,可以顺次解出
x3 = .1,x2=1,x1=3.(1.1.6)
上述解题过程中,对线性方程组施行的变换称为对线性方程组的初等变换(elementaryoperation).归纳起来,对线性方程组施行的初等变换共有三种：
I.交换任意两个方程的位置,第i个方程和第j个方程相交换,记作Li. Lj ;
II.以非零常数λ乘以某一个方程的两边,第i个方程两端乘以常数λ,记作λLi;
III.以常数k乘以第j个方程后加到第i个方程上,记作Li+kLj.这三种类型的初等变换均不改变线性方程组的解.利用方程组的初等变换将方程组化为梯形方程组的过程称为消元过程,由梯形方程
新书资讯