H?lder不等式在数学的众多分支中扮演着重要的角色, 并且在统计学、管理学等领域也有着广泛的应用. 《H?lder不等式及其应用》的目的就是介绍Holder不等式的近期发展概况, 内容包括5章. 第1-3章介绍了H?lder不等式的推广、改进和一些性质；第4章介绍了H?lder不等式在Aczel型不等式的推广和改进中的应用；第5章给出了H?lder 不等式在统计学和管理学中的两个应用.
    《H?lder不等式及其应用》的读者对象为高等院校数学及相关专业高年级本科生、研究生，也可供相关专业的教师和数学工作者参考.

    众所周知，H?lder不等式在现代数学的很多分支中都扮演着重要的角色，如实分析和复分析、概率论和数理统计、模糊积分、微分方程、算子理论等。著名数学家Hardy、Littlewood及Polya在其名著《不等式》中再三强调H?lder不等式“极为重要”和“到处都要用到”。近年来关于H?lder不等式的研究又有了新的重要的进展，《H?lder不等式及其应用》介绍H?lder不等式的近期的发展概况，包括H?lder不等式的新的推广、本质的改进、新的重要的性质以及它在统计学和管理学中的应用等研究成果，是一本不可多得的关于不等式的数学专著。

前言


经典的 H¨older不等式是数学家 H¨older于 1889年给出的如下形式的不等式： 
nn)1 n)1 
pq


去arbr（去pr（去 bqr,
山a
r=1 r=1 r=1 
其中 ar,br》 0(r =1, 2, ··· ,n), p》 q> 1, 1 p +1 q =1 (当 ar,br > 0,r = 
1, 2, ··· ,n,0
众所周知， H¨older不等式在现代数学的很多分支中都扮演着重要的角色，如实分析和复分析、概率论和数理统计、模糊积分、微分方程、算子理论等 .甚至有的学者称其为“数学众多领域的基石”“深入解决问题的桥梁” .著名数学家 Hardy、Littlewood及 Polya在其名著《不等式》中再三强调 H¨older不等式“极为重要”和“到处都要用到”，这个不等式和 Minkowski不等式、算术平均与几何平均不等式构成了该名著中前 6章的主题，占了全书一半以上的篇幅 .一百多年来，出现了大量的关于这个不等式的改进、推广以及应用的文献 [37].
近期对于 H¨older不等式的研究又有了新的重要的进展，主要体现在以下几个方面：
一是 H¨older不等式在新兴数学领域的推广 .如 Wong等 [86]给出了时标理论的 H¨older不等式的 Δ积分形式, O¨zkan等 [49]给出了 H¨older不等式的 V积分形式以及。积分形式 , Yang[93]、Chen和 Chen[14]分别给出了上述结果在时标理论中的函数推广形式；刘宝碇 [27]给出了 H¨older不等式在不确定理论中的形式； Wu等 [88]给出了 H¨older不等式关于 Sugeno积分的形式， Agahi等 [3]给出了 H¨older不等式关于伪积分的形式； Falconer[16]给出了关于正则根树的 H¨older不等式等.这些新的推广不仅具有重要的理论意义和应用价值，而且很多都已成为各自领域的基石.
二是 H¨older不等式的改进 .尽管 H¨older不等式在数学的众多领域中都起着重要的作用，但是有些问题用 H¨older不等式估计时往往得不到较为精确的
刻画.例如,设 a2r = b2r.1 =1,a2r.1 = b2r =0,r =1, 2, ··· ,N, n =2N,
显然 艺narbr =0，而此时 H¨older不等式的右端却是 N，与 0相差甚远 [30]！基
r=1 


于此，给出 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的本质改进具有重要的意义，本书作者得到了 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的一系列重要的改进，这些改进不仅是本质的，而且形式上还是简洁的、精美的 .
三是关于 H¨older不等式的性质的研究又有了新的进展 .如本书作者给出了一系列推广的 H¨older不等式构成的函数的单调性 .由这些性质不仅可以得到 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的新的改进，而且还有其他的重要意义.如在 1996年，胡克利用类似的单调性解决了著名的 Opial-华罗庚型积分不等式的精确表示式问题.
四是关于 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的应用的研究又有了新的进展.
本书出版的目的就是对 H¨older不等式近期的发展进行系统的总结 .除了系统地介绍国内外学者对 H¨older不等式的研究成果外，着重叙述本书作者的一系列已公开发表或已投稿尚未公开发表的研究成果.
本书的内容安排如下：第 1章, H¨older不等式的推广，主要介绍 H¨older不等式在实分析中的推广、在 Sugeno积分和伪积分中的推广、在时标理论中的推广以及在矩阵论中的推广形式等；第 2章, H¨older不等式的改进，主要介绍 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的一系列的新的本质的改进；第 3章,实分析中推广的 H¨older不等式构成的函数的单调性，主要介绍 n维 H¨older不等式、指数一般化的 H¨older不等式构成的函数的单调性；第 4章, H¨older不等式在 Acz′el型不等式的推广和改进中的应用，主要介绍 H¨older不等式在实分析中对 Acz′el型不等式的多种推广和改进中的应用；第 5章, H¨older不等式在统计学和管理学中的应用，主要介绍 H¨older不等式在统计学中 k阶记录值预测上的应用和管理学中不完全市场下效用最大问题的解的应用.
本书的出版得到了国家自然科学基金 (编号：60773062; 61073121)、河北省应用基础研究计划重点基础研究项目 (编号：16964213D)、河北省自然科学基金 (编号： F2015402033)和中央高校基本科研业务费重点项目 (编号： 2015ZD29)的资助，特此致谢 .
由于作者水平有限，不妥与疏漏之处在所难免，恳请同仁及读者不吝赐教 .
田景峰哈明虎 
2017年 12月
收起全部↑

    田景峰， 河北省安新县人，华北电力大学教师。主要从事解析不等式、模糊测度与积分、不确定统计学习理论、不动点理论的研究。在《Information Sciences》、《Fuzzy Optimization and Decision Making》、《Mathematical Inequalities and Applications》、《Journal of Mathematical Inequalities》等知名国际期刊上发表学术论文40余篇，其中SCI收录近30篇。荣获河北省优秀教学成果三等奖、保定市大中专院校青年教师说课比赛一等奖、华北电力大学青年教师教学基本功大赛一等奖、河北省大学生数学竞赛优秀指导教师、保定市青年科技奖等荣誉称号。哈明虎，男，河北肃宁人，教授，博士生导师，“新世纪百千万人才工程”*家级人选，省管优秀专家，享受国务院政府特殊津贴。现主要从事应用数学、信息科学与经济管理等多学科交叉的不确定性信息处理、统计预测与决策和统计学习理论等方向的研究，先后在国内外学术杂志、国际会议论文集上正式发表学术论文百余篇，其中SCI、EI检索论文70余篇；著作4部。曾主持完成国家自然科学基金2项；中国博士后科学基金1项，省级项目2项；曾主研完成国家自然科学基金2项。现主持国家自然科学基金1项，教育部科学技术研究重点项目1项，省级项目2项。先后荣获省级科研奖励一、三等奖5项，省级教学奖励一、二等奖2项，河北省思想政治工作创新奖一等奖1项。 

第 1章 H¨older不等式的推广 1 


1 1实分析中 H¨older不等式的推广 3 


1 2 H¨older不等式在 Sugeno积分和伪积分中的推广 7 


1 2 1关于 Sugeno积分的 H¨older不等式 7 


1 2 2关于伪积分的 H¨older不等式 10 


1 3 H¨older不等式的时标形式 20 


1 4 PMa,b空间的 H¨older型不等式 49 


1 5关于矩阵的和与乘积的 H¨older不等式形式 51


第 2章 H¨older不等式的改进 58 


2 1 H¨older不等式的第一种改进 58 


2 2 H¨older不等式的第二种改进 69 


2 3 H¨older不等式的第三种改进 77 


2 4 H¨older不等式的第四种改进 99


第 3章实分析中推广的 H¨older不等式构成的函数的单调性 124 


3 1 n维 H¨older不等式构成的函数的单调性 127 


3 2指数一般化的 H¨older不等式构成的函数的单调性 133


第 4章 H¨older不等式在 Acz′el型不等式的推广和改进中的应用 144 


4 1在 Acz′el型不等式的第一种推广和改进中的应用 146 


4 2在 Acz′el型不等式的第二种推广和改进中的应用 154 


4 3在 Acz′el型不等式的第三种推广和改进中的应用 158 


4 4在 Acz′el型不等式的第四种推广和改进中的应用 168 


4 5在 Acz′el型不等式的第五种推广和改进中的应用 176 


4 6在 Acz′el型不等式的第六种推广和改进中的应用 190 


第 5章 H¨older不等式在统计学和管理学中的应用 194 


5 1 H¨older不等式在统计学中的应用 194 


5 2 H¨older不等式在管理学中的应用 200


参考文献 210 

第1章 Holder不等式的推广


自从 H¨older给出 H¨older不等式以来 ,出现了大量的关于这个不等式的推广.本章并不想把所有的结果都罗列出来 ,只想给出 H¨older不等式的最新的重要的推广 .因而本章给出的关于 H¨older不等式的推广的成果 ,并不能涵盖目前关于 H¨older不等式研究的全部成果 ,关于 H¨older不等式的其他的推广 ,读者可以参考相关文献 [34,39,44,48].
为了方便读者,首先给出本书中经常用到的一些基本的不等式.
定理 1.0.1 (Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz不等式 )设 ar,br(r =1, 2,··· , 
n)为实数,则
n2
（叫 2叫（ n叫
＼（ nb2
立arbr立a 立 . (1.1)
rrr=1 r=1 r=1 
定理 1.0.2 (H¨older不等式 )如果 ar,br》 0(r =1, 2, ··· ,n), p》 q> 1, 11 
p + q = 1,则 
1 
p
n
（ np叫（ n叫
立＼立a立bq
arbrrrr=1 r=1 r=1 
1 
q 
, 


(1.2)


如果 ar,br > 0(r =1, 2, ··· ,n), 0
反向.
相应的积分型 H¨older不等式如下面定理所述：
定理1.0.3设 f(x),g(x)》 0.如果 p》 q> 1, 1+1 =1,则 
pq 
1 
p
. f(x)g(x)dx＼（. fp(x)dx叫 （. gq(x)dx叫
1 
q 
; (1.3) 


1r
如果 p> 0,q < 0, 1 p +1 q = 1,则有反向不等式 
pq 
f(x)g(x)dx》（ fp(x)dx叫（ gq(x)dx叫 , (1.4)
1 
此时要求 f(x),g(x) > 0.
……